新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性學案 理 北師大版

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1、 1

2、 1 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性． (對應學生用書第13頁) [基礎知識填充] 1．奇函數(shù)、偶函數(shù) 圖像關于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)．在奇函數(shù)f(x)中，f(x)和f(－x)的絕對值相等，符

3、號相反．即f(－x)＝－f(x)，反之，滿足f(－x)＝－f(x)的函數(shù)一定是奇函數(shù)． 圖像關于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)．在偶函數(shù)f(x)中，f(x)＝f(－x)，反之，滿足f(－x)＝f(x)的函數(shù)一定是偶函數(shù)． 2．奇(偶)函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在關于原點的區(qū)間上的單調性相反(填“相同”“相反”)． (2)在公共定義域內 ①兩個奇函數(shù)和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)． ②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)． ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)． (3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且x＝0處有定義，則f(0)＝0. 3．

4、函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T，對定義域內的任意一個x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期． 4．函數(shù)的對稱性常見的結論 (1)函數(shù)y＝f(x)關于x＝對稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函數(shù)y＝f(x)關于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)； 函數(shù)y＝f(x)關于x＝0對稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))． (2)

5、函數(shù)y＝f(x)關于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函數(shù)y＝f(x)關于點(a,0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函數(shù)y＝f(x)關于(0,0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))． (3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱； y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關于點(a,0)對稱． [知識拓展] 1．函數(shù)奇偶性常用結論 (1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|

6、)． (3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性． (4)y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)； y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．函數(shù)周期性常用結論 對f(x)定義域內任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)

7、．(　　) (2)偶函數(shù)圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原點．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　　) (4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱．(　　) (5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　) A．－　　　　 B. C. D．－ B　[依題意b＝0，且2a＝

8、－(a－1)， ∴b＝0且a＝，則a＋b＝.] 3．(教材改編)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x D　[D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)．] 4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B　[∵f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0， 又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.] 5．(20xx·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈(

9、－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________. 12　[法一：令x＞0，則－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)． ∴f(2)＝2×23－22＝12. 法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.] (對應學生用書第14頁) 函數(shù)奇偶性的判斷 　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ln(＋x)； (3)f(x)＝(x＋1)； (4)f(x)＝ [解]　(1)由得x＝±

10、1， ∴f(x)的定義域為{－1,1}． 又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， ∴f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (2)f(x)的定義域為R， f(－x)＝(ln－x)＝ln ＝－ln(＋x)＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)． (3)由≥0可得函數(shù)的定義域為(－1,1]． ∵函數(shù)定義域不關于原點對稱， ∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù)． (4)易知函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，又當x＞0時，f(x)＝x2＋x， 則當x＜0時，－x＞0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 當x＜0時，f(x)＝x2－x

11、，則當x＞0時，－x＜0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)． [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)奇偶性的三種常用方法 (1)定義法 (2)圖像法 (3)性質法 在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [跟蹤訓練]　(1)(20xx·深圳二調)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,1)上單調遞增的是(　　) A．y＝cos x　　　　　　 B．y＝ C．y＝2|x| D．y＝|lg x| (2)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶

12、函數(shù)　 B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) (1)C　(2)C　[(1)由于對應函數(shù)是偶函數(shù)，可以排除選項B，D；對應函數(shù)在(0,1)上單調遞增，可以排除選項A；y＝2|x|是偶函數(shù)，又在(0,1)上單調遞增，選項C正確，故選C. (2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數(shù)，A錯． B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x

13、)是偶函數(shù)，B錯． C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確． D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，D錯．] 函數(shù)的周期性 　(1)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0

14、f(x)＝2x－1.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值為________． (1)－2　(2)1 347　[(1)∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)， ∴f＝f＝－f＝－4＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－2＋0＝－2. (2)∵f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝－＝f(x)， ∴函數(shù)y＝f(x)的周期T＝4. 又x∈(0,2]時，f(x)＝2x－1， ∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1， f(4)＝－＝－. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019) ＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×

15、4＋1)＋f(504×4＋2)＋f(504×4＋3) ＝504＋1＋3－1 ＝1 347.] [規(guī)律方法]　(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合命題.,(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質得到函數(shù)的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期. [跟蹤訓練]　已知函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當x∈(0,1]時，f(x)＝lg(x＋1)，則f＋lg 18＝________. 1　[由函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)， 得f＝f＝

16、f＝－f＝－lg＝lg， 故f＋lg 18＝lg＋lg 18＝lg 10＝1.] 函數(shù)性質的綜合應用 ◎角度1　單調性與奇偶性結合 　(20xx·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] D　[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，∴－1≤x－2

17、≤1， ∴1≤x≤3.故選D.] ◎角度2　奇偶性與周期性結合 　(20xx·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.] ◎角度3　單調性、奇偶性與周期性結合 　(1)已知定義在R上的奇函

18、數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (2)已知定義在實數(shù)上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，當x∈[0,2]時，y＝f(x)遞減，下列四個命題中正確命題的序號是________． ①f(2)＝0；②x＝－4是y＝f(x)圖像的一條對稱軸；③y＝f(x)在[8,10]單增；④f(x)是周期函數(shù)；⑤若方程f(x)＝m在[－6，－2]上有兩根x1，x2，則

19、x1＋x2＝－8. (1)D　(2)①②④⑤　[(1)因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． 因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， 所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)， 所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)． (2)令x＝－2得f(－2＋4)＝f(－2)

20、＋f(2)，解得f(2)＝0，故f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，又f(x)為偶函數(shù)，y軸是f(x)的對稱軸，故x＝－4是y＝f(x)的一條對稱軸，由函數(shù)的對稱性和周期可判斷y＝f(x)在[8,10]上單調遞增，因[－6，－2]為f(x)的一個周期，x＝－4為f(x)在[－6，－2]上的對稱軸，故x1＋x2＝－8，因此①②④⑤正確，③錯誤．] [規(guī)律方法]　函數(shù)性質綜合應用問題的常見類型及解題方法 (1)函數(shù)單調性與奇偶性結合.注意函數(shù)單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖像的對稱性. (2)周期性與奇偶性結合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函

21、數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解. (3)周期性、奇偶性與單調性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解.) [跟蹤訓練]　(1)(20xx·天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．若a＝－f，b＝f(log2 4.1)，c＝f(20.8)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a

22、A．0 B．1 C．－1 D．－2 (3)偶函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________. (1)C　(2)B　(3)3　[(1)∵f(x)在R上是奇函數(shù)， ∴a＝－f＝f＝f(log25)． 又f(x)在R上是增函數(shù)，且log25>log24.1>log24＝2>20.8， ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c. 故選C. (2)由題意得f(x＋4)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)以8為周期，∴f(2 017)＝f(1)＝1，故選B. (3)∵函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝2對稱，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1)＝3， 又∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)＝3.]