新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第10章 概率 第1節(jié) 隨機事件的概率學案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第一節(jié)　隨機事件的概率 [考綱傳真]　1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式． (對應學生用書第148頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．隨機事件和確定事件 (1)在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的必然事件． (2)在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的不可能事

3、件． (3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件． (4)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的隨機事件． (5)確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示． 2．頻率與概率 在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率．記作P(A)． 3．事件的關(guān)系與運算 互斥事件：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件． 事件A＋B：事件A＋B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個發(fā)生．

4、 對立事件：不會同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生的事件是相互對立事件． 4．概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式． ①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)． [知識拓展] 1．必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件． 2．不可能事件的概率為0，但概率為0的事件不一定是不可能事件． 3．互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系 互斥事件與對立事件都是兩

5、個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　) (2)在大量的重復實驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　) (3)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改編)袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有

6、1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球． 在上述事件中，是對立事件的為(　　) A．①　　　　 B．②　　　　 C．③　　　　 D．④ B　[至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生，∴②中兩事件是對立事件．] 3．(20xx·天津高考)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． A　[事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿椋?] 4．(20xx·天津模擬)

7、經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應概率如下表： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則該營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是________． 0．74　[由表格可得至少有2人排隊的概率P＝1－0.1－0.16＝0.74.] 5．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．(填序號) 【導學號：00090346】 ①至多有一次中靶；②兩次都中靶；③只有一次中靶；④兩次都不中靶． ④ (對應學生用書第149頁)

8、 隨機事件間的關(guān)系 　(20xx·深圳模擬)從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．上述事件中，是對立事件的是(　　) A．①　　　　 B．②④　　　　 C．③　　　　 D．①③ C　[從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù)，其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個奇數(shù)這兩種情況，它與兩個都是偶數(shù)是對立事件． 又①②④中的事件可以同時發(fā)生，不是對立事件．] [規(guī)律方法]　1.本題中準

9、確理解恰有兩個奇數(shù)(偶數(shù))，一奇一偶，至少有一個奇數(shù)(偶數(shù))是求解的關(guān)鍵，必要時可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系． 2．準確把握互斥事件與對立事件的概念． (1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生． (2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件有且僅有一個發(fā)生． [變式訓練1]　口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1個黃球”，C＝“取出的2球至少有1個白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1個白球”．下列判斷中正確的序號

10、為________． ①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)． ①④　[當取出的2個球中一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確．當取出的2個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，則③不正確．顯然A與D是對立事件，①正確；C∪E為必然事件，④正確．由于P(B)＝，P(C)＝，所以⑤不正確．] 隨機事件的頻率與概率 　(20xx·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)

11、．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的

12、進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． [解]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. 3分 (2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900； 5分 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 7分 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 9分 所以，

13、Y的所有可能值為900,300，－100. 10分 Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 12分 [規(guī)律方法]　1.解題的關(guān)鍵是根據(jù)統(tǒng)計圖表分析滿足條件的事件發(fā)生的頻數(shù)，計算頻率，用頻率估計概率． 2．頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)(概率)，因此有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值． [變式訓練2]　(20xx·全國卷Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元

14、)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 【導學號：00090347】 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于

15、基本保費的160%”，求P(B)的估計值； (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值． [解]　(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55. 4分 (2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3. 8分 (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 10分 調(diào)查的

16、200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5A． 因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5A． 12分 互斥事件與對立事件的概率 　某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示． 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100

17、位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值； (2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)． [解]　(1)由題意，得 解得x＝15，且y＝20. 2分 該超市所有顧客一次性購物的結(jié)算時間組成一個總體，100位顧客一次購物的結(jié)算時間視為總體的一個容量為100的簡單隨機抽樣，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計． 又＝＝1.9， ∴估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值為1.9分鐘. 5分 (2)設(shè)B，C分別表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間分別為2.5分鐘、3分鐘

18、”．設(shè)A表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．” 7分 將頻率視為概率，得 P(B)＝＝，P(C)＝＝. ∵B，C互斥，且＝B＋C， ∴P()＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝， 10分 因此P(A)＝1－P()＝1－＝， ∴一位顧客一次購物結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為0.7. 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來． (2)結(jié)算時間不超過2分鐘的事件，包括結(jié)算時間為2分鐘的情形，否則會計算錯誤． 2．求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事

19、件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法． [變式訓練3]　某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率． [解]　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， 2分 P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. 5分 (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C． ∵A，B，C兩兩互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝， 8分 故1張獎券的中獎概率約為. (3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝， 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為. 12分