2019版高考數(shù)學二輪復習 限時檢測提速練10 小題考法——空間幾何體的三視圖、表面積與體積及空間位置關系的判定.doc

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限時檢測提速練(十)小題考法——空間幾何體的三視圖、表面積與體積及空間位置關系的判定 1．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有(　　) A．0條 B．1條 C．2條 D．0條或2條 解析：選C　因為平行于三棱錐的兩條相對棱的平面截三棱錐所得的截面是平行四邊形，所以該三棱錐中與平面α平行的棱有2條，故選C． 2．(2018濟南一模)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的正投影可能是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 解析：選B　P點在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影為①，在前面、后面以及左面，右面的投影為④，選B． 3．(2018浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選C　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的長、下底邊長分別為2,1，高為2，∴該幾何體的體積為V＝2＝6.故選C． 4．(2018泉州模擬)設四棱錐PABCD的底面不是平行四邊形， 用平面α去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面α(　　) A．有無數(shù)多個 B．恰有4個 C．只有1個 D．不存在 解析：選A　如圖，由題知面PAD與面PBC相交，面PAB與面PCD相交，可設兩組相交平面的交線分別為m，n，由m，n決定的平面為β，作α與β平行且與四條側棱相交，交點分別為A1，B1，C1，D1，則由面面平行的性質定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，從而得截面必為平行四邊形．由于平面α可以上下平移，可知滿足條件的平面α有無數(shù)多個．故選A． 5．(2018蚌埠模擬)我國古代數(shù)學名著《張邱建算經》中有如下問題：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，問高幾何？”意思是：現(xiàn)在有粟米250斛，把它們自然地堆放在平地上，形成一個圓錐形的谷堆，其底面周長為5丈4尺，則谷堆的高為多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π取3)若使該問題中的谷堆內接于一個球狀的外罩，則該外罩的直徑為(　　) A．5尺 B．9尺 C．10.6尺 D．21.2尺 解析：選C　設谷堆的高為h，底面半徑為r，則2πr＝54，r≈9.粟米250斛， 則體積為2501.62＝π92h，h＝5. 谷堆內接于一個球狀的外罩，設球的半徑為R. 則R2＝(h－R)2＋r2.解得R＝10.6. 故選C． 6．(2018武漢一模)某四棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖是斜邊為的等腰直角三角形，側視圖和俯視圖均為兩個邊長為1的正方形，則該四棱錐的高為(　　) A． B．1 C． D． 解析：選A　幾何體是如圖放置的四棱錐PABCD，是正方體中切除一個三棱柱，再切除一個三棱錐所得到的幾何體，該正方體的棱長為1，高為P到平面ABCD的距離，此距離為，故選A． 7．(2018河南聯(lián)考)在三棱錐SABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱錐SABC的體積為，則該三棱錐的外接球半徑是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　取SC中點O，則OA＝OB＝OC＝OS, 即O為三棱錐的外接球球心，設半徑為r，則2rr2＝.∴r＝3，選C． 8．(2018曲靖一模)如圖，在一個上底無蓋的圓臺形容器上放置一個球體，已知圓臺上、下底面半徑分別為1 cm,2 cm，母線長 cm，球的最低點距圓臺下底面1.5 cm，則球的表面積為(　　) A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．9π cm2 解析：選B　易求上底面圓心至球最低點距離為，則2＋1＝r2，得r＝，S＝4πr2＝，故選B． 9．