2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)15 平面庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點(diǎn)15 平面 1．平面的有關(guān)概念 幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是無限延展的． 通常把水平的平面畫成一個(gè)平行四邊形，用平行四邊形表示平面，如圖，平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍． 平面表示為：平面α、平面AC、平面BD或者．平面ABCD． 2．點(diǎn)、直線、平面間的關(guān)系表示 （1）點(diǎn)P在直線l上，記作；點(diǎn)P在直線l外，記作；如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l，記作；否則，就說直線l在平面α外，記作． （2）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，記作；點(diǎn)B在平面α外，記作． （3）平面α與平面β相交于直線l，記作α∩β＝l． 3．基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，或者說直線在平面內(nèi)，或平面經(jīng)過直線． 公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．也可以簡單地說成：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面． 推論：（1）推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． （2）推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面． （3）推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面． 公理3：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線． 如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線． 【例】在三棱錐A－BCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)P( ) A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上 C．在直線AC或BD上 D．不在直線AC上，也不在直線BD上 【答案】B 【規(guī)律方法】解決點(diǎn)線共面問題的基本方法是納入法和同一法． 納入法： 同一法： 1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是( ) 【答案】D 【解析】畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線表示． 2．如果直線a平面α，直線b平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么( ) A．lα B．l∈α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 【答案】A 3．下列命題中一定正確的是( ) A．三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．三條平行直線必共面 C．三條相交直線必共面 D．梯形一定是平面圖形 【答案】D 【解析】由公理2，知梯形是平面圖形，故選D． 【規(guī)律總結(jié)】解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛． 4．下面給出了四個(gè)條件：①空間三個(gè)點(diǎn)；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)；③和直線a都相交的兩條直線；④兩兩相交的三條直線．其中，能確定一個(gè)平面的條件有( ) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【答案】A 【解析】①中空間三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面．②中點(diǎn)在直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面．③中兩直線若不平行也不相交時(shí)不能確定一個(gè)平面．④中三條直線交于一點(diǎn)且不共面時(shí)不能確定一個(gè)平面． 【解題技巧】在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)要體會三個(gè)公理的作用，體會先部分再整體的思想． 5．一條直線和這條直線外不共線的三點(diǎn)，最多可確定( ) A．三個(gè)平面 B．四個(gè)平面 C．五個(gè)平面 D．六個(gè)平面 【答案】B 【解析】直線和直線外的每一個(gè)點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，有三個(gè)平面，另外，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，共可確定四個(gè)平面． 6．如圖所示，△ABC在平面α外，其三邊所在的直線分別與α交于P、Q、R三點(diǎn)，判斷P、Q、R三點(diǎn)是否共線，并說明理由． 7．如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延長線）分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上． 1．平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β，且B?l，點(diǎn)C∈α，又AC∩l＝R，過A、B、C三點(diǎn)確定的平面為γ，則β∩γ是( ) A．直線CR B．直線BR C．直線AB D．直線BC 【答案】B 【解析】A∈γ，C∈γ，則AC?γ，∴R∈γ，R∈l，l?β，∴R∈β，則BR?β，又B∈γ，R∈γ，則BR?γ，故β∩γ＝BR． 2．在三棱錐A—BCD的棱AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)E、F、G、H，如果EF與HG相交于一點(diǎn)M，那么( ) A．M一定在直線AC上 B．M一定在直線BD上 C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上 D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上 【答案】A 【解析】如圖所示，因?yàn)镋∈AB，F(xiàn)∈BC，由基本性質(zhì)1知EF?面ABC，因?yàn)镚∈CD，H∈AD，由基本性質(zhì)1知GH?面ACD．而面ABC∩面ACD＝AC，EF和HG若相交，則交點(diǎn)既在平面ABC內(nèi)又在平面ACD內(nèi)，因此一定在平面ABC和平面ACD的交線AC上，應(yīng)選A． 3．一條直線與另外兩條直線都相交，它們能確定的平面的個(gè)數(shù)為________． 【答案】1或2或3 【解析】如圖，空間三條直線中的一條直線與其他兩條都相交，那么由這三條直線可確定的平面的個(gè)數(shù)是1(如圖（1）所示)，或2(如圖（2）所示)，或3(如圖（3）所示)． 4．已知正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q． 求證：（1）D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面； （2）若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線． 【解析】如圖． （2）正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β． ∵Q∈A1C1， ∴Q∈α．又Q∈EF，∴Q∈β． 則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理P是α與β的公共點(diǎn)， ∴α∩β＝PQ． 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C． ∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ． 故P，Q，R三點(diǎn)共線． 從自行車看三點(diǎn)共面 自行車是我們常見的交通工具，在霧霾籠罩，大氣污染嚴(yán)重的當(dāng)今社會被各國政府大力提倡．