高中數(shù)學(xué) 112瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)測試題 新人教B版選修2－2

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1、瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù) 第1題. 2007海南、寧夏文)設(shè)函數(shù) （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）求在區(qū)間的最大值和最小值． 答案：解：的定義域?yàn)椋? （Ⅰ）． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知在區(qū)間的最小值為． 又． 所以在區(qū)間的最大值為． 第2題. （2002海南、寧夏理）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第3題. （2007海南、寧夏理）設(shè)函數(shù)． （I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性； （II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

2、 答案：解： （Ⅰ）， 依題意有，故． 從而． 的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少． （Ⅱ）的定義域?yàn)?，? 方程的判別式． （?。┤?，即，在的定義域內(nèi)，故無極值． （ⅱ）若，則或． 若，，． 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無極值． 若，，，也無極值． （ⅲ）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根 ，． 當(dāng)時(shí)，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)， 故無極值． 當(dāng)時(shí)，，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 由極值判別方法知在取得極值． 綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為． 的極值之和為 ． 第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值

3、是 ． 答案： 第5題. (2007湖南文)已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)． （I）求的最大值； （II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式． 答案：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根， 設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是 ，，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是 ，即， 因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象， 所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則 不是的極值點(diǎn)． 而，且 ． 若，則和都是的極值點(diǎn)．

4、 所以，即．又由，得．故． 解法二：同解法一得 ． 因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在（）． 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，； 或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 設(shè)，則 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，； 或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則． 所以．又由，得，故 第6題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____． 答案： 第7題. (2007江西理)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（　　） Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案：B 第8題. （全國卷I理）設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）證

5、明：的導(dǎo)數(shù)； （Ⅱ）若對(duì)所有都有，求的取值范圍答案：解： （Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)． 由于，故． （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）． （Ⅱ）令，則 ， （?。┤?，當(dāng)時(shí)，， 故在上為增函數(shù)， 所以，時(shí)，，即． （ⅱ）若，方程的正根為， 此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)． 所以，時(shí)，，即，與題設(shè)相矛盾． 綜上，滿足條件的的取值范圍是． 第9題. (2007全國I文)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：A 第10題. (2007全國I文)設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若

6、對(duì)于任意的，都有成立，求c的取值范圍． 答案：（Ⅰ）， 因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，． 即 解得，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，． 則當(dāng)時(shí)，的最大值為． 因?yàn)閷?duì)于任意的，有恒成立， 所以　， 解得　或， 因此的取值范圍為． 第11題. (2007全國II理)已知函數(shù)． （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：． 答案：解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：． 曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ， 即 ． （2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使 ． 于是，若過點(diǎn)可作

7、曲線的三條切線，則方程 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根． 記 ， 則 ． 當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表： 0 0 0 極大值 極小值 由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根． 綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則 即 ． 第12題. (2007陜西理)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)． （I）若的定義域?yàn)?，求的取值范圍? （II）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，求的單調(diào)減區(qū)間． 答案：解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，恒成立，? ，即

8、當(dāng)時(shí)的定義域?yàn)椋? （Ⅱ），令，得． 由，得或，又， 時(shí)，由得； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得， 即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為． 第13題. (2007浙江理)設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記． （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）求證：（?。┊?dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立； （ⅱ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 答案：（I）解：． 由，得 ． 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，， 單調(diào)遞減區(qū)間是． （II）證明：（i）方法一： 令，則 ， 當(dāng)時(shí)，由，得． 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 所以在內(nèi)的最小值是． 故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成

9、立． 方法二： 對(duì)任意固定的，令，則 ， 由，得． 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值． 因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． （ii）方法一： ． 由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 下面證明的唯一性： 當(dāng)，，時(shí)， ，， 由（i）得，， 再取，得， 所以， 即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立． 故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)， 使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 方法二：對(duì)任意，， 因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是： ， 即， ① 又因?yàn)?，不等式①成立的充分必要條件是， 所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)， 使得

