新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法、分析法、反證法學案 理 北師大版

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1、 第五節(jié) 綜合法、分析法、反證法 [考綱傳真] (教師用書獨具)1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點;2.了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程和特點. (對應學生用書第101頁) [基礎知識填充] 1.綜合法、分析法 內容 綜合法 分析法 定義 從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結論,直到完成命題的證明.我們把這樣的思維方法稱為綜合法 從求證的結論出發(fā),一步一步地探索保證前一個結論成立的充分條件,直到歸結為這個命題的條件,或者歸結為定

2、義、公理、定理等.我們把這樣的思維方法稱為分析法 實質 由因導果 執(zhí)果索因 框圖表示 →→…→ →→…→ 文字語言 因為……所以……或由……得…… 要證……只需證……即證…… 2.反證法 (1)反證法的定義:在假定命題結論的反面成立的前提下,經(jīng)過推理,若推出的結果與定義、公理、定理矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結論的反面不可能成立,由此斷定命題結論成立的方法叫反證法. (2)反證法的證題步驟: ①作出否定結論的假設;②進行推理,導出矛盾;③否定假設,肯定結論. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,

3、錯誤的打“×”) (1)分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使結論成立的充要條件.(  ) (2)用反證法證明結論“a>b”時,應假設“a<b”.(  ) (3)反證法是指將結論和條件同時否定,推出矛盾.(  ) (4)在解決問題時,常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.用分析法證明時出現(xiàn):欲使①A>B,只需②C<D,這里①是②的(  ) A.充分條件    B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 B [由題意可知②?①,故①是②的必要條件.] 3.用反證法證明命題:“已知

4、a,b為實數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是(  ) A.方程x2+ax+b=0沒有實根 B.方程x2+ax+b=0至多有一個實根 C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實根 D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根 A [“方程x2+ax+b=0至少有一個實根”的反面是“方程x2+ax+b=0沒有實根”,故選A.] 4.設a,b,c都是正數(shù),則a+,b+,c+三個數(shù)(  ) A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2 D [∵++ =++≥6, 當且僅當a=b=c時取等號, ∴三個數(shù)中至少有一個不小于2.]

5、 5.(教材改編)在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,a,b,c成等比數(shù)列,則△ABC的形狀為__________三角形. 等邊 [由題意2B=A+C, 又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, ∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c, ∴A=C,∴A=B=C=, ∴△ABC為等邊三角形.] (對應學生用書第102頁) 綜合法  (20xx·江蘇高考)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+

6、1+…+an+k-1+an+k=2kan,對任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”. (1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”; (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列. [證明] (1)因為{an}是等差數(shù)列,設其公差為d,則 an=a1+(n-1)d, 從而,當n≥4時, an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d =2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3, 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差數(shù)列{an}是“P(

7、3)數(shù)列”. (2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,因此, 當n≥3時,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,① 當n≥4時,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④ 將③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列,設其公差為d′. 在①中,取n=4,則a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d′, 在①中,取n=3,則a1+a2+a4+a5

8、=4a3,所以a1=a3-2d′, 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列. [規(guī)律方法] 用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結論,常與分析法結合使用,用分析法探路,綜合法書寫.綜合法的適用范圍: (1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調性、奇偶性、求證無條件的等式或不等式; (2)已知條件明確,并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型. [跟蹤訓練] 設a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1. 證明:(1)ab+bc+ac≤; (2)++≥1. 【導學號:79140209】 [證明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 得a2+b2+c2≥ab

9、+bc+ca, 由題設得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤. (2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c. 所以++≥1. 分析法  已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2∈R,均有≥f. [規(guī)律方法] 1.分析法的適用范圍 當已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,??紤]用分析法

10、. 2.利用分析法證明問題的思路與書寫格式 分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”,逐步尋找結論成立的充分條件,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質或已經(jīng)證明成立的結論等,通常采用“欲證—只需證—已知”的格式,在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性. [跟蹤訓練] 已知△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,c. 求證:+=. [證明] 要證+=, 即證+=3,也就是+=1, 只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需證c2+a2=ac+b2, 又△ABC三內角A,B,C成等差數(shù)列, 故B=60°, 由余弦定

11、理,得 b2=c2+a2-2accos 60°, 即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立. 反證法  設a>0,b>0,且a+b=+.證明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立. [證明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1, 有a+b≥2=2,即a+b≥2. (2)假設a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0,得0

12、規(guī)律方法] 用反證法證明問題的步驟 (1)反設:假定所要證的結論不成立,而設結論的反面成立(否定結論) (2)歸謬:將“反設”作為條件,由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理,導出矛盾,矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾.(推導矛盾) (3)立論:因為推理正確,所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設”的謬誤.既然原命題結論的反面不成立,從而肯定了原命題成立.(命題成立) [跟蹤訓練] 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn; (2)設bn=(n∈N+),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列. 【導學號:79140210】 [解] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 所以d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+). (2)證明:由(1)得bn==n+, 假設數(shù)列{bn}中存在三項bp,bq,br(p,q,r∈N+,且互不相等)成等比數(shù)列,則b=bpbr. 即(q+)2=(p+)(r+), 所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0, 因為p,q,r∈N+,所以 所以=pr,(p-r)2=0, 所以p=r,與p≠r矛盾, 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.

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