新編高考數(shù)學備考沖刺之易錯點點睛系列專題 三角函數(shù)學生版

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1、 三角函數(shù) 一、高考預測 該專題是高考重點考查的部分，從最近幾年考查的情況看，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡與求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問題中的應用．該部分在試卷中一般是2～3個選擇題或者填空題，一個解答題，選擇題在于有針對性地考查本專題的重要知識點(如三角函數(shù)性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積等)，解答題一般有三個命題方向，一是以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主，二是把解三角形與三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換交匯，三是考查解三角形或者解三角形在實際問題中的應用．由于該專題是高中數(shù)學的基礎知識和工具性

2、知識，在試題的難度上不大，一般都是中等難度或者較為容易的試題．從近幾年全國各地的高考試題來看,三角函數(shù)這部分的試題有以下特點: 1.考小題，重在基礎運用 二、知識導學 要點1：三角函數(shù)的概念、同角誘導公式的簡單應用 1．三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點，則利用三角函數(shù)的定義，可求該角的正弦、余弦、正切值。2．同角三角函數(shù)間的關系、誘導公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應注意正確選擇公式、注意公式應用的條件。 要點2：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式、圖象問題 ，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖

3、象的對稱中心。 4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，再沿

4、x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 要點3：與三角函數(shù)的性質(zhì)有關的問題 1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是； 的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是， 的遞增區(qū)間是， 3．對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為； 的對稱軸為，對稱中心為；對于和、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。 要點4：三角變換及求值 1．兩角和與差的三角函數(shù)； ；。 2．二倍角公式；； 。 3．三角函數(shù)式的化簡 4．三角函數(shù)的求值類型有三類 （1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊

5、角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題； （2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論； （3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 要點5：正、余弦定理的應用 1．直角三角形中各元素間的關系：如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關系：A＋B＝90°；（3）邊角之間

6、的關系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素間的關系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 。（R為外接圓半徑） （3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點，它是在新的載體

7、上進行的三角變換，因此要時刻注意它重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質(zhì)，及時進行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口。 要點6：三角函數(shù)的實際應用 三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。 （1）角的變換 因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A

8、+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。 在解三角形時，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問題，應盡量避免求正弦值。 要點7：向量與三角函數(shù)的綜合三、易錯點點睛 命題角度1 三角函數(shù)的圖

9、象和性質(zhì) 1．函數(shù)=sinx+2|sinx|,x∈（0，2π）的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則眾的取值范圍是 . [考場錯解] ∵=∴的值域為(0，3)，∵與y=k有交點，∴k∈[0，3]． ( ) A.橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度 [考場錯解]∵將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像，再向右平行移動子個單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)=cosx [專家把脈] 選B有兩處錯誤，一是若將函數(shù)=sin(2x+)橫坐標縮短到原來的倍，(

10、縱坐標標不變)所得函數(shù)y==sin(4x+)，而不是=sin(x+)，二是將函數(shù)y= [對癥下藥] 選C 將函數(shù)y=sin(2x+)圖像上所有的點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像；再向左平行移動子個單位長度后便得y=sin(x++)=cosx的圖像．故選C． 3．設函數(shù)=sin(2x+)(-π<<0)，y=圖像的一條對稱軸是直線x=. (1)求； (2)求函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間； (3)畫出函數(shù)y=在區(qū)間[0，π]上的圖像． [考場錯解] (1)∵x=是函數(shù)y=的圖像的對稱軸，∴sin(2×+)=±1，∴ +=kπ+k [專家把脈]以上解答

11、錯在第（2）小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，令處，因若把看成一個整體u，則y=sinu的周期為2π。故應令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間. 解得所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）由知 x 0 π y -1 0 1 0 故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上圖像是 5. 求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間。 [考場錯解] [對癥下藥]∵函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)

12、．故該函數(shù)的最小正周期是π. 當2x-=2kπ-時，即x=kπ-時，y有最小值 令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z．解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z． 令K=0時，-≤x≤．又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， K=1時， π≤x≤π 又∵0≤x≤π. 命題角度2三角函數(shù)的恒等變形 1．設α為第四象限的角，若，則tan2α= . [考場錯解] 填±∵ ∴ [考場錯解] (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-. [專家把脈] 以上解答在利用三角恒等變形化簡時出現(xiàn)了錯誤．即由 =s

