2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)5 角度問題 新人教A版必修5.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(五)　角度問題 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．在靜水中劃船的速度是每分鐘40 m，水流的速度是每分鐘20 m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432067】 A．15　　　　　　　　　　 B．30 C．45 D．60 B　[如圖所示， sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30.] 2．如圖1227所示，長(zhǎng)為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tan α等于(　　) 圖1227 A. B. C. D. A　[由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且α＋∠ACB＝π. 由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－21.42.8cos(π－α)，解得cos α＝. 所以sin α＝，所以tan α＝＝.] 3．我艦在敵島A處南偏西50的B處，且A，B距離為12海里，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度大小為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432068】 A．28海里/小時(shí) B．14海里/小時(shí) C．14海里/小時(shí) D．20海里/小時(shí) B　[如圖，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為v，在△ABC中，AC＝102＝20 海里， AB＝12海里，∠BAC＝120， ∴BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120 ＝784， ∴BC＝28海里， ∴v＝14海里/小時(shí)．] 4．如圖1228，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m,50 m，BD在水平面上，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD的大小是(　　) 圖1228 A．30 B．45 C．60 D．75 B　[∵AD2＝602＋202＝4 000， AC2＝602＋302＝4 500， 在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝，∠CAD∈(0，180)， ∴∠CAD＝45.] 5．地上畫了一個(gè)角∠BDA＝60，某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)△BDA的另一邊BD上的一點(diǎn)，我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N，則N與D之間的距離為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432069】 A．14米 B．15米 C．16米 D．17米 C　[如圖，設(shè)DN＝x m， 則142＝102＋x2－210 xcos 60， ∴x2－10x－96＝0， ∴(x－16)(x＋6)＝0， ∴x＝16或x＝－6(舍)， ∴N與D之間的距離為16米．] 二、填空題 6．某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處，然后朝南偏西60方向航行3海里到達(dá)C處，若A處與C處的距離為海里，則x的值為________． 或2　[x2＋9－2x3cos 30＝()2， 解得x＝2或x＝.] 7．一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________km. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432070】 30　[如圖所示，依題意有AB＝154＝60，∠MAB＝30， ∠AMB＝45， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)．] 8．一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖1229所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在距A點(diǎn)________dm的C處截住足球． 圖1229 7　[設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球， 點(diǎn)C在線段AD上，設(shè)BC＝x dm，由題意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2ABACcos A， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45，解得x1＝5，x2＝. ∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－(dm)(舍去)． ∴該機(jī)器人最快可在線段AD上距A點(diǎn)7 dm的點(diǎn)C處截住足球．] 三、解答題 9．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45＋α方向攔截藍(lán)方的小艇(如圖1230所示)．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432071】 圖1230 [解]　如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120. 根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根據(jù)正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 10．島A觀察站發(fā)現(xiàn)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時(shí)10海里的速度向東南方向航行(如圖1231所示)，觀察站即刻通知在島A正南方向B處巡航的海監(jiān)船前往檢查．接到通知后，海監(jiān)船測(cè)得可疑船只在其北偏東75方向且相距10海里的C處，隨即以每小時(shí)10海里的速度前往攔截． 圖1231 (1)問：海監(jiān)船接到通知時(shí)，距離島A多少海里？ (2)假設(shè)海監(jiān)船在D處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時(shí)間． [解]　(1)根據(jù)題意得∠BAC＝45，∠ABC＝75，BC＝10， 所以∠ACB＝180－75－45＝60. 在△ABC中，由＝ 得AB＝＝＝＝5. 答：海監(jiān)船接到通知時(shí)，距離島A 5海里． (2)設(shè)海監(jiān)船航行時(shí)間為t小時(shí)，則BD＝10t，CD＝10t， 又因?yàn)椤螧CD＝180－∠ACB＝180－60＝120， 所以BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos 120， 所以300t2＝100＋100t2－21010t，所以2t2－t－1＝0， 解得t＝1或t＝－(舍去)． 所以CD＝10，所以BC＝CD， 所以∠CBD＝(180－120)＝30， 所以∠ABD＝75＋30＝105. 答：海監(jiān)船沿方位角105航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí)． (或答：海監(jiān)船沿南偏東75方向航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí)．) [沖A挑戰(zhàn)練] 1．為了測(cè)量某塔的高度，某人在一條水平公路C，D兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量．在C點(diǎn)測(cè)得塔底B在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿著南偏東40方向前進(jìn)10米到D點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0，則塔的高度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432072】 A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 B　[如圖，由題意得，AB⊥平面BCD， ∴AB⊥BC，AB⊥BD. 設(shè)塔高AB＝x， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45， 所以BC＝AB＝x， 在Rt△ABD中，∠ADB＝30， ∴BD＝＝x， 在△BCD中，由余弦定理得 BD2＝CB2＋CD2－2CBCDcos 120， ∴(x)2＝x2＋100＋10x， 解得x＝10或x＝－5(舍去)，故選B.] 2．甲船在島A的正南B處，以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為(　　) A.分鐘 B.分鐘 C．21.5分鐘 D．2.15小時(shí) A　[如圖，設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠BAC＝120，∴DC2＝AD2＋AC2－2ADACcos 120＝(10－4t)2＋(6t)2－2(10－4t)6tcos 120＝28t2－20t＋100＝282＋. 當(dāng)t＝時(shí)，DC2最小，即DC最小，此時(shí)它們所航行的時(shí)間為60＝分鐘．] 3．如圖1232所示，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M位于北偏東α，前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島位于北偏東β，已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件________時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432073】 圖1232 mcos αcos β>nsin(α－β)　[在△ABM中，由正弦定理得＝， 故BM＝， 要使該船沒有觸礁危險(xiǎn)需滿足BMsin(90－β)＝>n. ∴當(dāng)α與β滿足mcos αcos β>nsin(α－β)時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)．] 4．如圖1233所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cos θ＝________. 圖1233 　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120， 由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800?BC＝20. 由正弦定理＝? sin∠ACB＝sin∠BAC＝， ∠BAC＝120，則∠ACB為銳角，cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30，則cos θ＝cos(∠ACB＋30)＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30＝.] 5．如圖1234所示，港口B在港口O正東方向120海里處，小島C在港口O北偏東60方向，且在港口B北偏西30方向上，一艘科學(xué)家考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30的OA方向以20海里/時(shí)的速度行駛，一艘快艇從港口B出發(fā)，以60海里/時(shí)的速度駛向小島C，在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船送去，現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間為1小時(shí)，則快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過多少小時(shí)才能和考察船相遇？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432074】 圖1234 [解]　設(shè)快艇駛離港口B后，經(jīng)過x小時(shí)，在OA上的點(diǎn)D處與考察船相遇． 如圖所示，連接CD，則快艇沿線段BC，CD航行． 在△OBC中，由題意易得∠BOC＝30，∠CBO＝60，所以∠BCO＝90. 因?yàn)锽O＝120， 所以BC＝60，OC＝60. 故快艇從港口B到小島C需要1小時(shí)，所以x>1. 在△OCD中，由題意易得∠COD＝30，OD＝20x，CD＝60(x－2)． 由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2ODOCcos∠COD，所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－220x60cos 30. 解得x＝3或x＝， 因?yàn)閤>1，所以x＝3. 所以快艇駛離港口B后，至少要經(jīng)過3小時(shí)才能和考察船相遇．