10、對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 第14題. (2007湖北理)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求證：（）． 答案：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力． 解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同． ，，由題意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，則．于是 當(dāng)，即時(shí)，； 當(dāng)，即時(shí)，． 故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)， 于是在的最大值為． （Ⅱ）設(shè)， 則． 故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)， 于是函數(shù)在上的最小值是． 故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)， 第15題. (200

11、7安徽文)設(shè)函數(shù)，， 其中，將的最小值記為． （I）求的表達(dá)式； （II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值． 答案：解：（I）我們有 ． 由于，，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到其最小值，即 ． （II）我們有． 列表如下： 極大值 極小值 由此可見，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為． 第16題. 設(shè)，． （Ⅰ）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值； （Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，恒有 答案： （Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有， 故， 于是， 列表如下： 2 0

12、 極小值 故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值． （Ⅱ）證明：由知，的極小值． 于是由上表知，對(duì)一切，恒有． 從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加． 所以當(dāng)時(shí)，，即． 故當(dāng)時(shí)，恒有． 第17題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值． 答案：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，， 又，． 所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分兩種情況討論． （1）當(dāng)時(shí)，令，得到，．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 0 0 極小值

13、 極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù)在處取得極小值，且， 函數(shù)在處取得極大值，且． （2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 0 0 極大值 極小值 所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值，且． 函數(shù)在處取得極小值，且． 第18題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值． 答案：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，， 又，． 所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為， 即． （Ⅱ）解：． 由于，

14、以下分兩種情況討論． （1）當(dāng)時(shí)，令，得到，．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 0 0 極小值 極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù)在處取得極小值，且， 函數(shù)在處取得極大值，且． （2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 0 0 極大值 極小值 所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值，且． 函數(shù)在處取得極小值，且． 第19題. (2007福建理)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件

15、產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷售量為萬件． （Ⅰ）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式； （Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值． 答案： 解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為： ． （Ⅱ） ． 令得或（不合題意，舍去）． ，． 在兩側(cè)的值由正變負(fù)． 所以（1）當(dāng)即時(shí)， ． （2）當(dāng)即時(shí)， ， 所以 答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）．

16、第20題. (2007廣東文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ． 答案： 第21題. (2007廣東文)已知函數(shù)，是方程的兩個(gè)根，是的導(dǎo)數(shù)．設(shè)，． （1）求的值； （2）已知對(duì)任意的正整數(shù)有，記．求數(shù)列的前項(xiàng)和． 答案：解：(1) 由 得 (2) 又 數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為 ，公比為2的等比數(shù)列； 第22題. (2007山東理)設(shè)函數(shù)，其中． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性； （Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)； （Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立．

17、 答案：解：（Ⅰ）由題意知，的定義域?yàn)椋? 設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為， ． 當(dāng)時(shí)，， 即在上恒成立， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)． ②時(shí)，有兩個(gè)相同的解， 時(shí)，， 時(shí)，， 時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)． ③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，， 時(shí)，，， 即，． 時(shí)，，隨的變化情況如下表： 高考資源網(wǎng) 極小值 由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，， ， 此時(shí)，，隨的變化情況如下表： 極大值 極小值

18、 由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)； 綜上所述： 時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)； 時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)； 時(shí)，無極值點(diǎn)． （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)， 令函數(shù)， 則． 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 又． 時(shí)，恒有，即恒成立． 故當(dāng)時(shí)，有． 對(duì)任意正整數(shù)取，則有． 所以結(jié)論成立． 第23題. (2007四川理)設(shè)函數(shù) （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； （Ⅱ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，證明（是的導(dǎo)函數(shù)）； （Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 答案：（Ⅰ）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是

19、（Ⅱ）證法一：因 證法二： 因 而 故只需對(duì)和進(jìn)行比較。 令，有 由，得 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值 故當(dāng)時(shí)，， 從而有，亦即 故有恒成立。 所以，原不等式成立。 （Ⅲ）對(duì)，且 有 又因，故 ∵，從而有成立， 即存在，使得恒成立． 第24題. (2007重慶理)已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)． （Ⅰ）試確定的值； （Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍． 答案：解：（I）由題意知，因此，從而． 又對(duì)求導(dǎo)得 ． 由題意，因此，解得． （II）由（I

