《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實際問題

普通高中課程標準實驗教科書—數(shù)學 [人教版] 高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座30）—數(shù)列求和及數(shù)列實際問題 一．課標要求： 1．探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項和的方法； 2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項和遞推關系，并能用有關等差、等比數(shù)列知識解決相應的實際問題。 二．命題走向 數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類討論等各種數(shù)學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。 有關命題趨勢： 1．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認識函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對基礎和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點； 2．數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區(qū)分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度； 3．數(shù)列與新的章節(jié)知識結合的特點有可能加強，如與解析幾何的結合等； 4．有關數(shù)列的應用問題也一直備受關注。 預測2007年高考對本將的考察為： 1．可能為一道考察關于數(shù)列的推導能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題； 2．也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學歸納法等有機結合。 三．要點精講 1．數(shù)列求通項與和 （1）數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an= 。 （2）求通項常用方法 ①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列； ②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1； ③歸納、猜想法。 （3）數(shù)列前n項和 ①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2； ②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂項求和 將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等。 ⑤錯項相消法 對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，… ⑥并項求和 把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求Sn。 數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。 ⑦通項分解法： 2．遞歸數(shù)列 數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關系。由遞歸關系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。 遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種： （1）歸納、猜想、數(shù)學歸納法證明。 （2）迭代法。 （3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。 （4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。 四．典例解析 題型1：裂項求和 例1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。 解析：首先考慮，則=。 點評：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，下列求和也可用裂項求和法。 例2．求。 解析：， 點評：裂項求和的關鍵是先將形式復雜的因式轉化的簡單一些。 題型2：錯位相減法 例3．設a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和。 解析：①若a=0時，Sn=0； ②若a=1，則Sn=1+2+3+…+n=； ③若a≠1，a≠0時，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan）， Sn=。 例4．已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和。 解析：， ①-②得：， 點評：設數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。 題型3：倒序相加 例5．求。 解析：。 ① 又。 ② 所以。 點評：Sn表示從第一項依次到第n項的和，然后又將Sn表示成第n項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。 例6．設數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列， 求和： 解析：因為， ， 。 點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列的前項和，是否存在等差數(shù)列使得對一切自然數(shù)n都成立。 題型4：其他方法 例7．求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項和。 解析：本題實質(zhì)是求一個奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項中共有個奇數(shù)，故。 例8．求數(shù)列1，3＋，32＋，……，3n＋的各項的和。 解析：其和為(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。 題型5：數(shù)列綜合問題 例9．（ 2006年浙江卷）已知函數(shù)＝x3+x2，數(shù)列 | xn | （xn > 0）的第一項x1＝1，以后各項按如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點的直線平行（如圖）。 求證：當n時：（I）；（II）。 解析：（I）因為 所以曲線在處的切線斜率 因為過和兩點的直線斜率是 所以. （II）因為函數(shù)當時單調(diào)遞增， 而 所以，即 因此 又因為 令則 因為所以 因此 故 點評：數(shù)列與解析幾何問題結合在一塊，數(shù)列的通項與線段的長度、點的坐標建立起聯(lián)系。 例10．（2006年遼寧卷）已知,其中,設,。 (I) 寫出；(II) 證明:對任意的,恒有。 解析：(I)由已知推得,從而有； (II) 證法1:當時， 當x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)， 所以對任意的， 因此結論成立。 證法2：當時, 當x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù) 所以對任意的 又因 所以 因此結論成立。 證法3：當時, 當x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因為函數(shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)。 所以對任意的 由 對上式兩邊求導得： 因此結論成立。 點評：數(shù)列與函數(shù)、導數(shù)結合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 題型6：數(shù)列實際應用題 例11．某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （取） 解析：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列， ①甲方案獲利：（萬元）， 銀行貸款本息：（萬元）， 故甲方案純利：（萬元）， ②乙方案獲利： （萬元）； 銀行本息和： （萬元） 故乙方案純利：（萬元）； 綜上可知，甲方案更好。 