(2018中原名校聯(lián)考)已知A，B，C，D是球O表面上四點，點E為BC的中點，若AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED＝120，AE＝DE＝，BC＝2，則球O的表面積為(　　) A．π B． C．4π D．16π 解析：選B　由題意可知△ABC與△BCD都是邊長為2的正三角形，如圖，過△ABC與△BCD的中心M，N分別作所在平面的垂線，兩垂線的交點就是球心O，在Rt△OME 中，∠MEO ＝ 60，ME＝，所以OE＝2ME＝，所以球O的半徑R＝OB＝＝＝，所以球O的表面積為S＝4πR2＝. 故選B． 10．(2018齊魯名校聯(lián)考)一個封閉透明塑料制成的正方體容器內裝有容器容積一半的水，將容器的一條棱或一個頂點放在水平桌面上，在任意轉動容器的過程中，與桌面平行的水面的形狀不可能是以下哪幾種 ①非正方形的矩形?、诜钦叫蔚牧庑巍、壅切巍、苷呅巍、萏菪? A．②⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．③⑤ 解析：選D　在正方體ABCDA1B1C1D1中，設棱長為a，則體積最大的三棱錐A1ABC的體積為，∵＜，則溶液表面不可能是三角形．溶液表面是菱形，矩形和正六邊形時，其體積均不小于，故選D． 11．(2018綿陽三模)如圖1，四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，該四棱錐的俯視圖如圖2所示，則AD的長是________． 解析：根據(jù)俯視圖可知BD＝2，CD＝4，BC＝2，所以三角形BCD為直角三角形， 且∠CDB為60，由于AB∥CD，所以∠ABD＝∠CDB＝60， 所以AD＝BDsin 60＝． 答案： 12． (2018煙臺二模)如圖所示，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則下列命題中正確的是________．(填序號) ①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④異面直線PM與BD所成的角為45． 解析：因為截面PQMN是正方形， 所以 PQ∥MN，QM∥PN． ∴PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA， ∴PQ∥AC，QM∥BD． ∵PQ⊥QM，∴AC⊥BD，①正確； ∴PQ∥AC，∴AC∥截面PQMN，②正確；∵PN∥BD，∴異面直線PM與BD所成的角為∠NPM＝45， ④正確． 答案：①②④ 13．(2018廣東二模)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解析：由三視圖可得該幾何體是由圓柱的一半(沿軸截面截得，底面半徑為1，母線長為3)和一個半徑為1的半球組合而成(部分底面重合)，則該幾何體的表面積為S＝2π＋π＋2π3＋23＝6π＋6． 答案：6π＋6 14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________． 解析：由三視圖知，該幾何體由一個底面為直角三角形(直角邊分別為3,4)，高為6的三棱柱截去兩個等體積的四棱錐所得，且四棱錐的底面是矩形(邊長分別為2,4)，高為3，如圖所示，所以該幾何體的體積V＝346－2243＝20． 答案：20 15．(2018廣東二模)在四面體ABCD中，AB＝AC＝2，BC＝6，AD⊥底面ABC，△DBC的面積是6，若該四面體的頂點均在球O的表面上，則球O的表面積是________． 解析： 四面體ABCD與球O的位置關系如圖所示，設E為BC的中點，O1為△ABC外接球的圓心， 因為AB＝AC＝2，BC＝6， 由余弦定理可得∠BAC＝， 由正弦定理可得2AO1＝＝4，AO1＝2， 由勾股定理可得AE＝， 又S△DBC＝DEBC＝6， ∴DE＝2，∴AD＝＝＝1， 在四邊形OO1AD中， OO1∥AD，∠OO1A＝90，OA＝OD， 計算可得R2＝OA2＝(2)2＋2＝， 則球O的表面積是4π＝49π． 答案：49π 16．已知正三棱錐SABC，底面是邊長為3的正三角形ABC，SA＝2，點E是線段AB的中點，過點E作三棱錐SABC外接球O的截面，則截面面積的最小值是________． 解析：記△ABC的中心為M， 則球心O在直線SM上， SM＝＝＝3． 設外接球O的半徑為R， 在Rt△OAM中，AO2＝(SM－SO)2＋AM2， 即R2＝(3－R)2＋3，解得R＝2． 過點E作三棱錐SABC外接球O的截面，要使截面面積最小當且僅當截面與OE垂直時． 在Rt△OME中，OE2＝OM2＋ME2＝1＋＝， 設截面圓的半徑為r， 則r＝＝＝． 截面面積為πr2＝． 答案：