20、）知（），令，解得． 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)． 因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為． （III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需． 即，從而， 解得或． 所以的取值范圍為． 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第1題. 曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第2題. 設(shè)函數(shù)． （I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性； （II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于． 答案：解： 每個(gè)點(diǎn)落入中的概率均為． 依題意知． （Ⅰ）． （Ⅱ）

21、依題意所求概率為， ． 第3題. （2007海南、寧夏文）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 ． 答案： 第5題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____． 答案： 第6題. (2007江西文)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（　?。? Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案：Ｃ 第7題. (2007江西文)四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按

22、照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ　 高考資源網(wǎng) 第8題. (2007全國II文)已知函數(shù) 在處取得極大值，在處取得極小值，且． （1）證明； （2）求的取值范圍． 答案：解：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． （Ⅰ）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根． 所以 當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，，由，得． （Ⅱ）在題設(shè)下，等價(jià)于　即． 化簡得． 此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先?/p>

23、條直線：． b a 2 1 2 4 O 所圍成的的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：． 在這三點(diǎn)的值依次為． 所以的取值范圍為． 第9題. (2007山東文)設(shè)函數(shù)，其中． 證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值． 答案：證明：因?yàn)椋缘亩x域?yàn)椋? ． 當(dāng)時(shí)，如果在上單調(diào)遞增； 如果在上單調(diào)遞減． 所以當(dāng)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)， 令， 將（舍去），， 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表： 0 極小值 從上表可看出， 函數(shù)有且只有一

24、個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為． 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表： 0 極大值 從上表可看出， 函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為． 綜上所述， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)， 若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為． 若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為． 高考資源網(wǎng) 第10題. （2007山東文)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的

25、坐標(biāo)． 答案：解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 由已知得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （Ⅱ）設(shè)． 聯(lián)立 得 ，則 又． 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)， ，即． ． ． ． 解得：，且均滿足． 當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾； 當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)． 所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為． 第11題. 已知在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍． 答案：解：（Ⅰ），由已知， 即解得 ，，，． （Ⅱ）令，即， ，或． 又在區(qū)間上恒成立

26、，． 第12題. (2007廣東文)若函數(shù)，則函數(shù)在其定義域上是（ ） A．單調(diào)遞減的偶函數(shù) B．單調(diào)遞減的奇函數(shù) C．單調(diào)遞增的偶函數(shù) D．單調(diào)遞增的奇函數(shù) 答案：B 第13題. (2007湖北文)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則＿＿＿＿． 答案：3 高考資源網(wǎng) 第14題. (2007四川文)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為． （Ⅰ）求，，的值； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值． 答案：Ⅰ）∵為奇函數(shù)， ∴ 即 ∴ ∵的最小值為 ∴ 又直線的斜率為 因此， ∴

27、，，． （Ⅱ）． 　　　，列表如下： 極大 極小 　　　所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和 ∵，， ∴在上的最大值是，最小值是． 高考資源網(wǎng) 第15題. (2007天津文)設(shè)函數(shù)（），其中． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明存在，使得不等式對(duì)任意的恒成立． 答案：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，得，且 ，． 所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ． 令，解得或． 由于，以下分兩種情況討論． （1）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：

28、 因此，函數(shù)在處取得極小值，且 ； 函數(shù)在處取得極大值，且 ． （2）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表： 因此，函數(shù)在處取得極小值，且 ； 函數(shù)在處取得極大值，且 ． （Ⅲ）證明：由，得，當(dāng)時(shí)， ，． 由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使， 只要 即 　　　　　　　?、? 設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為． 要使①式恒成立，必須，即或． 所以，在區(qū)間上存在，使得對(duì)任意的恒成立． 高考資源網(wǎng) 第16題. (2007重慶文)用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ 答案：解：設(shè)長方體的寬為，則長為， 高為． 故長方體的體積為． 從而． 令，解得（舍去）或，因此． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 故在處取得極大值，并且這個(gè)極大值就是的最大值． 從而最大體積，此時(shí)長方體的長為，高為． 答：當(dāng)長方體的長為，寬為，高為時(shí)，體積最大，最大體積為．高考資源網(wǎng)