2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第1課時(shí)　排列與排列數(shù)公式 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解排列的概念，能正確寫出一些簡(jiǎn)單問題的所有排列．(重點(diǎn))2.理解排列數(shù)公式，能利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算和證明．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．排列的概念 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列． 2．相同排列的兩個(gè)條件 (1)元素相同． (2)順序相同． 思考：如何理解排列的定義？ [提示]　可從兩個(gè)方面理解：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；(2)兩個(gè)排列相同的條件：①元素相同，②元素的排列順序也相同． 3．排列數(shù)與排列數(shù)公式 排列數(shù)定 義及表示 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A表示 全排列的概念 n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列 階乘的概念 把n(n－1)…21記作n！，讀作：n的階乘 排列數(shù)公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1) 階乘式A＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情況 A＝n！，1！＝1,0?。? 思考：排列與排列數(shù)有何區(qū)別？ [提示]　“一個(gè)排列”是指：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)．所以符號(hào)A只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)排列的元素相同，則這兩個(gè)排列是相同的排列． (　　) (2)從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，共有多少種選法屬于排列問題． (　　) (3)有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問題． (　　) (4)從3,5,7,9中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪屬于排列問題． (　　) (5)從1,2,3,4中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)點(diǎn)屬于排列問題． (　　) [解析]　(1)　因?yàn)橄嗤膬蓚€(gè)排列不僅元素相同，而且元素的排列順序也相同． (2)√　因?yàn)槿麑W(xué)生參賽的科目不同為不同的選法，每種選法與“順序”有關(guān)，屬于排列問題． (3)　因?yàn)榉纸M之后，各組與順序無關(guān)，故不屬于排列問題． (4)√　因?yàn)槿稳〉膬蓚€(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，底數(shù)不同、指數(shù)不同結(jié)果不同．結(jié)果與順序有關(guān)，故屬于排列問題． (5)√　因?yàn)榭v、橫坐標(biāo)不同，表示不同的點(diǎn)，故屬于排列問題． [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4)√　(5)√ 2．甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3種　　　　　　　　　 B．4種 C．6種 D．12種 C　[由排列定義得，共有A＝6種排列方法．] 3．909192…100可以表示為(　　) A．A B．A C．A D．A B　[由排列數(shù)公式得原式為A，故選B.] 4．A＝________，A＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032026】 12　6　[A＝43＝12；A＝321＝6.] [合 作 探 究攻 重 難] 排列的概念 　判斷下列問題是否為排列問題． (1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)； (2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜； (3)選2個(gè)小組去種菜； (4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組； (5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員； [思路探究]　判斷是否為排列問題關(guān)鍵是選出的元素在被安排時(shí)，是否與順序有關(guān)．若與順序有關(guān)，就是排列問題，否則就不是排列問題． [解]　(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題． (2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題． (5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． 所以在上述各題中(2)(5)屬于排列問題． [規(guī)律方法] 1．解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是“取出元素不重復(fù)”，二是“與順序有關(guān)”． 2．判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題． [跟蹤訓(xùn)練] 1．判斷下列問題是否是排列問題 (1)同宿舍4人，每?jī)扇嘶ネㄒ环庑?，問他們一共寫了多少封信? (2)同宿舍4人，每?jī)扇送ㄒ淮坞娫?，問他們一共通了幾次電話? [解]　(1)是一個(gè)排列問題，相當(dāng)于從4個(gè)人中任取兩個(gè)人，并且按順序排好．有多少個(gè)排列就有多少封信，共有A＝12封信． (2)不是排列問題，“通電話”不講順序，甲與乙通了電話，也就是乙與甲通了電話． 排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 　寫出下列問題的所有排列． (1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？ (2)寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032027】 [解]　(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個(gè)不同的兩位數(shù)． (2)如圖所示的樹形圖： 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12種． [規(guī)律方法]　在排列個(gè)數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式．在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個(gè)元素，再按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列． [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為(　　) A．3種　　　　　　　 B．4種 C．6種 D．12種 (2)北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)該有________種機(jī)票． (1)C　(2)12　[(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6種． (2)列出每一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)情況，如圖所示． 故符合題意的機(jī)票種類有： 北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京、廣州→天津、廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．] 排列數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用 [探究問題] 1．兩個(gè)同學(xué)從寫有數(shù)字1,2,3,4的卡片中選取卡片進(jìn)行組數(shù)字游戲．從這4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)或3個(gè)分別能構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)或三位數(shù)？ [提示]　從這4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)能構(gòu)成A＝43＝12個(gè)無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)；若選出3個(gè)能構(gòu)成A＝432＝24個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)． 2．由探究1知A＝43＝12，A＝432＝24，你能否得出A的意義和A的值？ [提示]　A的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從n個(gè)元素a1，a2，…， an中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反過來，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)A.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知完成上述填空共有n(n－1)種填法，所以A＝n(n－1)． 3．你能寫出A的值嗎？有什么特征？若m＝n呢？ [提示]　A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)． (1)公式特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n－m＋1，共有m個(gè)因數(shù)； (2)全排列：當(dāng)m＝n時(shí)，即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列． 全排列數(shù)：A＝n(n－1)(n－2)…21＝n！(叫做n的階乘)． 另外，我們規(guī)定0?。?. 所以A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝. 　(1)計(jì)算：；(2)求證：A－A＝mA. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032028】 [思路探究]：(1)合理選用排列數(shù)的兩個(gè)公式進(jìn)行展開． (2)提取公因式后合并化簡(jiǎn)． [解]　(1) ＝ ＝＝1. (2)證明：∵A－A＝－ ＝ ＝＝m＝mA. ∴A－A＝mA. [規(guī)律方法]　 排列數(shù)的計(jì)算方法 1．排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時(shí)注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用． 2．應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時(shí)，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計(jì)算，這樣往往會(huì)減少運(yùn)算量． [跟蹤訓(xùn)練] 3．求3A＝4A中的x. [解]　原方程3A＝4A可化為＝， 即＝， 化簡(jiǎn)，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由題意知解得x≤8. 所以原方程的解為x＝6. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知下列問題： ①?gòu)募?、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組； ②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動(dòng)； ③從a，b，c，d四個(gè)字母中取出2個(gè)字母； ④從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)． 其中是排列問題的有(　　) A．1個(gè)　　　　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) B　[①是排列問題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的活動(dòng)與順序有關(guān)；②不是排列問題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的活動(dòng)與順序無關(guān)；③不是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)字母與順序無關(guān)；④是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)數(shù)字還需要按順序排成一列．] 2．456…(n－1)n等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032029】 A．A B．A C．(n－4)! D．A D　[456…(n－1)n中共有n－4＋1＝n－3個(gè)因式，最大數(shù)為n，最小數(shù)為4， 故456…(n－1)n＝A.] 3．5本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有________種． 120　[利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120種．] 4．A－6A＋5A＝________. 120　[原式＝A－A＋A＝A＝54321＝120.] 5．計(jì)算：； [解]　法一：＝＝＝. 法二：＝＝＝＝.