2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1（第二課時）類比推理講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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第二課時　類比推理 為了回答“火星上是否有生命”這個問題，科學家們把火星與地球作為類比，發(fā)現(xiàn)火星具有一些與地球類似的特征，如火星也是圍繞太陽運行、繞軸自轉的行星，也有大氣層，在一年中也有季節(jié)的變更，而且火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科學家猜想：火星上也可能有生命存在． 問題：科學家做出上述猜想的推理過程是怎樣的？ 提示：在提出上述猜想的過程中，科學家對比了火星與地球之間的某些相似特征，然后從地球的一個已知特征(有生命存在)出發(fā)，猜測火星也可能具有這個特征． 1．類比推理 根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法．其思維過程為： →→ 2．合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結論、實驗和實踐結果_，以及個人的經(jīng)驗等推測某些結果的推理過程．歸納推理和類比推理都是數(shù)學活動中常用的合情推理． 類比推理的特點主要體現(xiàn)在以下幾個方面： (1)類比推理是從特殊到特殊的推理． (2)類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征．所以，類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠． (3)由于類比推理的前提是兩類對象之間具有某些可以清楚定義的類似特征．所以，進行類比推理的關鍵是明確地指出兩類對象在某些方面的類似特征． 類比推理在數(shù)列中的應用 [例1]　在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．類比上述性質，相應地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有什么樣的等式成立？ [思路點撥]　在等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比中，等差數(shù)列中的和類比等比數(shù)列中的積，差類比商，積類比冪． [精解詳析]　在等差數(shù)列{an}中，a10＝0， ∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1. 又由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n ＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n， 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n， 相應的，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1， 則可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)． [一點通]　類比推理的一般模式為：A類事物具有性質a，b，c，d，B類事物具有性質a′，b′，c′，d′(a，b，c分別與a′，b′，c′相似或相同)，所以B類事物可能具有性質d′(d與d′相似或相同)． 1． 若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn＝(n∈N*)也是等差 數(shù)列． 類比上述性質，相應地： 若數(shù)列{cn}(n∈N*)是等比數(shù)列，且cn>0，則數(shù)列dn＝________(n∈N*)也是等比數(shù)列． 答案： 2．已知命題：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，則am＋n＝.現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，類比上述結論，求bm＋n. 解：等差數(shù)列通項an與項數(shù)n是一次函數(shù)關系，等比數(shù)列通項bn與項數(shù)n是指數(shù)型函數(shù)關系．利用類比可得bm＋n＝＝. 類比推理在幾何中的應用 [例2]　 如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3，三側面△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個猜想． [思路點撥]　在△DEF中，有三條邊，三個角，與△DEF相對應的是四面體S－ABC，與三角形三條邊長對應的是四面體三個側面的面積，三角形三個角對應的是SA，SB，SC與底面ABC所成的三個線面角α1，α2，α3.在平面幾何中三角形的有關性質，我們可以用類比的方法，推廣到四面體、三棱柱等幾何體中． [精解詳析]　在△DEF中，由正弦定理，得＝＝.于是，類比三角形中的正弦定理，在四面體S－ABC中，我們猜想＝＝成立． [一點通]　(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇適當?shù)念惐葘ο?，可以從幾何元素的?shù)目、位置關系、度量等方面入手．由平面中相關結論可以類比得到空間中的相關結論． (2)平面圖形與空間圖形類比 平面圖形 空間圖形 點 線 線 面 邊長 面積 面積 體積 線線角 二面角 三角形 四面體 3．在平面中△ABC的角C的內角平分線CE分△ABC面積所成的比＝，將這個結論類比到空間：在三棱錐A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB交于E，則類比的結論為________． 　　　 圖(1)　　　　　　　　　(2) 解析：平面中的面積類比到空間為體積， 故類比成. 平面中的線段長類比到空間為面積， 故類比成. 故有＝. 答案：＝ 4.如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝bcos C＋ccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想． 解：如圖所示，在四面體P—ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。? 我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應為S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. 合情推理的應用 [例3]　我們已經(jīng)學過了等差數(shù)列，你是否想過有沒有等和數(shù)列呢？ (1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義； (2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項各有什么特點，并加以說明； (3)在等和數(shù)列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n項和Sn. [思路點撥]　可先根據(jù)等差數(shù)列的定義類比出“等和數(shù)列”的定義，然后再據(jù)此定義探索等和數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項及其前n項和． [精解詳析]　(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的和等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列． (2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2， 所以an＋2＝an. 