國家開放大學(xué)電大本科《幾何基礎(chǔ)》網(wǎng)絡(luò)課單元五、六試題及答案

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1、國家開放大學(xué)電大本科《幾何基礎(chǔ)》網(wǎng)絡(luò)課單元五、六試題及答案 單元五、六 綜合評測2 一、 填空題 題目1 給定無三點共線的5點，可決定唯一一條二階曲線. 題目2 二階曲線x2-2xy+y2—y+2=0是拋物線. 題目3 兩個不共心的成射影對應(yīng)的線束，對應(yīng)直線的交點的全體是一條二階曲線. 題目4 若點P在二次曲線「?上，那么它的極線是「?的切線. 題目5 由配極原則可知，無窮遠(yuǎn)點的極線一定通過中心. 二、 選擇題 題目6 極線上的點與極點（）. 選擇一項： A. 可能不共輒 B. 不共輒 C. 共輒 D. 不可判定 題目7 無窮遠(yuǎn)點關(guān)于二次曲線的極線

2、成為二次曲線的（）. 選擇一項： A. 漸近線 B. 直徑 C. 半徑 D. 切線 題目8 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，這個命題與歐幾里得第五公設(shè)（）. 選擇一項： A. 矛盾 B. 以上都不正確 C. 等價 D. 無關(guān) 題目9 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，這個命題在歐式幾何內(nèi)不與（）等價. 選擇一項： A. 直徑對應(yīng)的圓周角是直角. B. 過直線外一點又無窮多條直線與已知直線平行. C. 過直線外一點能做而旦只能做一條直線與已知直線平行. D. 三角形內(nèi)角和等于兩直角. 題目10 三角形內(nèi)角和等于180度與（）. 選擇一項：

3、 A. 歐氏平行公設(shè)等價 B. 羅氏平行公設(shè)等價 C. 與橢圓幾何平行公設(shè)等價 D. 不可判定 三、計算題 題目11 1.求通過點?』（02T）,峪*#，C（L-L0），風(fēng)A2）.頊紈-1）的二階曲線方程 解析：設(shè)??階曲線方程為 4 * + 5； + 白 33X； + 2al2xtx2 + 2劣3斗打 + 23% = 0 將L1知五點的坐標(biāo)代入上式得 +。22 —2?！?= 0 4%+%3-4外3=0 , 4a22 +。33 - 4% = 0 4% +16% +4% +5氣一4。|? 一 16% =。 4/1 + 9^22 + 4%3 +12〃[ 2 — 8。|

4、 劣一12。小=0 解方程組得 - 9 a23 =；“】】'％3 = ， “12=01， a22 =aH ' a\3 =Tail f / 4 所求二階曲線的方程為 2 2 r C 9 9 汽 再 4-x； + 5x3 + 2X|X? + - x}xy + - x2xy = 0 . 2xf + 2x； + I Ox； +4X|X? + 9Xj x3 4- 9x2x3 = 0. 題目12 2. 求點關(guān)于、】lL°）二階曲線的3； =0 極線. ?解 將點（1,一1,0）的坐標(biāo)及J=l,2,3）的值代入極線方程 (G15 + Jl/2 +^il>3)X| +日“力

5、)工？ ++口相,+ f 3)工3 =0 7 7 5 即（3—；+。）工1 +（— — 5+0）xi + （2 ——+0）x3 =0 G L ￡ 整理即得所求極線方程 . X\ +3 工,+石—0. 題目13 八 》一 “人 小偵-2.u -2i - 21 -1=01——、 3. 求二階曲線 ’” ^ 的中心. 1 1 2 』=(%)= 1 2 I 2 1 0 . ■ 于是 = -3 . = 1. = 1 因此,中心坐標(biāo)為(-3,1,1),或?qū)懗煞驱R次坐標(biāo)(-3,1). 題目14 4. 求直線3毛一 V 一 6上=注關(guān)于* +￡ 一 "急十貝］歪-6x:.v3

6、= 0的極點. ? V (f yi ? ■ Wl 解利用 。V, =人. j yi. 因為 D=|A|= 一1 1 —3，所以 A” = —9,A” = —1 .人“=0.?1“=人單= —3.Ai3 1 -3 0 =A“ = 2?A"=A”=2(\為元素j的代數(shù)余子式〉. 于是 0 yi ■ ■ 「一9 -3 2 3 -12 o yi n/V Ul s= -3 -1 2 一］ = 4 Us 」2 2 0 6 ■ ■ 4 即 所求極點的坐標(biāo)為(-12.4.4). 題目

7、15 ,、 人皿，卜偵+E'+：M+4x + 21+1 = 0 , 一 l…, 5. 求二階曲線 ’’ ?過點(1, 1)的直徑. 解析：注意二次曲線站以北齊次坐標(biāo)形式給出的,其中?！?1?a22 = 2 .. .3=2. = 灼3 = 1,代入立控公式的非齊次形式 (知 X + ■ — + 角3)+ k(a2xx + a22y + %) = 0 得 ("》+ 2)"(x+2y + l) = 0 代入“齊次坐標(biāo)的點(1,1用 (lxl + lxl + 2) + *(lxl + 2x】 +1) = 0 于劉 * = 一1 將人二?1代入(.匚+ ^ + 2)*人(1： + 2

8、,?1)=0.每 直徑為 y-l=0. 題目16 6. 6 v* 求二次曲線f 在點(1, 2, 1)的切線方程. 6Xr-2'-24Xl' + llX2Xl=O 說明點(1,2>1)在二次曲線上. 6 0 o ‘ > < X| 0 —1 n (1 2 1) 7 0 i 11 7 一 24 整理得 12工〕+ hi 題目17 7.求二次曲線的: lxZ -TXJ - -3x 0 故所求的切線方程為 =0 2 —26xs =0 —。漸近線. 解：..?系數(shù)行列式 2 -3 aM， 因此中心坐標(biāo) g =- —?n =— 2XPXY-3Y=O? (2X+3Y)(X-Y)=O 2X+3Y=O X-Y=0. (I) X*； Yny+；代入(I) 2x+3y+l=0 x-y=0 即為所求的漸近線方程 四、簡答題 題目18 1.請敘述歐幾里得的第五公設(shè)? 答：L 從任意一點到另一點可以引直線 2, 每條直線都可無線延長 3, 以任意點作為中心可以用任意半徑做圓周 4, 所有直角都相等 5, 平面上兩條直線被第三條直線所截，若截線一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于二直角，則兩直線必相交于截線的這一側(cè)