新版高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓(xùn)練課件： 課時分層訓(xùn)練43 垂直關(guān)系 理 北師大版

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1、 1

2、 1 課時分層訓(xùn)練(四十三)　垂直關(guān)系 A組　基礎(chǔ)達標 一、選擇題 1．設(shè)α，β為兩個不同的平面，直線lα，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[依題意，由l⊥β，lα可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，lα不能推出l⊥β.因此，“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，故選A.

3、] 2．(20xx·中原名校聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(　　) A．α⊥β且mα　　　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β C　[對于選項A，α⊥β且mα，可得m∥β或m與β相交或mβ，故A不成立；對于選項B，α⊥β且m∥α，可得mβ或m∥β或m與β相交，故B不成立；對于選項C，m∥n且n⊥β，則m⊥β，故C正確；對于選項D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或mβ，故D不成立，故選C.] 3．設(shè)a，b是夾角為30°的異面直線，則滿足條件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β(

4、　　) A．不存在 B．有且只有一對 C．有且只有兩對 D．有無數(shù)對 D　[過直線a的平面α有無數(shù)個，當平面α與直線b平行時，兩直線的公垂線與b確定的平面β⊥α，當平面α與b相交時，過交點作平面α的垂線與b確定的平面β⊥α.故選D.] 4．(20xx·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[ 如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯； ∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥

5、BC1，故C正確； (證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯． 故選C.] 5．(20xx·河北唐山一模)如圖7-4-10，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有(　　) 【導(dǎo)學號：79140236】 圖7-4-10 A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平

6、面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF B　[根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變， ∴AH⊥平面EFH，B正確； ∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確； ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確； 由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確．故選B.] 二、填空題 6．如圖7-4-11，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線是________；與AP垂直的直線是________．

7、 圖7-4-11 AB，BC，AC；AB　[∵PC⊥平面ABC， ∴PC垂直于直線AB，BC，AC. ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥AP，故與AP垂直的直線是AB.] 7．如圖7-4-12所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 圖7-4-12 DM⊥PC(或BM⊥PC)　[連接AC，BD，則AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD

8、⊥PC. ∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD. 而PC平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD.] 8．(20xx·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，mα，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) 【導(dǎo)學號：79140237】 ②③④　[對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤． 對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線lα

9、，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又mα，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．] 三、解答題 9．(20xx·北京高考)如圖7-4-13，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點． 圖7-4-13 (1)求證：PA⊥BD； (2)求證：平面BDE⊥平面PAC

10、； (3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積． [解]　(1)證明：因為PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC. 又因為BD平面ABC，所以PA⊥BD. (2)證明：因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 因為D為AC的中點，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝. 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 所以三棱錐E-BCD的體積V＝BD·DC·DE＝.] 10．(20xx·江蘇

11、高考)如圖7-4-14，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 圖7-4-14 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. [證明]　(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB. 又因為EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， BC平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因為AD平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面

12、ABC，BC平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC平面ABC， 所以AD⊥AC. B組　能力提升 11．(20xx·貴州貴陽二模)如圖7-4-15，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是(　　) 圖7-4-15 A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的內(nèi)心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 A　[由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，則PO⊥

13、EF，因為PO∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO， 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， 所以O(shè)為△AEF的垂心．] 12.如圖7-4-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF. 圖7-4-16 a或2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D. 為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)． 設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2， ∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝

14、a或x＝2a.] 13. (20xx·四川高考)如圖7-4-17，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD. 圖7-4-17 (1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由； (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. 【導(dǎo)學號：79140238】 [解]　(1)取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點． 理由如下：連接CM， 因為AD∥BC，BC＝AD， 所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形， 所以CM∥AB. 又AB平面PAB，CM平面PAB， 所以CM∥平面PAB. (說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點) (2)證明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD， 因為AD∥BC，BC＝AD，所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 因為AD∥BC，BC＝AD，M為AD的中點，連接BM， 所以BC∥MD，且BC＝MD， 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.