所以等和數(shù)列的奇數(shù)項相等，偶數(shù)項也相等． (3)當n為奇數(shù)時，令n＝2k－1，k∈N*，則 Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝(a＋b)＋a ＝(a＋b)＋a＝a＋b； 當n為偶數(shù)時，令n＝2k，k∈N*，則 Sn＝S2k＝k(a＋b)＝(a＋b)． 所以它的前n項和Sn＝ [一點通]　(1)本題是一道淺顯的定義類比應用問題，通過對等差數(shù)列定義及性質的理解，類比出等和數(shù)列的定義和性質，很好地考查學生類比應用的能 力． (2)本題型是類比定義，對本類題型解決的關鍵在于弄清兩個概念的相似性和相異性． 5．類比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面α內兩個不共線的向量，那么對于平面α內任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.”寫出空間向量基本定理的是________． 答案：如果e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，那么對空間內任一向量a，有且只有一組實數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 6．已知橢圓C：＋＝1具有性質：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為KPM，KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線－＝1寫出類似的性質，并加以證明． 解：類似的性質：若M，N是雙曲線－＝1上關于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為KPM，KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值． 證明如下： 設M(m，n)，則N(－m，－n)，其中－＝1. 設P(x，y)，由KPM＝，KPN＝， 得KPMKPN＝＝， 將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得KPMKPN＝. 1．進行類比推理時，要盡量從本質上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤． 2．多用下列技巧會提高所得結論的準確性： (1)類比對象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些． (2)這些共同屬性或相似屬性應是類比對象的主要屬性． (3)這些共同(相似)屬性應包括類比對象的各個方面，并盡可能是多方面． 一、填空題 1．正方形的面積為邊長的平方，則在立體幾何中，與之類比的圖形是________，結論是________． 答案：正方體　正方體的體積為棱長的立方 2．給出下列推理： (1)三角形的內角和為(3－2)180， 四邊形的內角和為(4－2)180， 五邊形的內角和為(5－2)180， …… 所以凸n邊形的內角和為(n－2)180； (2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tan x是三角函數(shù)，所以y＝tan x是周期函數(shù)； (3)狗是有骨骼的；鳥是有骨骼的；魚是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鳥、魚、蛇和青蛙都是動物，所以，所有的動物都是有骨骼的； (4)在平面內如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行，那么在空間中如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行． 其中屬于合情推理的是________．(填序號) 解析：根據(jù)合情推理的定義來判斷．因為(1)(3)都是歸納推理，(4)是類比推理，而(2)不符合合情推理的定義，所以(1)(3)(4)都是合情推理． 答案：(1)(3)(4) 3．三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為________． 解析：△ABC的內心為O，連結OA，OB，OC，將△ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a，b，c；類比：設四面體A－BCD的內切球球心為O，連結OA，OB，OC，OD，將四面體分割為四個以O為頂點，以原來面為底面的四面體，高都為r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. 答案：(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4為四個面的面積，r為內切球的半徑) 4．在平面幾何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，點A在BC邊上的射影為D，有AB2＝BDBC.”類比平面幾何定理，研究三棱錐的側面面積與射影面積、底面面積的關系，可以得出的正確結論是：“在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，點A在底面BCD上的射影為O，則有________．” 答案：S＝S△BOCS△BCD 5．已知結論：“在三邊長都相等的△ABC中，若D是BC的中點，G是△ABC外接圓的圓心，則＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在六條棱長都相等的四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點，O為四面體ABCD外接球的球心，則＝________.” 解析：如圖，易知球心O在線段AM上，不妨設四面體ABCD的邊長為1，外接球的半徑為R， 則BM＝＝， AM＝ ＝， R＝ ，解得R＝. 于是，＝＝3. 答案：3 二、解答題 6．已知：等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，有如下的性質： (1)通項an＝am＋(n－m)d. (2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，則am＋an＝ap＋aq. (3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數(shù)列． 類比上述性質，在等比數(shù)列{bn}中，寫出相類似的性質． 解：設等比數(shù)列{bn}中，公比為q，前n項和為Sn. (1)通項an＝amqn－m. (2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*， 則aman＝apaq. (3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，則a＝aman. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數(shù)列． 7．類比圓的下列特征，找出球的相關特征． (1)平面內與定點距離等于定長的點的集合是圓； (2)平面內不共線的3個點確定一個圓； (3)圓的周長與面積可求． 解：(1)在空間中，與定點距離等于定長的點的集合是球； (2)空間中不共面的4個點確定一個球； (3)球的表面積與體積可求． 8．若記號“*”表示兩個實數(shù)a與b的算術平均的運算，即a*b＝，則兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，寫出對于任意3個實數(shù)a，b，c都能成立的一個等式． 解：由于本題是探索性和開放性的問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索類比過程，并且答案不惟一．解決這道試題要把握住a*b＝，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數(shù)，而且等式兩邊均含有運算符號 “*”和“＋”，則可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋b)． 正確的結論還有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．