新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版

《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第九節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 [考綱傳真]　(教師用書(shū)獨(dú)具)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第189頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…

3、，r)． (1)均值 EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻畫(huà)的是X取值的“中心位置”． (2)方差 DX＝E(X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度． 2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aEX＋B． (2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))． 3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 均值 方差 變量X服從兩點(diǎn)分布 EX＝p DX＝p(1－p) X～B(n，p) EX＝np DX＝np(1－p) [知識(shí)拓展]　EX反映了x取值的平均水平，DX反映了X針對(duì)EX的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度． 區(qū)

4、分、s2、μ、σ2、EX、DX. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無(wú)關(guān)．(　　) (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量．(　　) (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小. (　　) (4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知X的分布列為

5、 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則EY的值為(　　) A．　　　　　　　　 B．4 C．－1 D．1 A　[EX＝－1×＋0×＋1×＝－， 則EY＝2EX＋3＝3－＝.] 3．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，則Dξ等于(　　) A．8 B．5 C．10 D．12 A　[∵Eξ＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴Dξ＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.] 4．(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝

6、________. 1.96　[由題意得X～B(100,0.02)， 所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.] 5．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若EX＝30，DX＝20，則p＝________. 　[由于X～B(n，p)，且EX＝30，DX＝20， 所以解得p＝.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第190頁(yè)) 離散型隨機(jī)變量的均值、方差 　(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．

7、如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n

8、(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ [解]　(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高氣溫

9、低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 當(dāng)200≤n<300時(shí)， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元． [規(guī)律方法]　求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值. (2)求X取每個(gè)值時(shí)的

10、概率. (3)寫(xiě)出X的分布列. (4)由均值的定義求EX. (5)由方差的定義求DX. 易錯(cuò)警示：注意E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX的應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·青島一模)為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)． (1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

11、(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ，方差Dξ. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140377】 [解]　(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元． 兩人都付0元的概率為P1＝×＝， 兩人都付40元的概率為P2＝×＝， 兩人都付80元的概率為 P3＝×＝×＝， 則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則： P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)＝×

12、＝. ξ的分布列為 ξ 0 40 80 120 160 P Eξ＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. Dξ＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值、方差 　 (20xx·鄭州診斷)空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Lndex，簡(jiǎn)稱(chēng)AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保

13、人士記錄某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖10-9-1所示． 圖10-9-1 (1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個(gè)月總共30天計(jì)算) (2)將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列、數(shù)學(xué)期望和方差． [解]　(1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為＝， 從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×＝18. (2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為， ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C＝， P(ξ＝2)

14、＝C＝，P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 顯然ξ～B，Eξ＝3×＝1.8，隨機(jī)變量ξ的方差Dξ＝3××＝. [規(guī)律方法]　1.求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí)，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量. 2.有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出E(aξ＋b).同樣還可求出D(aξ＋b). [跟蹤訓(xùn)練]　一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布

15、直方圖，如圖10-9-4所示． 圖10-9-4 將日銷(xiāo)售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立． (1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)的概率； (2)用X表示在未來(lái)3天里日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望EX及方差DX. [解]　(1)設(shè)A1表示事件“日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)”， A2表示事件“日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”， B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)且另一天銷(xiāo)售量低于50個(gè)”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A

16、2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C·0.63＝0.216. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因?yàn)閄～B(3,0.6)，所以期望EX＝3×0.6＝1.8，方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 均值與方差在決

17、策中的應(yīng)用 　(20xx·廣州綜合測(cè)試(二))某商場(chǎng)擬對(duì)某商品進(jìn)行促銷(xiāo)，現(xiàn)有兩種方案供選擇，每種促銷(xiāo)方案都需分兩個(gè)月實(shí)施，且每種方案中第一個(gè)月與第二個(gè)月的銷(xiāo)售相互獨(dú)立．根據(jù)以往促銷(xiāo)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若實(shí)施方案1，預(yù)計(jì)第一個(gè)月的銷(xiāo)量是促銷(xiāo)前的1.2倍和1.5倍的概率分別是0.6和0.4，第二個(gè)月的銷(xiāo)量是第一個(gè)月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若實(shí)施方案2，預(yù)計(jì)第一個(gè)月的銷(xiāo)量是促銷(xiāo)前的1.4倍和1.5倍的概率分別是0.7和0.3，第二個(gè)月的銷(xiāo)量是第一個(gè)月的1.2倍和1.6倍的概率分別是0.6和0.4.令ξi(i＝1,2)表示實(shí)施方案i的第二個(gè)月的銷(xiāo)量是促銷(xiāo)前銷(xiāo)量的倍數(shù)． (1)求ξ1，ξ2

