新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第3章學(xué)案14

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案14　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)及最大(最小)值． 自主梳理 1．導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系： (1)對于函數(shù)y＝f(x)，如果在某區(qū)間上f′(x)>0，那么f(x)為該區(qū)間上的________； 如果在某區(qū)間上f′(x)<0，那么f(x)為該區(qū)間上的________． (2)若在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)f′(x)都不恒等于0，f′(

2、x)≥0?f(x)在(a，b)上為____函數(shù)，若在(a，b)上，f′(x)≤0，?f(x)在(a，b)上為____函數(shù)． 2．函數(shù)的極值 (1)判斷f(x0)是極值的方法 一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)， ①如果在x0附近的左側(cè)________，右側(cè)________，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0附近的左側(cè)________，右側(cè)________，那么f(x0)是極小值． (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③檢查f′(x)在方程________的根左右值的符號．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得________

3、；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得________． 3．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟： (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上的________； (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與________比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 自我檢測 1．(2010·濟(jì)寧一模)已知函數(shù)y＝f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則關(guān)于y＝f(x)下列說法正確的是________(填序號)． ①在(－∞，0)上為減函數(shù)； ②在x＝0處取極小值； ③在(4，＋∞)上為減函數(shù)； ④在x＝2處取極大值． 2．(2009·廣東改

4、編)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間為______________． 3．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍為______________． 4．設(shè)p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m≥，則p是q的________條件． 5．(2010·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則f(2)＝________. 探究點(diǎn)一　函數(shù)的單調(diào)性 例1　已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

5、 (2)若函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； (3)函數(shù)f(x)能否為R上的單調(diào)函數(shù)，若能，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由． 變式遷移1　(2009·浙江)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是－3，求a，b的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍． 探究點(diǎn)二　函數(shù)的極值 例2　若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若關(guān)于x的方

6、程f(x)＝k有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 變式遷移2　設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)． (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)試判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由． 探究點(diǎn)三　求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 例3　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時(shí)，y＝f(x)有極值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 變式遷移3　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋b

7、x(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)． (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值． 分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例　(14分)(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋(a－1)ln x，a>1. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)證明：若a<5，則對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，有>－1. 【答題模板】 (1)解　f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝x－a＋＝＝.[3分] ①若a－1＝1，即a＝2時(shí)，f′(x)＝. 故f(x)在(

8、0，＋∞)上單調(diào)遞增． ②若a－1<1，而a>1，故10，故f(x)在(a－1,1)上單調(diào)遞減，在(0，a－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增． ③若a－1>1，即a>2時(shí)，同理可得f(x)在(1，a－1)上單調(diào)遞減， 在(0,1)，(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增．[7分] (2)證明　考慮函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＝x2－ax＋(a－1)ln x＋x. 則g′(x)＝x－(a－1)＋≥2－(a－1) ＝1－(－1)2. 由于10，即g(x)在(0，＋∞)上單

9、調(diào)遞增， 從而當(dāng)x1>x2>0時(shí)，有g(shù)(x1)－g(x2)>0， 即f(x1)－f(x2)＋x1－x2>0， 故>－1.[12分] 當(dāng)0－1. 綜上，若a<5，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2有>－1.[14分] 【突破思維障礙】 (1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是討論導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的不等式的解集，一般就是歸結(jié)為一個(gè)一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解得到導(dǎo)數(shù)等于0的根的情況下，根的大小是分類的標(biāo)準(zhǔn)； (2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而解決不等式問題． 1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

10、和方法： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根； (3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間； (4)確定f′(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性． 2．可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件： (1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)x0一定滿足f′(x0)＝0，但當(dāng)f′(x1)＝0時(shí)，x1不一定是極值點(diǎn)．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)． (2)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x

11、)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同． 3．函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的．函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值． 4．求函數(shù)的最值以導(dǎo)數(shù)為工具，先找到極值點(diǎn)，再求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2011·泰州實(shí)驗(yàn)一模)函數(shù)f(x)＝x－

12、ln x的單調(diào)減區(qū)間為________． 2．已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值是______． 3．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________． 4．(2011·蘇州模擬)若函數(shù)y＝a(x3－x)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍為________． 5．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為________． 6．(2011·聊城一模)若a>2，則函數(shù)f(x

13、)＝x3－ax2＋1在區(qū)間(0,2)上有________個(gè)零點(diǎn)． 7．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論： ①函數(shù)f(x)在(－2，－1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)； ②函數(shù)f(x)在(－2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)； ③函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極大值，在x＝1處取得極小值； ④函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值f(0)． 則正確命題的序號是________．(填上所有正確命題的序號)． 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 二、解答題(

14、共42分) 9．(12分)求函數(shù)f(x)＝的極值． 10．(14分)(2010·秦皇島模擬)已知a為實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x)＝(x2－4)(x－a)． (1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)； (2)若f′(－1)＝0，求函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值． 11．(16分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(diǎn)(－1，－6)，且函數(shù)g(x)＝f′(x)＋6x的圖象關(guān)于y軸對稱． (1)求m，n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若a>0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值． 答案 自主梳理 1．(1

15、)增函數(shù)　減函數(shù)　(2)增　減　2.(1)①f′(x)>0 f′(x)<0　②f′(x)<0　f′(x)>0　(2)②f′(x)＝0 ③f′(x)＝0　極大值　極小值　3.(1)極值 (2)f(a)，f(b) 自我檢測 1．③　2.(2，＋∞)　3.[－3，＋∞)　4.充要　5.18 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)一般地，涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題，往往可以借助導(dǎo)數(shù)這一重要工具進(jìn)行求解．函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，就是不等式f′(x)>0或f′(x)<0在定義域內(nèi)有解．這樣就可以把問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題． (2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)問題，通常是解

