新編高考數學理一輪資料包 第十三章 立體幾何

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1、新編高考數學復習資料 第十三章　立體幾何 第1講　空間幾何體的三視圖和直觀圖 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數為(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 2．如圖K13-1-1，正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為(　　) A．6 cm B．8 cm C．(2＋4 ) cm D

2、．(2＋2 ) cm 圖K13-1-1 圖K13-1-2 3．(2013年廣東肇慶一模)已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖K13-1-2所示，則其側視圖的面積為(　　) A. B. C. D. 4．(2014年廣東廣州一模)一個四棱錐的底面為菱形，其三視圖如圖K13-1-3所示，則這個四棱錐的體積是________． 圖K13-1-3 5．若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖K13-1-4，則其側面積等于(　　) A. B．2 C．2 D．6 　 圖K13

3、-1-4 圖K13-1-5 6．如圖K13-1-5，直三棱柱的正視圖面積為2a2，則側視圖的面積為________． 7．在圖K13-1-6的三個圖中，上面是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的主視圖和左視圖在下面畫出． 　　 K13-1-6 (1)在主視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； (2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積． 8．圖K13-1-7(1)為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2. (1)如圖K13-1-7(2)所示的方

4、框內已給出了該幾何體的俯視圖，請在方框內畫出該幾何體的正(主)視圖和側(左)視圖； (2)求四棱錐B－CEPD的體積； (3)求證：BE∥平面PDA. (1) (2) 圖K13-1-7  第2講　空間幾何體的表面積和體積 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2012年廣東)某幾何體的三視圖如圖K13-2-1，它的體積為(　　) A．12π B．45π C．57π D．81π 圖K13-2-1 　　圖K13-2

5、-2 2. (2013年廣東)某四棱臺的三視圖如圖K13-2-2所示，則該四棱臺的體積是(　　) A．4 B. C. D．6 3．圓柱形容器內盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的珠(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖K13-2-3)，則球的半徑是__________cm. 圖K13-2-3 4．(2012年天津)一個幾何體的三視圖如圖K13-2-4(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 　 K13-2-4 5．(2011年全國)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球的球O面上，且AB＝6，BC＝2 ，則棱錐O－

6、ABCD的體積為________． 6．(2012年遼寧)一個幾何體的三視圖如圖K13-2-5，則該幾何體的體積為______________． 圖K13-2-5 　圖K13-2-6 7．(2012年上海)若一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為________． 8．(2012年山東)如圖K13-2-6，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為__________． 9．如圖K13-2-7，△ABC內接于圓O，

7、AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB＝2，已知AE與平面ABC所成的角為θ，且tanθ＝. (1)證明：平面ACD⊥平面ADE； (2)記AC＝x，V(x)表示三棱錐A－CBE的體積，求V(x)的表達式． 圖K13-2-7 10．(2012年湖北)某個實心零部件的形狀是如圖K13-2-8所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺A1B1C1D1－ABCD，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2. (1)證明：直線B1D1⊥平面ACC2A2； (2)現需

8、要對該零部件表面進行防腐處理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(單位：厘米)，每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？ 圖K13-2-8 第3講　點、直線、平面之間的位置關系 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2012年四川)下列命題正確的是(　　) A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B．若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 2．(2

9、012年浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中(　　) A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直 B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直 D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直 3．(2011年浙江)若直線l不平行于平面α，且l?α，則(　　) A．α內存在直線與l異面 B．α內存在與l平行的直線 C．α內存在唯一的直線與l平行 D．α內的直線與l都相交 4．AB，CD是夾在兩平行平面α，β之間的異面線段，A，C在平

10、面α內，B，D在平面β內，若M，N分別為AB，CD的中點，則有(　　) A．MN＝ B．MN> C．MN< D．MN≤ 5．如圖K13-3-1，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論錯誤的是(　　) A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1四點共面 C．A，O，C，M四點共面 D．B，B1，O，M四點共面 圖K13-3-1　 圖K13-3-2 6．如圖K13-3-2，平行四邊形的一個頂點A在平面α內，其余頂點在α的同側，已知其中有兩個頂點到α的距離分別為1和2 ，

11、那么剩下的一個頂點到平面α的距離可能是：①1；②2；③3；④4；以上結論正確的為______________(寫出所有正確結論的編號)． 7．(2012年安徽)若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，則________(寫出所有正確結論編號)． ①四面體ABCD每組對棱相互垂直； ②四面體ABCD每個面的面積相等； ③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°； ④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段互相垂直平分； ⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長． 8．(2011年全國)已知正方體