點評：這是一道比較簡單的數(shù)列應用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項公式并運用所學過的公式求解。 例12．（2005湖南20）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c。 （Ⅰ）求xn+1與xn的關系式； （Ⅱ）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） 　 （Ⅱ）設a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論。 解析：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*， 從而由（*）式得： 因為x1>0，所以a>b。 猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變。 （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0<xn<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1。 而x1∈(0, 2)，所以。 由此猜測b的最大允許值是1. 下證 當x1∈(0, 2) ，b=1時，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①當n=1時，結論顯然成立。 ②假設當n=k時結論成立，即xk∈(0, 2)，則當n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0。 又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結論也成立. 由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2)。 點評：數(shù)學歸納法在猜想證明數(shù)列通項和性質(zhì)上有很大的用處，同時該題又結合了實際應用題解決問題。 題型7：課標創(chuàng)新題 例13．（2006年北京卷）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對差數(shù)列”。 （Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項）； （Ⅱ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項。 解析：（Ⅰ）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1.（答案不唯一）； （Ⅱ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項后出現(xiàn)零項.證明如下： 假設{an}中沒有零項，由于an=|an-1-an-2|，所以對于任意的n，都有an≥1,從而 當an-1 > an-2時，an = an-1 －an-2 ≤ an-1－1（n≥3）； 當an-1 < an-2時，an = an-2 － an-1 ≤ an-2－1（n≥3）, 即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1. 令cn=n=1，2，3，……， 則0<cn≤cn-1－1（n=2，3，4……）. 由于c1是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項c1<0這與cn>0（n=1，2，3……）矛盾.從而{an}必有零項。 若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記an-1=A（A≠0），則自第n項開始，沒三個相鄰的項周期地取值O，A，A，即 所以絕對等差數(shù)列{an}中有無窮多個為零的項。 點評：通過設置“等差數(shù)列”這一概念加大學生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。 例14．（2005江蘇23）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且其中A,B為常數(shù)。 （Ⅰ）求A與B的值； （Ⅱ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列； （Ⅲ）證明不等式對任何正整數(shù)m、n都成立 分析：本題是一道數(shù)列綜合運用題，第一問由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入關系式，即求出A、B；第二問利用公式，推導得證數(shù)列{an}為等差數(shù)列。 解答：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 由(5n－8)Sn+1－(5n+2)Sn=An+B知： 。 解得A=－20，B=－8。 （Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ① 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ② ②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因為 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因為 (5n+2), 所以 an+3-2an+2+an+1=0, 即 an+3-an+2=an+2-an+1, . 又 a3-a2=a2-a1=5, 所以數(shù)列為等差數(shù)列。 方法2. 由已知，S1=a1=1, 又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8, 所以數(shù)列是惟一確定的。 設bn=5n-4,則數(shù)列為等差數(shù)列，前n項和Tn= 于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8) 由惟一性得bn=a,即數(shù)列為等差數(shù)列。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要證了 只要證 5amn>1+aman+2 因為 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要證 5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2 因為 =20m+20n-37, 所以命題得證。 點評：本題主要考查了等差數(shù)列的有關知識，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關運算能力等。 五．思維總結 1．數(shù)列求和的常用方法 （1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列； （2）裂項相消法：適用于其中{ }是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等； （3）錯位相減法：適用于其中{ }是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)列。 （4）倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法. （5）分組求和法 （6）累加（乘）法等。 2．常用結論 （1） 1+2+3+...+n = （2）1+3+5+...+(2n-1) = （3） （4） （5） （6） 3．數(shù)學思想 （1）迭加累加（等差數(shù)列的通項公式的推導方法）若，則……； （2）迭乘累乘（等比數(shù)列的通項公式的推導方法）若，則……； （3）逆序相加（等差數(shù)列求和公式的推導方法）； （4）錯位相減（等比數(shù)列求和公式的推導方法）。 普通高中課程標準實驗教科書—數(shù)學 [人教版] 高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座31）—不等式性質(zhì)及證明 一．課標要求： 1．不等關系 通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景； 2．基本不等式：（a,b≥0） ①探索并了解基本不等式的證明過程； ②會用基本不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}。 