新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 專題探究課3 數(shù)列中的高考熱點問題 理 北師大版

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1、 1

2、 1 三)　數(shù)列中的高考熱點問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第90頁) [命題解讀]　數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中既具有獨立性，又具有較強(qiáng)的綜合性，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點，從近五年全國卷高考試題來看，本專題的熱點題型有：一是等差、等比數(shù)列的綜合問題；二是數(shù)列的通項與求和；三是數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯，難度中等． 等差、等比數(shù)列的綜合問題 解決等差、等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵

3、是理清兩種數(shù)列的項之間的關(guān)系，并注重方程思想的應(yīng)用，等差(比)數(shù)列共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”． 　已知等差數(shù)列{an}，公差d＝2，S1，S2，S4成等比數(shù)列． (1)求an； (2)令bn＝(－1)n，求{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)∵S1，S2，S4成等比數(shù)列． ∴S＝S1S4， ∴(2a1＋2)2＝a1 解得a1＝1， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)bn＝(－1)n· ＝(－1)n· ＝(－1)n. ∴當(dāng)n為偶數(shù)時，{bn}的前n項和Tn＝－＋－…＋ ＝－1＋＝， 當(dāng)n為奇數(shù)時，{bn}的前n項和Tn＝－＋

4、－…－ ＝－1－＝－. 故Tn＝ [規(guī)律方法]　1.若{an}是等差數(shù)列，則{ban}(b>0，且b≠1)是等比數(shù)列；若{an}是正項等比數(shù)列，則{logban}(b>0，且b≠1)是等差數(shù)列. 2.對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，以便實現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化. [跟蹤訓(xùn)練]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)a1>0，λ＝100.當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？ [解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝

5、0. 若a1＝0，則Sn＝0. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以an＝0(n≥1)． 若a1≠0，則a1＝. 當(dāng)n≥2時，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1， 兩式相減得2an－2an－1＝an， 所以an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列， 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝. 綜上，當(dāng)a1＝0時，an＝0；當(dāng)a1≠0時，an＝. (2)當(dāng)a1>0，且λ＝100時，令bn＝lg， 由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2. 所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為－lg 2. b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝

6、0， 當(dāng)n≥7時，bn≤b7＝lg＝lg

7、1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 3分 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1. 5分 (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝， 7分 因此{(lán)bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列. 9分 記{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝－. 12分 [閱卷者說] 易錯點 防范措施 不知道如何求出a1 加強(qiáng)賦值法的訓(xùn)練，明確遞推式anbn＋1＋bn＋1＝nbn對任意n∈N＋均成立，欲求a1，只需令n＝1即可． 不會應(yīng)用第(1)問的結(jié)果 事實上，一個解答題設(shè)計幾問，后一問的解答，應(yīng)有意識的應(yīng)用前一問的結(jié)果.

8、 [規(guī)律方法]　若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.首項與公差是等差數(shù)列的“基本量”，首項與公比是等比數(shù)列的“基本量”.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式； (2)若T3＝21，求S3. [解]　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.① (1)由a3＋b3＝5

9、得2d＋q2＝6.② 聯(lián)立①和②解得(舍去)， 因此{(lán)bn}的通項公式為bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0. 解得q＝－5或q＝4. 當(dāng)q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21. 當(dāng)q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6. 數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯 數(shù)列與函數(shù)的交匯一般體現(xiàn)在兩個方面：一是以數(shù)列的特征量n，an，Sn等為坐標(biāo)的點在函數(shù)圖像上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系；二是數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題． 數(shù)列與不等式的交匯考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等

10、式恒成立問題；三是考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明． ◎角度1　數(shù)列與函數(shù)的交匯 　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋2n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若點(bn，an)在函數(shù)y＝log2 x的圖像上，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號：79140186】 [解]　(1)當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4＝4×1， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n. (2)由點(bn，an)在函數(shù)y＝log2 x的圖像上得an＝log2bn，且an＝4n，所以bn＝2

11、＝24n＝16n， 故數(shù)列{bn}是以16為首項，公比為16的等比數(shù)列． Tn＝＝. [規(guī)律方法]　解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理. ◎角度2　數(shù)列與不等式的交匯 　(20xx·東北三省三校二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝an－n. (1)證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝，且數(shù)列{cn}的前n項和Tn，求證：Tn＜.

12、[證明]　(1)∵an＋1＝2an－n＋1， ∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，即bn＋1＝2bn. 又b1＝a1－1＝2， ∴數(shù)列{bn}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知，bn＝2×2n－1＝2n， ∴cn＝＝－. ∴Tn＝－＋－＋…＋－ ＝－＜. [規(guī)律方法]　解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等.總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了. [跟蹤訓(xùn)練]　設(shè)n∈N＋，xn是曲線y＝x2n＋

13、2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. [解]　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)xn＝1－＝， 所以數(shù)列{xn}的通項公式xn＝. (2)證明：由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知， Tn＝xx…x＝…. 當(dāng)n＝1時，T1＝. 當(dāng)n≥2時，因為x＝2＝>＝＝， 所以Tn>×××…×＝. 綜上可得，對任意的n∈N＋，均有Tn≥.