13、inxcosx(2-sinx -cosx)變形時認為2sin2 =1+cosx，用錯了公式，因為 2sin2 =1-cosx．因此原式化簡結(jié)果是錯誤的． [對癥下藥]解法1(1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-． ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又∵- 0，sinx-cosx<0． ∴sinx-cosx=． (2) ① ② 解法2 (1)聯(lián)立方程 由①得slnx=-cosx，將其代入②，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，∴

14、cosx=-或(cosx=) ∵-

15、∴tanα=應舍去，因此原題只有一解． 將代入上式得sin(2α+)= [專家把脈] 上面解答在三角恒等變形中，用錯了兩個公式：①1+cos2x≠2sin2x；②sin(+x)≠sinx因為 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1．∴1+cos2x=2cos2x．由誘導公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx． [對癥下藥] ∵=其中角滿足由已知有=4，解之得，a= [考場錯解] 設S為十字形的面積，則S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<)． (2)當sin2θ=1即θ=時，S最大，S的最大值為1 解法2 ∵S=2sinθc

16、osθ-cos2θ，∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ． A．2x>3sinx B．2x<3sinx C．2x=3sinx D．與x的取值有關 [考場錯解] 選A 設=2x-3sinx，∴= 2-3cosx，∵00． ∴在(0，)上是增函數(shù) ∴>=0．即2x>3sinx，選A [專家把脈]∵=3(-cosx)．當0

17、值點按從小到大的順序a1,a2，…，an，…，證明：0，由②式知tan(an-1，-an)< 0．由此可知an+1-an必在第二象限∴

18、值點，沒有判斷在(+kπ，x0)和(x0+π+kπ)上的符號是否異號，這顯然是錯誤的． [對癥下藥] (1)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x+2kπ)-π(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)- xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2kπsinx． (3)證明：設x0>0是=0的任意正實根，即x0-tanx0，則存在一個非負整數(shù)k，使x0∈(+kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限內(nèi)．由①式=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下： X () 的符號 K為奇數(shù) - 0 + K為偶數(shù) + 0 -

19、 所以滿足=0的正根x0都為f(x)的極值點．由題設條件，a1,a2，…，an…為方程x=-tanx的全部正實根且滿足a10，且a+λb≠μ(λa+b)(其中μ k,μ>0)由(a+λb)· (λa+b)>0，得|a|2+λ|b|2+(λ2+1

20、)a·b>0即3λ2+11λ +3>0，解得λ>．由a+λb≠μ (λa+b)，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，綜上所述實數(shù)λ的取值范圍是(-∞，,1)∪(1，+∞)． 3．已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點且滿足，則△AOB與△AOC的面積之比為 ( ) A．1 B. D．2 △AOB的面積與△AOC的面積之比為3：2，選B． (2)不妨設A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，則由專家會診向量的基本概念是向量的基礎，學習時應注意對向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實數(shù)胡亂類比；向量的運算包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標式；在學習

21、時不要過分偏重坐標式，有些題目用向量式來進行計算是比較方便的，那么對向量的加、減法法則、定比分點的向量式等內(nèi)容就應重點學習，在應用時不要出錯，解題時應善于將向量用一組基底來表示，要會應用向量共線的充要條件來解題. 命題角度5 平面向量與三角、數(shù)列 (2)函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)平移后得到y(tǒng)=2sin2(x+m)-n的圖像，即y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=2sin2(x+ y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=2sin2( 2.已知i,j分別為x軸，y軸正方向上的單位向量， （1）求 [考場錯解]（1）由已知有 [專家把脈]向量是一個既有方

22、向又有大小的量，而錯解中只研究大小而不管方向，把向量與實數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識性的錯誤. [對癥下藥] （1） 3.在直角坐標平面中，已知點P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整數(shù)，對平面上任一點Ao，記A1為Ao關于點P1的對稱點，A2為A1，關于點P2的對稱點，…，An為An-1關于點Pn的對稱點． [考場錯解] 第(2)問，由(1)知=(2，4)，依題意，將曲線C按向量(2，4)平移得到 因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(x)是以 3為周期的周期函數(shù)，且當x∈(-2，1)時，g(x)=1