18、的分布列； (2)不管實(shí)施哪種方案，ξi與第二個(gè)月的利潤(rùn)之間的關(guān)系如下表，試比較哪種方案第二個(gè)月的利潤(rùn)更大． 銷(xiāo)量倍數(shù) ξi≤1.7 1.7<ξi<2.3 ξi≥2.3 利潤(rùn)(萬(wàn)元) 15 20 25 [解]　(1)由題意，ξ1的所有取值為1.68,1.92,2.1,2.4， 因?yàn)镻(ξ1＝1.68)＝0.6×0.5＝0.30， P(ξ1＝1.92)＝0.6×0.5＝0.30， P(ξ1＝2.1)＝0.4×0.5＝0.20， P(ξ1＝2.4)＝0.4×0.5＝0.20， 所以ξ1的分布列為 ξ1 1.68 1.92 2.1 2.4 P1 0.30

19、 0.30 0.20 0.20 由題意，ξ2的所有取值為1.68,1.8,2.24,2.4， 因?yàn)镻(ξ2＝1.68)＝0.7×0.6＝0.42， P(ξ2＝1.8)＝0.3×0.6＝0.18， P(ξ2＝2.24)＝0.7×0.4＝0.28， P(ξ2＝2.4)＝0.3×0.4＝0.12， 所以ξ2的分布列為 ξ2 1.68 1.8 2.24 2.4 P2 0.42 0.18 0.28 0.12 (2)令Qi表示實(shí)施方案i在第二個(gè)月所獲得的利潤(rùn)，則 Q1 15 20 25 P 0.30 0.50 0.20 Q2 15 20 2

20、5 P 0.42 0.46 0.12 所以EQ1＝15×0.30＋20×0.50＋25×0.20＝19.5， EQ2＝15×0.42＋20×0.46＋25×0.12＝18.5. 因?yàn)镋Q1>EQ2， 所以實(shí)施方案1，第二個(gè)月的利潤(rùn)更大． [規(guī)律方法]　利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略 (1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分歧，可對(duì)問(wèn)題作出判斷. (2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大.則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·呼和浩特一調(diào))春節(jié)前夕我市某公司要將一批新鮮牛羊肉用汽車(chē)運(yùn)往指定城市A，如果

21、能按約定日期送到，則該公司可獲得銷(xiāo)售收入30萬(wàn)元，每提前一天送到，可獲得獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元，每遲到一天送到，銷(xiāo)售收入將少獲得1萬(wàn)元．為保證按時(shí)送達(dá)，公司只能在約定日期的前兩天出發(fā)，若行駛路線只能選擇公路1或公路2中的一條，運(yùn)費(fèi)及其他信息如下表所示. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140378】 路線 統(tǒng)計(jì) 不堵車(chē)的情況下送達(dá)到城市A所需的時(shí)間(天) 堵車(chē)的情況下送達(dá)到城市A所需的時(shí)間(天) 堵車(chē)的概率 運(yùn)費(fèi)(萬(wàn)元) 公路1 2 3 0.1 4 公路2 1 4 0.3 2 (1)記汽車(chē)走公路2時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)(收入－運(yùn)費(fèi))為ξ(萬(wàn)元)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ； (2)假設(shè)你

22、是公司的決策者，會(huì)選擇哪條公路運(yùn)送，并說(shuō)明理由． [解]　(1)汽車(chē)走公路2時(shí)，不堵車(chē)時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)ξ＝30＋1－2＝29(萬(wàn)元)． 堵車(chē)時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)ξ＝30－2－2＝26(萬(wàn)元)． ∴汽車(chē)走公路2時(shí)獲得的毛利潤(rùn)ξ的分布列為 ξ 29 26 P 0.7 0.3 ∴Eξ＝29×0.7＋26×0.3＝28.1(萬(wàn)元)． (2)設(shè)汽車(chē)走公路1時(shí)獲得的毛利潤(rùn)為η， 則不堵車(chē)時(shí)獲得的毛利潤(rùn)η＝30－4＝26(萬(wàn)元)， 堵車(chē)時(shí)獲得的毛利潤(rùn)η＝30－1－4＝25(萬(wàn)元)， ∴汽車(chē)走公路1時(shí)獲得的毛利潤(rùn)η的分布列為 η 26 25 P 0.9 0.1 ∴Eη＝26×0.9＋25×0.1＝25.9(萬(wàn)元)． ∵Eξ>Eη，∴選擇公路2可以更多獲利．