新編高考數學文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題3 突破點7 用樣本估計總體 Word版含答案

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1、 突破點7　用樣本估計總體 [核心知識提煉] 提煉1 頻率分布直方圖 (1)頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×. (2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1. (3)利用頻率分布直方圖估計眾數、中位數與平均數． 在頻率分布直方圖中： ①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數； ②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的； ③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和. 提煉2 樣本的數字特征 (1)眾數、中位數． (2)樣本平均數＝(x1＋x2＋…＋xn)． (3)樣本方

2、差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (4)樣本標準差 s＝. [高考真題回訪] 回訪1　統(tǒng)計圖表 1．(20xx·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了1月至12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數據，繪制了下面的折線圖． 圖7-1 根據該折線圖，下列結論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) A　[對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于1

3、2月份，故A錯； 對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確； 對于選項C，D，由圖可知顯然正確． 故選A.] 2．(20xx·全國卷Ⅲ)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖7-2中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(　　) 圖7-2 A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個 D　[對于選項A，由圖易知各月的平均

4、最低氣溫都在0 ℃以上，A正確；對于選項B，七月的平均最高氣溫點與平均最低氣溫點間的距離大于一月的平均最高氣溫點與平均最低氣溫點間的距離，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；對于選項C，三月和十一月的平均最高氣溫均為10 ℃，所以C正確；對于選項D，平均最高氣溫高于20 ℃的月份有七月、八月，共2個月份，故D錯誤．] 3．(20xx·全國卷Ⅱ)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表． A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 圖7-3① B

5、地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表 滿意度評分分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數 2 8 14 10 6 (1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)； B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 圖7-3② (2)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級： 滿意度評分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大

6、？說明理由． [解] (1)如圖所示． 3分 通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散． 6分 (2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大． 8分 記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”．由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， 10分 P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率

7、大． 12分 回訪2　樣本的數字特征 4．(20xx·全國卷Ⅰ)為評估一種農作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均數 B．x1，x2，…，xn的標準差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數 B　[因為可以用極差、方差或標準差來描述數據的離散程度，所以要評估畝產量穩(wěn)定程度，應該用樣本數據的極差、方差或標準差．故選B.] 5．(20xx·全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的

8、療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下： 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2 3．5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1 2．3　2.4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3 1．4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2 2．7　0.5 (1)分別計算兩組數據的

9、平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？ (2)根據兩組數據完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？ 圖7-4 [解] (1)設A藥觀測數據的平均數為，B藥觀測數據的平均數為. 由觀測結果可得 ＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， 2分 ＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6． 4分 由以上計算結果

10、可得＞，因此可看出A藥的療效更好． 6分 (2)由觀測結果可繪制莖葉圖如圖： 9分 從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有的葉集中在莖“2.”，“3.”上，而B藥療效的試驗結果有的葉集中在莖“0.”，“1.”上，由此可看出A藥的療效更好． 12分 熱點題型1　頻率分布直方圖和數字特征 題型分析：頻率分布直方圖多以生活中的實際問題為背景，考查學生運用已知數據分析問題的能力，難度中等． 【例1】　(20xx·黃山二模)全世界越來越關注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質量指數(AQI)，數據統(tǒng)計如下表： 空氣質量指數(μg/m3) [0,50]

11、(50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 空氣質量等級 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 天數 20 40 m 10 5 (1)根據所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖； 圖7-5 (2)由頻率分布直方圖，求該組數據的平均數與中位數； (3)在空氣質量指數分別為(50,100]和(150,200]的監(jiān)測數據中，用分層抽樣的方法抽取5天，從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣質量等級都為良”發(fā)生的概率． 【導學號：04024074】 [解] (1)∵0.004×50＝，∴n＝10

12、0， ∵20＋40＋m＋10＋5＝100，∴m＝25. ＝0.008；＝0.005；＝0.002；＝0.001． 2分 由此完成頻率分布直方圖，如圖： 4分 (2)由頻率分布直方圖得該組數據的平均數為25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分 ∵[0,50]的頻率為0.004×50＝0.2，(50,100)的頻率為0.008×50＝0.4， ∴中位數為50＋×50＝87.5． 8分 (3)由題意知在空氣質量指數為(50,100]和(150,200]的監(jiān)測天數中分別抽取4天和

13、1天， 9分 在所抽取的5天中，將空氣質量指數為(50,100]的4天分別記為a，b，c，d； 將空氣質量指數為(150,200]的1天記為e， 從中任取2天的基本事件為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10個， 10分 其中事件A“兩天空氣質量等級都為良”包含的基本事件為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6個， 11分 所以P(A)＝＝． 12分 [方法指津] 解決該類問題的關鍵是正確理解已知數據的含義，掌握圖表中各個量的意義，通過圖表對已知

14、數據進行分析． 提醒：(1)小長方形的面積表示頻率，其縱軸是，而不是頻率． (2)各組數據頻率之比等于對應小長方形的高度之比． [變式訓練1]　某電子商務公司隨機抽取1 000名網絡購物者進行調查．這1 000名購物者某年網上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間[0.3,0.9]內，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4，0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下： 圖7-6 電子商務公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關系如下： 購物金額分組 [0.3,0.5) [0.5,

15、0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9] 發(fā)放金額 50 100 150 200 (1)求這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數； (2)以這1 000名購物者購物金額落在相應區(qū)間的頻率作為概率，求一個購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率． [解] (1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表： x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 頻率 0.4 0.3 0.28 0.02 所以這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數為： ＝96

16、． 4分 (2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購物金額x的對應關系，有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)×0.1＝0.28， P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.2×0.1＝0.02， 10分 從而，獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率為 P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3． 12分 熱點題型2　莖葉圖和數字特征 題型分析：結合樣本數據和莖葉圖對總體作出估計是高考命題的熱點，應引起足夠的重視，難度中等． 【例2】　(20xx·武漢二模)在某小學體育素質達標運動會上，對10名男生和10名女生在一分鐘內跳

17、繩的次數進行統(tǒng)計，得如下莖葉圖： 圖7-7 (1)已知男生組數據的中位數為125，女生組數據的平均數為124，求x，y的值； (2)從一分鐘內跳繩次數不低于110次且不高于120次的學生中任取兩名，求兩名學生中至少有一名男生的概率． [解] (1)∵120＋＝125， 2分 ∴x＝3. 3分 ∵(100＋110×3＋120×3＋130×2＋140＋9＋y＋5＋8＋4＋5＋6＋3＋5＋1)＝124， 5分 ∴y＝4． 6分 (2)不低于110且不高于120的男生有兩名，記為A1，A2，不低于110且不高于120的女生有三名，記為B1，B2，B3， 從這5名學生中任取

18、兩名學生共有{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共10種情形． 8分 若兩名學生中一男一女有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，共6種情形. 9分 若兩名學生均為男生只有{A1，A2}一種情形， 則符合題意的共有m＝6＋1＝7種． 10分 故用古典概型公式可得符合條件的概率P＝＝． 12分 [方法指津] 作莖葉圖時先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么，根據莖葉圖，可以得到數據的眾數、中位數，

19、也可從圖中直接估計出兩組數據的平均數大小與穩(wěn)定性． [變式訓練2]　(名師押題)某車間20名工人年齡數據如下表： 圖7-8 (1)求這20名工人年齡的眾數與極差； (2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差. 【導學號：04024075】 [解] (1)由題表中的數據易知，這20名工人年齡的眾數是30，極差為40－19＝21． 2分 (2)這20名工人年齡的莖葉圖如下： 6分 (3)這20名工人年齡的平均數＝(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，8分 故方差s2＝[1×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2]＝×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6． 12分