2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修三 1-3 算法案例 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修三 1-3 算法案例 教案 （1）教學(xué)目標(biāo) （a）知識與技能 1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析。 2.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序。 （b）過程與方法 在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對比我們常見的約分求公因式的方法，比較它們在算法上的區(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)算法計算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計算機(jī)語言的一般步驟。 （c）情態(tài)與價值 1.通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。 2.在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動手實踐的能力。 （2）教學(xué)重難點 重點：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。 難點：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言。 （3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能模仿已經(jīng)學(xué)過的程序框圖與算法語句設(shè)計出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序。 教學(xué)用具：電腦，計算器，圖形計算器 （4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1.教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過求最大公約數(shù)的知識，你能求出18與30的公約數(shù)嗎？ 2.接著教師進(jìn)一步提出問題，我們都是利用找公約數(shù)的方法來求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求8251與6105的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容。 （二）研探新知 1.輾轉(zhuǎn)相除法 例1 求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。 （分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點，根據(jù)已有的知識即可求出最大公約數(shù)） 解：8251＝61051＋2146 顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)。 6105＝21462＋1813 2146＝18131＋333 1813＝3335＋148 333＝1482＋37 148＝374＋0 則37為8251與6105的最大公約數(shù)。 以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： 第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商q0和一個余數(shù)r0； 第二步：若r0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個商q1和一個余數(shù)r1； 第三步：若r1＝0，則r1為m，n的最大公約數(shù)；若r1≠0，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個商q2和一個余數(shù)r2； …… 依次計算直至rn＝0，此時所得到的rn－1即為所求的最大公約數(shù)。 練習(xí)：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)（答案：53） 2.更相減損術(shù) 我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。 更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。 翻譯出來為： 第一步：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。 第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。 例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù). 解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98與63的最大公約數(shù)是7。 練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。（答案：12） 3.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別 （1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。 （2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到 4. 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)計算的程序框圖及程序 利用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計算算法，我們可以設(shè)計出程序框圖以及BSAIC程序來在計算機(jī)上實現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，下面由同學(xué)們設(shè)計相應(yīng)框圖并相互之間檢查框圖與程序的正確性，并在計算機(jī)上驗證自己的結(jié)果。 （1）輾轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序 程序框圖： 程序： INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 5.課堂練習(xí) 一.用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù)，并在自己編寫的BASIC程序中驗證。 （1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119 二.思考：用求質(zhì)因數(shù)的方法可否求上述4組數(shù)的最大公約數(shù)？可否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設(shè)計出程序框圖及程序？若能，在電腦上測試自己的程序；若不能說明無法實現(xiàn)的理由。 三。思考：利用輾轉(zhuǎn)相除法是否可以求兩數(shù)的最大公倍數(shù)？試設(shè)計程序框圖并轉(zhuǎn)換成程序在BASIC中實現(xiàn)。 6.小結(jié)： 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的計算方法及完整算法程序的編寫。 （5）評價設(shè)計 作業(yè)：P38 A（1）B（2） 補充：設(shè)計更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的程序框圖 第三、四課時 秦九韶算法與排序 （1）教學(xué)目標(biāo) （a）知識與技能 1.了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實質(zhì)。 2.掌握數(shù)據(jù)排序的原理能使用直接排序法與冒泡排序法給一組數(shù)據(jù)排序，進(jìn)而能設(shè)計冒泡排序法的程序框圖及程序，理解數(shù)學(xué)算法與計算機(jī)算法的區(qū)別，理解計算機(jī)對數(shù)學(xué)的輔助作用。 （b）過程與方法 模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構(gòu)思的巧妙。能根據(jù)排序法中的直接插入排序法與冒泡排序法的步驟，了解數(shù)學(xué)計算轉(zhuǎn)換為計算機(jī)計算的途徑，從而探究計算機(jī)算法與數(shù)學(xué)算法的區(qū)別，體會計算機(jī)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助作用。 （c）情態(tài)與價值 通過對秦九韶算法的學(xué)習(xí)，了解中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，充分認(rèn)識到我國文化歷史的悠久。通過對排序法的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)計算與計算機(jī)計算的區(qū)別，充分認(rèn)識信息技術(shù)對數(shù)學(xué)的促進(jìn)。 （2）教學(xué)重難點 重點：1.秦九韶算法的特點 2.兩種排序法的排序步驟及計算機(jī)程序設(shè)計 難點：1.秦九韶算法的先進(jìn)性理解 2.排序法的計算機(jī)程序設(shè)計 （3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：1.探究秦九韶算法對比一般計算方法中計算次數(shù)的改變，體會科學(xué)的計算。 2.模仿排序法中數(shù)字排序的步驟，理解計算機(jī)計算的一般步驟，領(lǐng)會數(shù)學(xué)計算在計算機(jī)上實施的要求。 教學(xué)用具：電腦，計算器，圖形計算器 （4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的計算，下面我們計算一下多項式 當(dāng)時的值，并統(tǒng)計所做的計算的種類及計算次數(shù)。 根據(jù)我們的計算統(tǒng)計可以得出我們共需要10次乘法運算，5次加法運算。 我們把多項式變形為：再統(tǒng)計一下計算當(dāng)時的值時需要的計算次數(shù)，可以得出僅需4次乘法和5次加法運算即可得出結(jié)果。顯然少了6次乘法運算。這種算法就叫秦九韶算法。 （二）研探新知 1.秦九韶計算多項式的方法 例1 已知一個5次多項式為 用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)時的值。 解：略 思考：（1）例1計算時需要多少次乘法計算？多少次加法計算？ （2）在利用秦九韶算法計算n次多項式當(dāng)時需要多少次乘法計算和多少次加法計算？ 練習(xí)：利用秦九韶算法計算 當(dāng)時的值，并統(tǒng)計需要多少次乘法計算和多少次加法計算？ 例2 設(shè)計利用秦九韶算法計算5次多項式 當(dāng)時的值的程序框圖。 解：程序框圖如下： 練習(xí)：利用程序框圖試編寫B(tài)ASIC程序并在計算機(jī)上測試自己的程序。 2.排序 在信息技術(shù)課中我們學(xué)習(xí)過電子表格,電子表格對分?jǐn)?shù)的排序非常簡單,那么電子計算機(jī)是怎么對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序的呢? 閱讀課本P30—P31面的內(nèi)容,回答下面的問題: (1)排序法中的直接插入排序法與冒泡排序法的步驟有什么區(qū)別? (2)冒泡法排序中對5個數(shù)字進(jìn)行排序最多需要多少趟? (3)在冒泡法排序?qū)?個數(shù)字進(jìn)行排序的每一趟中需要比較大小幾次? 游戲:5位同學(xué)每人拿一個數(shù)字牌在講臺上演示冒泡排序法對5個數(shù)據(jù)4,11,7,9,6排序的過程,讓學(xué)生通過觀察敘述冒泡排序法的主要步驟.并結(jié)合步驟解決例3的問題. 例3 用冒泡排序法對數(shù)據(jù)7,5,3,9,1從小到大進(jìn)行排序 解:P32 練習(xí):寫出用冒泡排序法對5個數(shù)據(jù)4,11,7,9,6排序的過程中每一趟排序的結(jié)果. 例4 設(shè)計冒泡排序法對5個數(shù)據(jù)進(jìn)行排序的程序框圖. 解: 程序框圖如下: 思考:直接排序法的程序框圖如何設(shè)計?可否把上述程序框圖轉(zhuǎn)化為程序? 練習(xí):用直接排序法對例3中的數(shù)據(jù)從小到大排序 3.小結(jié): (1)秦九韶算法計算多項式的值及程序設(shè)計 (2)數(shù)字排序法中的常見的兩種排序法直接插入排序法與冒泡排序法 (3)冒泡法排序的計算機(jī)程序框圖設(shè)計 （5）評價設(shè)計 作業(yè)：P38 A（2）（3） 補充：設(shè)計程序框圖對上述兩組數(shù)進(jìn)行排序 第五課時 進(jìn)位制 （1）教學(xué)目標(biāo) （a）知識與技能 了解各種進(jìn)位制與十進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換的規(guī)律，會利用各種進(jìn)位制與十進(jìn)制之間的聯(lián)系進(jìn)行各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)換。 （b）過程與方法 學(xué)習(xí)各種進(jìn)位制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的計算方法，研究十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為各種進(jìn)位制的除k去余法，并理解其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。 （c）情態(tài)與價值 領(lǐng)悟十進(jìn)制，二進(jìn)制的特點，了解計算機(jī)的電路與二進(jìn)制的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識到計算機(jī)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。 （2）教學(xué)重難點 重點：各進(jìn)位制表示數(shù)的方法及各進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)換 難點：除k去余法的理解以及各進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)換的程序框圖的設(shè)計 （3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：在學(xué)習(xí)各種進(jìn)位制特點的同時探討進(jìn)位制表示數(shù)與十進(jìn)制表示數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉各種進(jìn)位制表示數(shù)的方法，從而理解十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為各種進(jìn)位制的除k去余法。 教學(xué)用具：電腦，計算器，圖形計算器 （4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 我們常見的數(shù)字都是十進(jìn)制的,但是并不是生活中的每一種數(shù)字都是十進(jìn)制的.比如時間和角度的單位用六十進(jìn)位制,電子計算機(jī)用的是二進(jìn)制.那么什么是進(jìn)位制?不同的進(jìn)位制之間又又什么聯(lián)系呢? （二）研探新知 進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。 對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。 表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù). 電子計算機(jī)一般都使用二進(jìn)制,下面我們來進(jìn)行二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化 例1 把二進(jìn)制數(shù)110011(2)化為十進(jìn)制數(shù). 解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20 =32+16+2+1 =51 例2 把89化為二進(jìn)制數(shù). 解:根據(jù)二進(jìn)制數(shù)滿二進(jìn)一的原則,可以用2連續(xù)去除89或所得商,然后去余數(shù). 具體的計算方法如下: 89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1 所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1 =1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20 =1011001(2) 這種算法叫做除2取余法,還可以用下面的除法算式表示: 89 44 22 11 5 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 余數(shù) 1 0 0 1 1 0 1 把上式中的各步所得的余數(shù)從下到上排列即可得到89=1011001(2) 上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制化為k進(jìn)制數(shù)的算法,這種算法成為除k取余法. 當(dāng)數(shù)字較小時,也可直接利用各進(jìn)位制表示數(shù)的特點,都是以冪的形式來表示各位數(shù)字,比如2*103表示千位數(shù)字是2,所以可以直接求出各位數(shù)字.即把89轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時,直接觀察得出89與64最接近故89=64*1+25 同理:25=16*1+9 9=8*!+1 即89=64*1+16*1+8*!+1=1*26+1*24+1*23+1*20 位數(shù) 6 5 4 3 2 1 0 數(shù)字 1 0 1 1 0 0 1 即89=1011001(2) 練習(xí):(1)把73轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) (2)利用除k取余法把89轉(zhuǎn)換為5進(jìn)制數(shù) 把k進(jìn)制數(shù)a(共有n位)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)b的過程可以利用計算機(jī)程序來實現(xiàn),語句為: INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n t=GET a[i] b=b+t*k^(i-1) i=i+1 WEND PRINT b END 練習(xí):(1)請根據(jù)上述程序畫出程序框圖. 參考程序框圖: (2)設(shè)計一個算法,實現(xiàn)把k進(jìn)制數(shù)a(共有n位)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)b的過程的程序中的GET函數(shù)的功能,輸入一個正5位數(shù),取出它的各位數(shù)字,并輸出. 小結(jié): (1)進(jìn)位制的概念及表示方法 (2)十進(jìn)制與二進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換的方法及計算機(jī)程序 （5）評價設(shè)計 作業(yè)：P38 A（4） 補充：設(shè)計程序框圖把一個八進(jìn)制數(shù)23456轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù).