新編金版教程高考數學文二輪復習講義：第二編 專題整合突破 專題一集合、常用邏輯用語 第三講 不等式及線性規(guī)劃 Word版含解析

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1、 第三講　不等式及線性規(guī)劃 必記公式] 1．a2＋b2≥2ab(取等號的條件是當且僅當a＝b)． 2．ab≤2(a，b∈R)． 3. ≥≥≥(a>0，b>0)． 4．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當a＝b時等號成立)． 重要結論] 1．不等式的四個性質 注意不等式的乘法、乘方與開方對符號的要求，如 (1)a>b，c>0?ac>bc，a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd. (3)a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)． (4)a>b>0?>(n∈N，n≥2)． 2．四類不等式的解法 (1)一元

2、二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集． (2)簡單分式不等式的解法 >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)簡單指數不等式的解法 當a>1時，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)； 當0ag(x)?f(x)1時，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且f(x)>0，

3、g(x)>0； 當0logag(x)?f(x)0，g(x)>0. 3．判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法 在直線Ax＋By＋C＝0的某一側任取一點(x0，y0)，通過Ax0＋By0＋C的符號來判斷Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的區(qū)域． 失分警示] 1．忽略限制條件致誤：應用不等式的性質時，要注意限制條件． 2．注意符號成立的條件：用基本不等式求最值時，若連續(xù)進行放縮，只有各等號成立的條件保持一致時，結論的等號才成立． 3．忽略基本不等式求最值的條件致誤：利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”，三

4、個條件缺一不可． 4．解分式不等式時，直接把分母乘到另一邊，不注意分母的取值范圍致誤． 5．線性目標函數的斜率與可行域的邊界斜率大小分不清． 6．y＝－x＋中截距符號弄反，導致平移時上下方向錯誤． 考點　不等式的性質及解法　　 典例示法 典例1　　(1)20xx·合肥質檢]函數f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0對x∈0,1]恒成立，則實數a的取值范圍是(　　) A．－e，＋∞) B．－ln 2，＋∞) C．－2，＋∞) D. 解析]　本題主要考查二次函數與指數函數的性質．如圖所示，在同一坐標系中畫出y＝x2＋1，y＝2x，y＝

5、x2＋的圖象，由圖象可知，在0,1]上，x2＋1≤2x B．ln (x2＋1)>ln (y2＋1) C．sinx>siny D．x3>y3 解析]　因為0y.對于選項A，取x＝2，y＝1，則<，顯然A錯誤；對于選項B，取x＝－1，y

6、＝－2，則ln (x2＋1)sinπ，顯然C錯誤；對于選項D，若x>y，則x3>y3一定成立，故選D. 答案]　D 求解不等式的方法 (1)對于一元二次不等式，應先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集． (2)解簡單的分式、指數、對數不等式的基本思想是把它們等價轉化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解． (3)解決含參數不等式的難點在于對參數的恰當分類，關鍵是找到對參數進行討論

7、的原因，確定好分類標準，有理有據、層次清楚地求解． 針對訓練 1．20xx·石家莊質檢(二)]函數f(x)＝ 若f(x0)≤，則x0的取值范圍是(　　) A. B.∪ C.∪ D.∪ 答案　C 解析　①當0≤x0<1時，2x0≤，x0≤log2， ∴0≤x0≤log2. ②當1≤x0≤2時，4－2x0≤，x0≥， ∴≤x0≤2，故選C. 2．20xx·江蘇高考]已知函數f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實數m的取值范圍是________． 答案　 解析　要滿足f(x)＝x2＋mx－1<0對于任意x∈m，m＋1]恒成立

8、， 只需即 解得－0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，當且僅當b＝2a時成立，∴ab≥2. 解法二：由題設易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，當且僅當時，取等號，選C. 答案]　C 題型2　基本不等式的綜合應用 典例3　　已知點A(0，－1)，B(3,0)，C(1,2)，平面區(qū)域P是由所有滿足＝λ＋μ(2<λ≤m,2<μ≤n)的點M

9、組成的區(qū)域，若區(qū)域P的面積為16，則m＋n的最小值為________． 解析]　由題意知＝(3,1)，＝(1,3)，＝(－2,2)， 所以cosA＝＝＝，sinA＝.如圖，延長AB至點G，延長AC至點E，使＝m，＝n，且＝2，＝2，作DK∥AB，EQ∥AB，F(xiàn)T∥AC，GQ∥AC，則四邊形AFHD、四邊形AGQE、四邊形HKQT都是平行四邊形．由題意可知點M組成的區(qū)域P為圖中的陰影部分，即四邊形HKQT及其內部，所以四邊形HKQT的面積為|HK|·|HT|sinA＝(m－2)·(n－2)·＝16，即(m－2)·(n－2)＝2，mn－2m－2n＋2＝0，即2(m＋n)＝mn＋2，因為2(

10、m＋n)＝mn＋2≤2＋2，所以(m＋n)2－8(m＋n)＋8≥0，所以m＋n≥4＋2或m＋n≤4－2(舍)，即m＋n的最小值是4＋2，此時m＝n＝2＋. 答案]　4＋2 利用基本不等式解題應關注三方面 (1)利用基本不等式求最值的注意點 ①在運用基本不等式求最值時，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關鍵． ②若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯． (2)求條件最值問題的兩種方法 一是借助條件轉化為所學過的函數(如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數)，借助于函數單調性求最值；二是可考慮通過變形直接利用基本不等式解決． (3)結構調整與

11、應用基本不等式 基本不等式在解題時一般不能直接應用，而是需要根據 已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結合點”，即把研究對象化成適用基本不等式的形式，常見的轉化方法有 ①x＋＝x－a＋＋a(x>a)． ②若＋＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均為正數)． ③分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值.即化為y＝m＋\f(A,g(x))＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值. 考點　簡單的線性規(guī)劃問題　　 典例示法 題型1　知約束條件求目標函

12、數最值 典例4　　20xx·天津高考]設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝2x＋5y的最小值為(　　) A．－4 B．6 C．10 D．17 解析]　解法一：如圖， 已知約束條件所表示的平面區(qū)域為圖中所示的三角形區(qū)域ABC(包含邊界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根據目標函數的幾何意義，可知當直線y＝－x＋過點B(3,0)時，z取得最小值2×3＋5×0＝6. 解法二：由題意知，約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點分別為A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．將A，B，C三點的坐標分別代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值為6. 答案]　

13、B 題型2　知最值求參數 典例5　　20xx·山東高考]已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析]　畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標函數z＝ax＋y的最大值為4，即目標函數對應直線與可行域有公共點時，在y軸上的截距的最大值為4，作出過點D(0,4)的直線，由圖可知，目標函數在點B(2,0)處取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.故選B. 答案]　B 解決線性規(guī)劃問題應關注三方面 (1)首先要找到可行域，再注意目標函數所表示的幾何意義，找到目標函數達到最值時可行域的頂點(

14、或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決． (2)畫可行域時應注意區(qū)域是否包含邊界． (3)對目標函數z＝Ax＋By中B的符號，一定要注意B的正負與z的最值的對應，要結合圖形分析． 提醒：目標函數是線性時，目標函數的幾何意義與直線的截距有關；若目標函數形如z＝，可考慮(x，y)與(a，b)兩點連線的斜率；若目標函數形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考慮(x，y)與(a，b)兩點距離的平方． 全國卷高考真題調研] 1．20xx·全國卷Ⅰ]若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 答案　3 解析　作出可行域如圖中陰影部分所示， 由可行域

15、知，在點A(1,3)處，取得最大值3. 2．20xx·全國卷Ⅰ]某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元． 答案　216000 解析　由題意，設產品A生產x件，產品B生產y件，利潤z＝2100x＋900y，線性約束條件為 作出不等式組表示的

16、平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值時的最優(yōu)解為(60,100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)． 其它省市高考題借鑒] 3．20xx·山東高考]若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 答案　C 解析　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設P(x，y)為平面區(qū)域內任意一點，則x2＋y2表示|OP|2.顯然，當點P與點A重合時，|OP|2，即x2＋y2取得最大值．由 解得故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值為32＋(－1)2＝10.故選C. 4．

17、20xx·陜西高考]設f(x)＝ln x,0p D．p＝r>q 答案　B 解析　∵0，又f(x)＝ln x在(0，＋∞)上單調遞增，故f()p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝f＝p，∴p＝rb>0，c B.< C.> D.< 答案　D 解析　解法一：c0?<<0?<<0??>?

18、<. 解法二：依題意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入驗證得A、B、C均錯，只有D正確． 6．20xx·上海高考]若實數x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為________． 答案　2 解析　∵x2＋2y2≥2＝2xy＝2，當且僅當x＝y(tǒng)時取“＝”，∴x2＋2y2的最小值為2. 一、選擇題 1．20xx·青海西寧二模]已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是(　　) A．若a>b，則ac2>bc2 B．若>，則a>b C．若a3>b3且ab<0，則> D．若a2>b2且ab>0，則< 答案　C 解析　當c＝0時，可知A不正確；當c<0時，可知

19、B不正確；對于C，由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以>成立，C正確；當a<0且b<0時，可知D不正確． 2．20xx·北京平谷統(tǒng)考]已知a，b，c，d均為實數，有下列命題： ①若ab>0，bc－ad>0，則－>0； ②若ab>0，－>0，則bc－ad>0； ③若bc－ad>0，－>0，則ab>0. 其中正確命題的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　對于①，∵ab>0，bc－ad>0，∴－＝>0，∴①正確；對于②，∵ab>0，又－>0，即>0，∴bc－ad>0，∴②正確；對于③，∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正