二．命題走向 不等式歷來是高考的重點內(nèi)容。對于本將來講，考察有關不等式性質(zhì)的基礎知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內(nèi)容在復習時，要在思想方法上下功夫。 預測2007年的高考命題趨勢： 1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結合起來綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主； 2．利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關最值問題是考察的重點和熱點，應加強訓練。 三．要點精講 1．不等式的性質(zhì) 比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法 ； ； 。 定理1：若，則；若，則．即。 說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。 定理2：若，且，則。 說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。 定理3：若，則。 說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向； （2）定理3的證明相當于比較與的大小，采用的是求差比較法； （3）定理3的逆命題也成立； （4）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。 定理3推論：若。 說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式。 定理4．如果且，那么；如果且，那么。 推論1：如果且，那么。 說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。 推論2：如果， 那么 。 定理5：如果，那么 。 2．基本不等式 定理1：如果，那么（當且僅當時取“”）。 說明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強調(diào)取“”的條件。 定理2：如果是正數(shù)，那么（當且僅當時取“=”） 說明：（1）這個定理適用的范圍：；（2）我們稱的算術平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)。即：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 3．常用的證明不等式的方法 （1）比較法 比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。 （2）綜合法 利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)時要注意它們各自成立的條件。 綜合法證明不等式的邏輯關系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論。 （3）分析法 證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。 （1）“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”； （2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程。 四．典例解析 題型1：考查不等式性質(zhì)的題目 例1．（1）（06上海文，14）如果，那么，下列不等式中正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）（06江蘇，8）設a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是 （A）　　　（B） （C）　　　　　 （D） 解析：（1）答案：A；顯然，但無法判斷與的大?。? （2）運用排除法，C選項，當a－b<0時不成立，運用公式一定要注意公式成立的條件，如果，如果a,b是正數(shù)，那么 點評：本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結合選擇支，才能得出正確的結論。 例2．（1）（2003京春文，1）設a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，則下列結論中正確的是（ ） A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D. （2）（1999上海理，15）若a<b<0，則下列結論中正確的命題是（ ） A和均不能成立 B.和均不能成立 C.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立 D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立 解析：（1）答案：A；∵a>b，c>d，∴a+c>b+d； （2）答案：B 解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴。 故不成立。 ∵a<b<0，∴|a|>|b|，∴故不成立。由此可選B。 另外，A中成立.C與D中（a+）2>（b+）2成立。 其證明如下：∵a<b<0，<0，∴a+<b+<0，∴|a+|>|b+|， 故（a+）2>（b+）2。 點評：本題考查不等式的基本性質(zhì)。 題型2：基本不等式 例3．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜”的（ ） (A)充分而不必要條件 　　　　　 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件　　　　　　 (D)既不允分也不必要條件 解析：A；中參數(shù)的取值不只是指可以取非負數(shù)。均值不等式滿足。 點評：該題考察了基本不等式中的易錯點。 例4．（1）（2001京春）若實數(shù)a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ） A.18 B.6 C.2 D.2 （2）（2000全國，7）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則（ ） A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q 解析：（1）答案：B；3a+3b≥2=6，當且僅當a=b=1時取等號。故3a+3b的最小值是6； （2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴（lga＋lgb）＞，即Q＞P， 又∵a＞b＞1，∴， ∴（lga＋lgb）， 即R＞Q，∴有P＜Q＜R，選B。 點評：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號成立的條件。 題型3：不等式的證明 例5．已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥。 證法一： (分析綜合法） 欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0， 即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8 ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證。 證法二： (均值代換法) 設a=+t1，b=+t2。 ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜， 顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立。 證法三：(比較法) ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤， 證法四：(綜合法) ∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤， 。 證法五：(三角代換法) ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)， 點評：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證。 例6．求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。 