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1、
第一章 1.1 第1課時
一、選擇題
1.在△ABC中,AB=,∠A=45°,∠C=75°,則BC等于( )
A.3- B.
C.2 D.3+
[答案] A
[解析] 由正弦定理,得=,即=,∴BC===3-.
2.已知△ABC的三個內(nèi)角之比為A∶B∶C=3∶2∶1,那么對應(yīng)的三邊之比a∶b∶c等于( )
A.3∶2∶1 B.∶2∶1
C.∶∶1 D.2∶∶1
[答案] D
[解析] ∵,
∴A=90°,B=60°,C=30°.
∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC
=1∶∶=2∶∶1.
3.在△ABC中,a=3,
2、b=5,sin A=,則sin B=( )
A. B.
C. D.1
[答案] B
[解析] 由正弦定理,得=,∴=,即sinB=,選B.
4.在銳角△ABC中,角A、B所對的邊長分別為a、b.若2asinB=b,則角A等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由正弦定理,得=,∴sinA=,
∴A=.
5.△ABC中,b=30,c=15,C=26°,則此三角形解的情況是( )
A.一解 B.兩解
C.無解 D.無法確定
[答案] B
[解析] ∵b=30,c=15,C=26°,
∴c>bsinC,又c
3、解.
6.已知△ABC中,a=x,b=2,∠B=45°,若三角形有兩解,則x的取值范圍是( )
A.x>2 B.x<2
C.2
4、ABC中,B=45°,AC=,cosC=,求邊BC的長.
[解析] 由cosC=,得sinC==.
sinA=sin(180°-45°-C)=(cosC+sinC)=.
由正弦定理,得BC===3.
10.(2015·湖南文,17)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分
別為a、b、c,a=btan A.
(1)證明:sin B=cos A;
(2)若sin C-sin Acos B=,且B為鈍角,求A、B、C.
[解析] (1)由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A.
(2)因?yàn)閟in C-sin Acos B=sin[180°-(A+B)]-sin
5、Acos B
=sin(A+B)-sin Acos B
=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B
=cos Asin B.
∴cos Asin B=.
由(1)知sin B=cos A,因此sin2 B=.又B為鈍角,所以sin B=,故B=120°.由cos A=sin B=,知A=30°,從而C=180°-(A+B)=30°.
綜上所述,A=30°,B=120°,C=30°.
一、選擇題
1.△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若
6、角形
[答案] A
[解析] 在△ABC中,由正弦定理,得=,
又∵0,∴cosB<0,
∴B為鈍角.
2.在銳角三角形中,a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊,設(shè)B=2A,則的取值范圍是( )
A.(-2,2) B.(0,2)
C.(1,2) D.(,)
[答案] D
[解析] ∵====2cosA.
∵B=2A,∴C=π-A-B=π-3A.
又∵△ABC為銳角三角形,
∴0<π-3A<,∴
7、
又B=2A,∴0<2A<,
∴0b,則∠B=( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由正弦定理,得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB,∵sinB≠0,∴sin(A+C)=,∴sinB=,由a>b知A>B,∴B=.選A.
4.設(shè)a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長,則直線xsinA+ay+c=0與bx-ysinB+sinC=0的位置
8、關(guān)系是( )
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
[答案] C
[解析] ∵k1=-,k2=,∴k1·k2=-1,
∴兩直線垂直.
二、填空題
5.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶,則A=________.
[答案] 30°
[解析] 由正弦定理,得a∶b=sinA∶sinB,又∵B=2A,
∴sinA∶sin2A=1∶,
∴cosA=,∴A=30°.
6.(2015·廣東理,11)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若a=,sin B=,C=,則b=________.
[答案] 1
[解析] 因?yàn)閟in B=且B∈(0,π),
9、所以B=或B=,又C=,所以B=,A=π-B-C=,又a=,由正弦定理,得=,即=,解得b=1.
三、解答題
7.在△ABC中,如果A=60°,c=4,a=,判斷三角形解的情況.
[解析] 解法一:由題意知:csinA=4·sin60°=2,
∵2>,∴csinA>a,∴此題無解.
解法二:由正弦定理得:=,
∴sinC===>1,∴此題無解.
8.在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
[解析] (1)因?yàn)閍=3,b=2,∠B=2∠A,
所以在△ABC中,由正弦定理,得=,
所以=,故cosA=.
(2)由(1)知c
10、osA=,
所以sinA==.
又因?yàn)椤螧=2∠A,所以cosB=2cos2A-1=.
所以sinB==,
在△ABC中,sinC=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB=.
所以c==5.
9.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知cosA=,sinB=cosC.
(1)求tanC的值;
(2)若a=,求△ABC的面積.
[解析] (1)由cosA=,得sinA=.又cosC=sinB=sin(A+C)=cosC+sinC,∴tanC=.
(2)由tanC=,得sinC=,cosC=,
∴sinB=cosC=.
由正弦定理,得c===.
∴△ABC的面積S=acsinB=×××=.
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