20、確．故選D. 3．20xx·浙江金華期中]若對任意的x∈0,1]，不等式1－kx≤≤1－lx恒成立，則一定有(　　) A．k≤0，l≥ B．k≤0，l≤ C．k≥，l≤ D．k≥，l≤ 答案　D 解析　當k＝－1且x∈0,1]時，1－kx＝1＋x∈1,2]，∈，不等式1－kx≤不恒成立，可排除A、B；當k＝且x∈0,1]時，1－kx＝1－x∈，∈，不等式1－kx≤不恒成立，排除C，故選D. 4．已知函數f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．－2,1] D．－2,0] 答案　D 解析　 由題意作出y

21、＝|f(x)|的圖象： 當a>0時，y＝ax與y＝ln (x＋1)的圖象在x>0時必有交點，所以a≤0.當x≥0時，|f(x)|≥ax顯然成立；當x<0時，|f(x)|＝x2－2x，|f(x)|≥ax恒成立?a≥x－2恒成立，又x－2<－2，∴a≥－2.∴－2≤a≤0，故選D. 5．已知函數f(x)＝則不等式f(x)≥x2的解集為(　　) A．－1,1] B．－2,2] C．－2,1] D．－1,2] 答案　A 解析　 解法一：當x≤0時，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0，① 當x>0時，－x＋2≥x2，∴0

22、解法二：作出函數y＝f(x)和函數y＝x2的圖象，如圖，由圖知f(x)≥x2的解集為－1,1]． 6．已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　畫出可行域，如圖所示， 由得A(1，－2a)，則直線y＝z－2x過點A(1，－2a)時，z＝2x＋y取最小值1， 故2×1－2a＝1，解得a＝. 7．20xx·陜西高考]某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料．已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤

23、為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 答案　D 解析　設該企業(yè)每天生產甲產品x噸、乙產品y噸，每天獲得的利潤為z萬元，則有z＝3x＋4y，由題意得x，y滿足：不等式組表示的可行域是以O(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)為頂點的四邊形及其內部．根據線性規(guī)劃的有關知識，知當直線3x＋4y－z＝0過點B(2,3)時，z取最大值18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元． 8．20xx·山東濰坊模擬]一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的

24、概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，＋的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意得3a＋2b＝2， ＋＝×＝ ≥3＋ ＋＝3＋2＋＝， 當且僅當a＝，b＝時取等號．故選D. 9．20xx·蘭州雙基過關]已知AC、BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，且垂足為M(1，)，則四邊形ABCD 面積的最大值為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　A 解析　 如圖，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，則OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(

25、4－OQ2)＝20. 又AC2＋BD2≥2AC·BD，則AC·BD≤10，∴S四邊形ABCD＝AC·BD≤×10＝5，當且僅當AC＝BD＝時等號成立， ∴四邊形ABCD面積的最大值為5. 10．20xx·山東菏澤一模]已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是(　　) A．9 B．8 C．4 D．2 答案　A 解析　圓x2＋y2－2y－5＝0化成標準方程，得 x2＋(y－1)2＝6， 所以圓心為C(0,1)． 因為直線ax＋by＋c－1＝0經過圓心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 因此＋＝(b

26、＋c)＝＋＋5. 因為b，c>0， 所以＋≥2 ＝4. 當且僅當＝時等號成立． 由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝時，＋取得最小值9. 二、填空題 11．已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________． 答案　(－7,3) 解析　∵f(x)是偶函數，∴f(x)＝f(|x|)． 又x≥0時，f(x)＝x2－4x， ∴不等式f(x＋2)<5?f(|x＋2|)<5 ?|x＋2|2－4|x＋2|<5?(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)<0?|x＋2|－5<0?|x＋2|<5?－5

27、70，b>0)的最大值為10，則a2＋b2的最小值為________． 答案　 解析　因為a>0，b>0，所以由可行域得，當目標函數z＝ax＋by過點(4,6)時取最大值，則4a＋6b＝10.a2＋b2的幾何意義是直線4a＋6b＝10上任意一點到點(0,0)的距離的平方，那么最小值是點(0,0)到直線4a＋6b＝10距離的平方，即a2＋b2的最小值是. 13．20xx·遼寧沈陽質檢]若直線l：＋＝1(a>0，b>0)經過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和

28、的最小值是________． 答案　3＋2 解析　直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.求直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值．由直線l經過點(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，因為＋≥2 ＝2，所以a＋b≥3＋2. 14．20xx·廣東實驗中學模擬]已知函數f(x)＝若對任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，則實數m的取值范圍是________． 答案　∪1，＋∞) 解析　對于函數f(x)＝ 當x≤1時，f(x)＝－2＋≤； 當x>1時，f(x)＝logx<0. 則函數f(x)的最大值為. 則要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，則m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.