16、決一個(gè)恒成立問題，方法有①分離參數(shù)法，②利用二次函數(shù)中恒成立問題解決． (3)一般地，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(或減)函數(shù)的充要條件是：對任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零．特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意“等號”是否可以取到． 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0， 解得－

17、區(qū)間是(－，)． (2)∵函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增， ∴f′(x)≥0對x∈(－1,1)都成立． ∵f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex， ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈(－1,1)都成立． ∵ex>0， ∴－x2＋(a－2)x＋a≥0對x∈(－1,1)都成立， 即x2－(a－2)x－a≤0對x∈(－1,1)恒成立． 設(shè)h(x)＝x2－(a－2)x－a， 只需滿足，解得a≥. (3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減， 則f′(x)≤0對x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0對x∈R都成立． ∵ex>0，∴x2－(a－2)x

18、－a≥0對x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，這是不可能的． 故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減． 若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0對x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈R都成立． ∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0對x∈R都成立． 而x2－(a－2)x－a≤0不可能恒成立， 故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增． 綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)． 變式遷移1　解　(1)由題意得f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)， 又， 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)由f′(x)＝0，得x

19、1＝a，x2＝－. 又f(x)在(－1,1)上不單調(diào)， 即或 解得或 所以a的取值范圍為(－5，－)∪(－，1)． 例2　解題導(dǎo)引　本題研究函數(shù)的極值問題．利用待定系數(shù)法，由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，以及極大值、極小值，建立方程組求解．判斷函數(shù)極值時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，所以求極值時(shí)一定要判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值． 解　(1)由題意可知f′(x)＝3ax2－b. 于是，解得 故所求的函數(shù)解析式為f(x)＝x3－4x＋4. (2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0得x＝2或x＝－

20、2， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 因此，當(dāng)x＝－2時(shí)， f(x)有極大值， 當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值－， 所以函數(shù)的大致圖象如圖， 故實(shí)數(shù)k的取值范圍為 (－，)． 變式遷移2　解　(1)f′(x)＝＋2bx＋1， ∴.解得a＝－，b＝－. (2)f′(x)＝－＋(－)＋1＝－. 函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，列表 x (0,1) 1 (1,2) 2

21、 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 ∴x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)，x＝2是f(x)的極大值點(diǎn)． 例3　解題導(dǎo)引　設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟： (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值． (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 當(dāng)x＝1時(shí)，切線l的斜率為3

22、，可得2a＋b＝0；① 當(dāng)x＝時(shí)，y＝f(x)有極值，則f′＝0， 可得4a＋3b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝－4， 又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，∴f(1)＝4. ∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5. (2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝， ∴f′(x)<0的解集為，即為f(x)的減區(qū)間． [－3，－2)、是函數(shù)的增區(qū)間． 又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4， ∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為. 變式遷移3　解　(1)由題意得f′(x)＝3a

23、x2＋2x＋b. 因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b. 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù)， 所以g(－x)＝－g(x)，即對任意實(shí)數(shù)x， 有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b ＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]， 從而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0， 因此f(x)的表達(dá)式為f(x)＝－x3＋x2. (2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x， 所以g′(x)＝－x2＋2， 令g′(x)＝0， 解得x1＝－，x2＝， 則當(dāng)x<－或x>時(shí)，g′(x)<0， 從而g(x)在區(qū)間(－∞，－)，

24、(，＋∞)上是減函數(shù)； 當(dāng)－0， 從而g(x)在區(qū)間(－，)上是增函數(shù)． 由前面討論知，g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在x＝1，，2時(shí)取得， 而g(1)＝，g()＝，g(2)＝. 因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g()＝， 最小值為g(2)＝. 課后練習(xí)區(qū) 1．(0,1)　2.－37　3.1　4.(0，＋∞) 5．a(chǎn)<－3 解析　∵y′＝aeax＋3， 由y′＝0得x＝ln(－)， ∴－>0，即a<0. 又∵極值點(diǎn)大于零，即x>0，∴， 得a<－3. 6．1 解析　f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0?x1＝

25、0，x2＝2a>4，易知f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，且f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，由零點(diǎn)判定定理知，在函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在區(qū)間(0,2)上恰好有1個(gè)零點(diǎn)． 7．②④ 解析　觀察函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，由單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系直接判斷． 8．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，則Δ＝4m2－12×(m＋6)>0， ∴m>6或m<－3. 9．解　f′(x)＝()′＝，由f′(x)＝0得x＝－2,1.……………(4分) 當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)f′(x)<0，當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)f′(x)

26、>0，故x＝－2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故f(x)的極小值為f(－2)＝－；………………………………………………………………(8分) 當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)f′(x)<0， 故x＝1是函數(shù)的極大值點(diǎn)， 所以f(x)的極大值為f(1)＝1.……………………………………………………………(12分) 10．解　(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， 得f′(x)＝3x2－2ax－4.…………………………………………………………………(4分) (2)因?yàn)閒′(－1)＝0，所以a＝， 所以f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4. 又f

27、′(x)＝0，所以x＝或x＝－1. 又f＝－，f(－1)＝， f(－2)＝0，f(2)＝0， 所以f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值分別為、－.………………………………(14分) 11．解　(1)由函數(shù)f(x)圖象過點(diǎn)(－1，－6)， 得m－n＝－3.① 由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2， 得f′(x)＝3x2＋2mx＋n， 則g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n. 而g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱， 所以－＝0. 所以m＝－3，代入①，得n＝0.…………………………………………………………(5分) 于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

28、 由f′(x)>0，得x>2或x<0， 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)∪(2，＋∞)； 由f′(x)<0，得0