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1、新編高考數(shù)學復習資料
第1講 坐標系與簡單曲線的極坐標方程
基礎(chǔ)鞏固
1.極坐標方程ρ=化直角坐標方程為 .?[來源:]
答案:3x2-8x+4y2=16
解析:∵ρ=,∴2ρ-ρcos θ=4,即2ρ=4+ρcos θ.[來源:]
于是4ρ2=(ρcos θ+4)2.
故4x2+4y2=(x+4)2=x2+8x+16,即3x2-8x+4y2=16.
2.在極坐標系中,點到圓ρ=2cos θ的圓心的距離為 .?
答案:
解析:∵圓ρ=2cos θ在直角坐標系中的方程為(x-1)2+y2=1,點的直角坐標為(1,),
∴圓心(1,0)與(1,)的距離為
2、
d==.
3.在極坐標系中,點P到直線l:ρsin=1的距離為 .?
答案:+1[來源:]
解析:∵點P的直角坐標為,將直線l:ρsin=1化為直角坐標方程為ρsin θcos-ρcos θsin=y-=1,即x-y+2=0,
∴d==+1.
4.在極坐標系中,直線ρsin=2被圓ρ=4截得的弦長為 .?
答案:4
解析:直線ρsin=2可化為x+y-2=0,圓ρ=4可化為x2+y2=16,
由圓中的弦長公式可得所求弦長為2=2=4.
5.設平面上的伸縮變換的坐標表達式為則在這一坐標變換下正弦曲線y=sin x的方程變?yōu)椤 ??
答案:y'=3si
3、n 2x'
解析:∵∴[來源:]
代入y=sin x得y'=3sin 2x'.
6.在極坐標系中,已知兩點A,B的極坐標分別為,,則△AOB(其中O為極點)的面積為 .?
答案:3
解析:結(jié)合圖形(圖略),可知△AOB的面積S=OA·OB·sin=3.
7.在極坐標系中,直線θ=截圓ρ=2cos(ρ∈R)所得的弦長是 .?
答案:2
解析:把直線和圓的極坐標方程化為直角坐標方程分別為y=x和+=1.
顯然圓心在直線y=x上.
故所求的弦長等于圓的直徑的大小,即為2.
8.直線2ρcos θ=1與圓ρ=2cos θ相交的弦長為 .?
答案:
解析:直
4、線2ρcos θ=1即為2x=1,圓ρ=2cos θ即為(x-1)2+y2=1,由此可求得弦長為.
9.在極坐標系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲線ρ=2sin θ與ρcos θ=-1的交點的極坐標為 .?
答案:
解析:方法一:由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
其普通方程為x2+y2=2y,
又ρcos θ=-1的普通方程為x=-1,
聯(lián)立解得
故點(-1,1)的極坐標為.
方法二:∵
∴sin 2θ=-1,sin θ>0,cos θ<0.
從而可知<θ<π,π<2θ<2π.
因此2θ=,θ=.
故ρ=,所求交點為.
10.在極坐標系中,圓ρ=4s
5、in θ的圓心到直線θ=(ρ∈R)的距離是 .?
答案:
解析:因為由極坐標下圓的方程ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)為圓心,2為半徑的圓.又θ=(ρ∈R)表示直線y=x,所以由點到直線的距離公式可得d==.
拓展延伸
11.若直線2x+3y-1=0經(jīng)過變換可以化為6x+6y-1=0,則坐標變換公式是 .?
答案:
解析:設直線2x+3y-1=0上任一點的坐標為(x,y),經(jīng)變換后其對應點的坐標為(x',y'),設坐標變換公式為則有將其代入直線方程2x+3y-1=0,得x'+y'-1=0,將其與6x+6y-1=0比較得
k=,h=.
故所求的坐標變換公式為
12.在極坐標系中,點M關(guān)于直線θ=的對稱點的坐標為 .?
[來源:]
解析:設點M關(guān)于直線θ=的對稱點為M'(ρ,θ),線段MM'交直線θ=于點A,則∠M'OA=∠MOA=-=,
于是點M'的極角θ=-=.
又點M,M'的極半徑相等,∴ρ=4.
故點M'的極坐標為.
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