23、g(x+2)-4，于是，當x∈(1，4)時，g(x)=1g(x-1)-4． 專家會診 向量與三角函數(shù)、數(shù)列綜合的題目，實際上是以向量為載體考查三角函數(shù)、數(shù)列的知識，解題的關鍵是利用向量的數(shù)量積等知識將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、數(shù)列的問題，轉(zhuǎn)化時不要把向量與實數(shù)搞混淆，一般來說向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目難度不大，向量與數(shù)列結(jié)合的題目，綜合性強、能力要求較高． 命題角度6平面向量與平面解析幾何 1．(典型例題)已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點F(-m，0)(m是大于0的常數(shù)．) (1)求橢圓的方程； (2)設Q是橢圓上的一點，且過點F、 Q的直線l與y 軸交于點M，若，求化時出

24、現(xiàn)錯誤，依題意應轉(zhuǎn)化為再分類求解k [對癥下藥] (1)設所求橢圓方程為1 (a>b>O)． 由已知得c=m，2．梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=AC⊥BD，M為CD的中點． (1)求點M的軌跡方程； (2)過M作AB的垂線，垂足為N，若存在常數(shù)λo，使，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡C的方程． [考場錯解] 第(2)問：設P(x，y)，M(xo，yo)，則N(0，yo) ∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y)，∴λo=-1． [專家把脈] 對分析不夠，匆忙設坐標進行坐標運算，實際上M、N、P三點共線，它

25、們的縱坐標是相等的，導致后面求出λo=-1是錯誤的． [對癥下藥] (1)解法1：設M(x，y)，則C(x，-1+ 即(x，y-1)·(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x≠0，∴M的軌跡方程是:x2+y2=1(x≠0) 解法2：設AC與BD交于E，連結(jié)EM、EO，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又M、O分3．ABCD是邊長為2的正方形紙片，以某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點。都落在AD上，記為B'；折痕l與AB交于點E，使M滿足關系式 (1)建立適當坐標系，求點M的軌跡方程； (2)若曲線C是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的

26、 [對癥下藥] (1)解法1以AB所在的直線為y軸，AB的中點為坐標原點，建立如圖6-6所示的直角坐標系，別 A(0，1)，B(0，-1)，設E(0，t)，則由已知有0≤t≤1，由(2)由(1)結(jié)合已知條件知C的方程是x2=-4y (-2≤x≤2)，由知F(0，)，設過F的直線的斜率為k，則方程為y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x1=-λx2，聯(lián)立直線方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2知上述方程在[-2，2]內(nèi)有兩個解，由；次函數(shù)的圖像知，由x=-λx2可得由韋達定理得8k2=. [考場錯解] (1)設橢圓方程為，F(xiàn)(c，0)聯(lián)立y=x-c

27、與得([專家把脈]與(3，-1)共線，不是相等，錯解中，認為(3，-1)，這是錯誤的，共線是比例相等． (x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)， ∴M(x，y)在橢圓上， ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2． 即λ2()+2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2．① 由(1)知x2+x2=∴ ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2==0． 又又，代入①得 λ2+μ2=1．故λ2+μ2為定值，定值為1． 1．在△ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tan

28、A的值和△ABC的面積． =sin(45°+60°)= 當A=165°時，tanA=tan(45°+ 120°)=-2+，sinA=sin(45°+120°) [對癥下藥] 解法1．∵sinA+cosA=<180°， ∴A-45°=60°，得A=105°．∴tanA=tan(45°+60°)=-2-，sinA=sin(45°+60°)= , S△ABC= 解法2 ∵sinA+cosA=又0°0,cosA<0, . [專家把脈]沒有考慮x的范圍，由于三角形的兩邊之差應小于第三邊，兩邊之和應大于第三邊，∴1

29、解）∵1

30、的對邊長分別為a、b、c，若，、b=1、c=，求a的值． 9、已知函數(shù)，若的最大值為1（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）在中，角、、的 40 東 300 A B 20 北 C 11、如圖，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西且相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援.⑴求線段的長度及的值； ⑵求的值. 12、如圖4，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B

31、；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：， ，，， ，DC=CE=1（百米）. （1）求DCDE的面積；（2）求A，B之間的距離. 13、在ABC中，所對邊分別為，且滿足（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值. 14、如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，是正三角形．（1）將四邊形ABCD的面積表示為的函數(shù)； （Ⅱ）求的最大值及此時的值． 15、△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為且滿足(Ⅰ)求角C的大?。?8、在△中，向量，向量，且滿足.⑴求角的大小；⑵求的取值范圍.