分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應進行換元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜＝，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯誤的 其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件，顯然這是不對的。 除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關系，a≥f(x)，則amin=f(x)max 若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題。還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉化。 解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方， 得：x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)， ① ∴x，y＞0，∴x+y≥2， ② 當且僅當x=y時，②中有等號成立。 比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1， ∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是。 解法二：設 ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當x=y時“=”成立)， ∴≤1，的最大值是1。 從而可知，u的最大值為， 又由已知，得a≥u，∴a的最小值為， 解法三：∵y＞0， ∴原不等式可化為+1≤a， 設=tanθ，θ∈(0，)。 ∴tanθ+1≤a，即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)， ③ 又∵sin(θ+)的最大值為1(此時θ=)。 由③式可知a的最小值為。 點評：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學生邏輯分析能力。該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值。 題型4：不等式證明的應用 例7．（06浙江理，20）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖） . 求證：當n時，(Ⅰ)x（Ⅱ）。 證明：（I）因為 所以曲線在處的切線斜率 因為過和兩點的直線斜率是 所以. （II）因為函數(shù)當時單調(diào)遞增， 而， 所以，即 因此 又因為令則 因為所以 因此故 點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 例8．（2002江蘇，22）已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax－bx2。 （1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2； （2）當b＞1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2； （3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件。 （Ⅰ）證明：依設，對任意x∈R，都有f（x）≤1， ∵f（x）＝， ∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2． （Ⅱ）證明：必要性：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），據(jù)此可以推出－1≤f（1）， 即a－b≥－1，∴a≥b－1； 對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因為b＞1，可以推出f（）≤1，即a·－1≤1，∴a≤2； ∴b－1≤a≤2． 充分性：因為b＞1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］， 可以推出：ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1； 因為b＞1，a≤2，對任意x∈［0，1］， 可以推出ax－bx2≤2x－bx2≤1， 即ax－bx2≤1。 ∴－1≤f（x）≤1。 綜上，當b＞1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2． （Ⅲ）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］： f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1； f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b＋1， a≤b＋1f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。 所以，當a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b＋1． 22.解：原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。 當a=a2時，a=0或a=1，x∈，當a＜a2時，a＞1或a＜0，a＜x＜a2， 當a＞a2時0＜a＜1，a2＜x＜a， ∴當a＜0時a＜x＜a2，當0＜a＜1時，a2＜x＜a，當a＞1時，a＜x＜a2，當a=0或a=1時，x∈。 點評：此題考查不等式的證明及分類討論思想。 題型5：課標創(chuàng)新題 例9．（06上海理，12）三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”； 乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”； 丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”； 參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是 。 答案：a≤10。 點評：該題通過設置情景，將不等式知識蘊含在一個對話情景里面，考查學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力。 例10．（06湖南文，20）在m（m≥2）個不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)。 （Ⅰ）求a4、a5，并寫出an的表達式； （Ⅱ）令，證明，n=1,2,…。 解?。á瘢┯梢阎茫?。 （Ⅱ）因為， 所以. 又因為， 所以　　　　　　　　　　　　　 =。 綜上，。 點評：該題創(chuàng)意新，知識復合到位，能很好的反映當前的高考趨勢。 五．思維總結 1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。 （1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證； （2）綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野。 2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。 證明不等式時，要依據(jù)題設、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點。 3．幾個重要不等式 （1） （2）（當僅當a=b時取等號） （3）如果a,b都是正數(shù)，那么 （當僅當a=b時取等號） 最值定理：若則： 如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最??；如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大； 注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應根據(jù)題目創(chuàng)設情境；還要注意選擇恰當?shù)墓?；“和?積最大，積定 和最小”，可用來求最值；均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。 （當僅當a=b=c時取等號）； （當僅當a=b時取等號）。 第 25 頁 共 25 頁