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第1課時 一元二次不等式及其解法
學習目標：1.掌握一元二次不等式的解法(重點).2.能根據“三個二次”之間的關系解決簡單問題(難點)．
[自 主 預 習探 新 知]
1．一元二次不等式的概念
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？
[提示] 此不等式含有兩個變量，根據一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解與解集
使一元二次不等式成立的未知數的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集．
思考：類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么？
[提示] 不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立．
4．三個“二次”的關系：
設f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac
判別式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不
等式
f(x)
＞0
或
f(x)
＜0的
步驟
求方程
f(x)＝0的解
有兩個不等的實數解
x1，x2
有兩個相等的實數解
x1＝x2
沒有實數解
畫函數
y＝f(x)
的示意圖
得等的集不式解
f(x)
＞0
{x|x＜x1_
或x＞x2}
R
f(x)
＜0
{x|x1＜
x＜x2}
?
?
思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則實數a應滿足什么條件？
[提示] 結合二次函數圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R.
[基礎自測]
1．思考辨析
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2(x1
0的解集為R.( )
[答案] (1) (2) (3) (4)√
提示：(1)錯誤．當m＝0時，是一元一次不等式；當m≠0時，是一元二次不等式．(2)錯誤．因為a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集為R.(3)錯誤．當a>0時，ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x10的解集為R.
2．(2018全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，則?RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B [通解 A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.
優(yōu)解 因為A＝{x|x2－x－2＞0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B.]
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
{x|x>5或x<－1} [由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，
因為x2－4x－5＝0的兩根為－1,5，
故x2－4x－5>0的解集為{x|x<－1或x>5}．]
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集為________.
【導學號：91432278】
? [原不等式變形為3x2－5x＋4<0.
因為Δ＝(－5)2－434＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0無解．
由函數y＝3x2－5x＋4的圖象可知，3x2－5x＋4<0的解集為?.]
[合 作 探 究攻 重 難]
一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
[解] (1)因為Δ＝72－423＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－.又二次函數y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.
(2)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為.
(3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因為Δ＝9－422＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.
[規(guī)律方法] 解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標準.通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數為正.
(2)判別式.對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式.
(3)求實根.求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根.
(4)畫草圖.根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖.
(5)寫解集.根據圖象寫出不等式的解集.
[跟蹤訓練]
1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
【導學號：91432279】
[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集為
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集為.
(3)原不等式可化為x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集為R.
(4)原不等式可化為3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為.
含參數的一元二次不等式的解法
解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
思路探究：①對于二次項的系數a是否分a＝0，a<0，a>0三類進行討論？②當a≠0時，是否還要比較兩根的大?。?
[解] 當a＝0時，原不等式可化為x>1.
當a≠0時，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0.
當a<0時，不等式可化為(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
當a>0時，原不等式可化為(x－1)<0.
若<1，即a>1，則1，即01}；當01時，原不等式的解集為.
[規(guī)律方法]
解含參數的一元二次不等式的一般步驟
注：對參數分類討論的每一種情況是相互獨立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟蹤訓練]
2．解關于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0). 【導學號：91432280】
[解] 原不等式移項得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化簡為(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
當－20、y<0、y＝0時x的取值集合分別是什么？這說明二次函數與二次方程、二次不等式有何關系？
提示：y＝x2－2x－3的圖象如圖所示．
函數y＝x2－2x－3的值滿足y>0時自變量x組成的集合，亦即二次函數y＝x2－2x－3的圖象在x軸上方時點的橫坐標x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，滿足y<0時x的取值集合為{x|－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關系，也就是當y＝0時，函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就轉化為方程，當y>0或y<0時，就轉化為一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0與不等式x2－2x－3>0的解集分別是什么？觀察結果你發(fā)現什么問題？這又說明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集為{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集為{x|x<－1或x>3}，觀察發(fā)現不等式x2－2x－3>0解集的端點值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．設一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2}，{x|x10(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2}，{x|x10的解集為{x|20的解集為{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為∪.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|20的解集．
[解] 由根與系數的關系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解之得.
2．(變條件)若將本例中的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|20，得(x－1)(2x＋1)>0，解得x>1或x<－，從而得原不等式的解集為∪(1，＋∞)．]
3．設a<－1，則關于x的不等式a(x－a)<0的解集為________．
[因為a<－1，所以a(x－a)<0?(x－a)>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x0的解集為________．
[由題意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根且a<0，
故解得a＝c，b＝c.
所以不等式ax2－bx＋c>0即為2x2－5x＋2<0，
解得0的解集為.]
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1).
【導學號：91432283】
[解] (1)原不等式可化為x2－7x＋12≤0，因為方程x2－7x＋12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化為x2－2x＋2>0，
因為判別式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0無實根，而拋物線y＝x2－2x＋2的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為R.
2018年秋高中數學 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1課時 一元二次不等式及其解法學案 新人教A版必修5.doc
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