2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 二 第二課時(shí) 雙曲線、拋物線的參數(shù)方程優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-4.doc

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二 第二課時(shí) 雙曲線、拋物線的參數(shù)方程 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．若點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(t為參數(shù))上，則|PF|等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：拋物線方程化為普通方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1， 所以|PF|為P(3，m)到準(zhǔn)線x＝－1的距離，即為4.故選C. 答案：C 2．方程(t為參數(shù))的圖形是(　　) A．雙曲線左支 B．雙曲線右支 C．雙曲線上支 D．雙曲線下支 解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2. ∴表示雙曲線的右支． 答案：B 3．點(diǎn)P(1,0)到曲線(其中，參數(shù)t∈R)上的點(diǎn)的最短距離是(　　) A．0 B．1 C. D．2 解析：方程表示拋物線y2＝4x的參數(shù)方程，其中p＝2，設(shè)點(diǎn)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)P (1,0)的距離d＝＝＝|x＋1|≥1，所以最短距離為1，選B. 答案：B 4．若曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C上的點(diǎn)的軌跡是(　　) A．直線x＋2y－2＝0 B．以(2,0)為端點(diǎn)的射線 C．圓(x－1)2＋y2＝1 D．以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段 解析：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)． 答案：D 5．已知某條曲線的參數(shù)方程為(其中a是參數(shù))，則該曲線是(　　) A．線段 B．圓 C．雙曲線 D．圓的一部分 解析：將所給參數(shù)方程的兩式平方后相減， 得x2－y2＝1. 并且由|x|＝≥1，得x≥1或x≤－1， 從而易知結(jié)果． 答案：C 6．已知?jiǎng)訄A方程x2＋y2－xsin 2θ＋2ysin＝0(θ為參數(shù))，則圓心的軌跡方程是________． 解析：圓心軌跡的參數(shù)方程為 即消去參數(shù)得： y2＝1＋2x(－≤x≤)． 答案：y2＝1＋2x(－≤x≤) 7．已知拋物線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝________. 解析：由得y2＝8x， 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(2,0)， 直線方程為y＝x－2，即x－y－2＝0. 因?yàn)橹本€y＝x－2與圓(x－4)2＋y2＝r2相切， 由題意得r＝＝. 答案： 8．曲線(α為參數(shù))與曲線(β為參數(shù))的離心率分別為e1和e2，則e1＋e2的最小值為________． 解析：曲線(α為參數(shù))的離心率 e1＝， 曲線(β為參數(shù))的離心率e2＝， ∴e1＋e2＝≥＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以最小值為2. 答案：2 9．已知拋物線(t為參數(shù)，p＞0)上的點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N兩點(diǎn)間的距離． 解析：由題知M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)， 所以|MN|＝ ＝ ＝2p|t1－t2| ＝2p ＝4p2. 故M，N兩點(diǎn)間的距離為4p2. 10.如圖所示，O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A，B是拋物線y2＝2px(p＞0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB，A，B在什么位置時(shí)△AOB的面積最小？最小值是多少？ 解析：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)(t1≠t2，且t1t2≠0)，則 |OA|＝ ＝2p|t1|， |OB|＝ ＝2p|t2|. 因?yàn)镺A⊥OB，所以＝0， 即2pt2pt＋2pt12pt2＝0，所以t1t2＝－1. 又因△AOB的面積為： S△AOB＝|OA||OB| ＝2p|t1|2p|t2| ＝2p2|t1t2| ＝2p2 ＝2p2≥2p2＝4p2. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t1＝1，t2＝－1或t1＝－1，t2＝1時(shí)，等號(hào)成立． 所以A，B的坐標(biāo)分別為(2p,2p)，(2p，－2p)或(2p，－2p)，(2p,2p)時(shí)，△AOB的面積最小，最小值為4p2. [B組　能力提升] 1．P為雙曲線(θ為參數(shù))上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，則△F1PF2重心的軌跡方程是(　　) A．9x2－16y2＝16(y≠0) B．9x2＋16y2＝16(y≠0) C．9x2－16y2＝1(y≠0) D．9x2＋16y2＝1(y≠0) 解析：由題意知a＝4，b＝3，可得c＝5， 故F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 設(shè)P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，則 x＝＝sec θ，y＝＝tan θ. 從而有9x2－16y2＝16 (y≠0)． 答案：A 2．參數(shù)方程(0＜θ＜2π)表示(　　) A．雙曲線的一支，這支過點(diǎn) B．拋物線的一部分，這部分過點(diǎn) C．雙曲線的一支，這支過點(diǎn) D．拋物線的一部分，這部分過點(diǎn) 解析：∵x2＝(cos ＋sin )2＝1＋sin θ＝2y， ∴方程x2＝2y表示拋物線． 又∵x＝＝， 且0＜θ＜2π， ∴0≤x≤ ，故選B. 答案：B 3．拋物線，關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________． 解析：拋物線的普通方程為y2＝x，是以x軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右的拋物線，當(dāng)關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱時(shí)，其頂點(diǎn)變?yōu)?2,2)，對(duì)稱軸相應(yīng)變?yōu)閤＝2，且開口方向向下，所以焦點(diǎn)變?yōu)?，? 答案： 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a＞b＞0)．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________． 解析：先將參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化為普通方程，再根據(jù)直線過焦點(diǎn)、直線與圓相切建立關(guān)于橢圓方程中a，b，c的等式，再結(jié)合a2＝b2＋c2求得離心率． 由已知可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋＝1(a＞b＞0)． 由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直線的普通方程為x＋y＝m，又圓的普通方程為x2＋y2＝b2，不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)(c,0)，可得c＝m.又因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)，整理，得＝，故橢圓C的離心率為e＝. 答案： 5.如圖，自雙曲線x2－y2＝1上一動(dòng)點(diǎn)Q引直線l：x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段QN中點(diǎn)P的軌跡方程． 解析：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(sec φ，tan φ)，(φ為參數(shù))． ∵QN⊥l， ∴可設(shè)直線QN的方程為x－y＝λ.① 將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入①得：λ＝sec φ－tan φ. 所以線段QN的方程為x－y＝sec φ－tan φ.② 又直線l的方程為x＋y＝2.③ 由②③解得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝. 設(shè)線段QN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則x＝＝，④ 4④－②得 3x＋y－2＝2sec φ.⑤ 4④－3②得 x＋3y－2＝2tan φ.⑥ ⑤2－⑥2化簡即得所求的軌跡方程為 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0. 6．已知曲線C的方程為 (1)當(dāng)t是非零常數(shù)，θ為參數(shù)時(shí)，C是什么曲線？ (2)當(dāng)θ為不等于(k∈Z)的常數(shù)，t為參數(shù)時(shí)，C是什么曲線？ (3)兩曲線有何共同特征？ 解析：(1)將原參數(shù)方程記為①，將參數(shù)方程①化為 平方相加消去θ，得＋＝1.② 因?yàn)?et＋e－t)2＞(et－e－t)2＞0，故方程②的曲線為橢圓，即C為橢圓． (2)將方程①化為 平方相減消去t，得－＝1.③ 所以方程③的曲線為雙曲線，即C為雙曲線． (3)在方程②中2－2＝1，則c＝1， 橢圓②的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，(1,0)，因此橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)．