12、ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為______． 9．(2012年上海)如圖K13-3-3，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB＝2，AD＝2 ，PA＝2，求： (1)三角形PCD的面積； (2)異面直線BC與AE所成的角的大?。? 圖K13-3-3 10．圖K13-3-4是一個正方體的表面展開圖，MN和PQ是兩個面的對角線，請在正方體中將MN和PQ畫出來，并就這個正方體解答下列問題． (1)求MN和PQ所成角的大??；

13、(2)求三棱錐M－NPQ的體積與正方體的體積之比． 圖K13-3-4 第4講　直線、平面平行的判定與性質 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知直線l，m，n及平面α，下列命題中的假命題是(　　) A．若l∥m，m∥n，則l∥n B．若l⊥α，n∥α，則l⊥n C．若l⊥m，m∥n，則l⊥n D．若l∥α，n∥α，則l∥n 2．(2010年廣東惠州調研)已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，給出下列命題：①若n⊥α，n⊥β，則α∥β；②若平面α上有不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β；③若n，m

14、為異面直線，n?α，n∥β，m?β，m∥α，則α∥β.其中正確命題的個數是(　　) A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 3．已知平面α外不共線的三點A，B，C到α的距離都相等，則正確的結論是(　　) A．平面ABC必平行于α B．平面ABC必與α相交 C．平面ABC必不垂直于α D．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內 4．如圖K13-4-1，已知l是過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線，下列結論錯誤的是(　　) A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1 C．l∥平面A1D1B1 D．l⊥B1C1

15、 圖K13-4-1 　　　圖K13-4-2 5．設m，n為兩條直線，α，β為兩個平面，則下列四個命題中，正確的是(　　) A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，則α∥β B．若m∥α，m∥n，則n∥α C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若m，n為兩條異面直線，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，則α∥β 6．(2011年福建)如圖K13-4-2，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于______． 7．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1 cm，過AC作平行于對

16、角線BD1的截面，則截面面積為________． 8．如圖K13-4-3(1)，在透明塑料制成的長方體ABCD－A1B1C1D1容器內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法： ①水的部分始終呈棱柱狀； ②水面四邊形EFGH的面積不改變； ③棱A1D1始終與水面EFGH平行； ④當容器傾斜如圖K13-4-3(2)時，BE·BF是定值． 其中正確說法的序號是____________． 圖K13-4-3 9．如圖K13-4-4，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點． (1)求證：MN

17、∥平面PAD； (2)若MN＝BC＝4，PA＝4 ，求異面直線PA與MN所成的角的大小． 圖K13-4-4 10．(2013年上海)如圖K13-4-5，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1，證明直線BC1平行于平面D1AC，并求直線BC1到平面D1AC的距離． 圖K13-4-5  第5講　直線、平面垂直的判定與性質 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2012年上海)已知空間三條直線l，m，n.若l與m異面，且l與n異面，則(　　) A．m與n異面 B

18、．m與n相交 C．m與n平行 D．m與n異面、相交、平行均有可能 2．如圖K13-5-1，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是(　　) 圖K13-5-1 A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．異面直線AD與CB1角為60° 3．(2012年浙江)設l是直線，α，β是兩個不同的平面(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 4．如圖K13-5-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D與BC1

19、所成的角為，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 圖K13-5-2 　　　圖K13-5-3 5．已知a，b，c是三條不同的直線，命題“a∥b且a⊥c?b⊥c”是正確的，如果把a，b，c中的兩個或三個換成平面，在所得的命題中，真命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 6．如圖K13-5-3，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，則點A到平面A1BC的距離為(　　) A. B. C. D. 7．(2011年全國)己知點E，F分別在正方體ABC

20、D－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于________． 8．(2012年遼寧)已知正三棱錐P－ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________． 9．如圖K13-5-4，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點． (1)求證：BM∥平面ADEF； (2)求證：平面BDE⊥平面BEC. 圖K13-5-4 10．(201

21、3年天津)如圖K13-5-5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點． (1)證明B1C1⊥CE； (2)求二面角B1－CE－C1的正弦值； (3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長． 圖K13-5-5  第6講　空間坐標系與空間向量 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，則實數λ的值為(　　)

22、A．－2 B．－ C. D．2 2．底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體．如圖K13-6-1，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，N為BB1的靠近B的三等分點，若＝a，＝b，＝c，則向量等于(　　) 圖K13-6-1 A．－a＋b＋c B.a＋b－c C.a－b－c D．－a－b＋c 3．已知空間四邊形OABC中，點M在線段OA上，且OM＝2MA，點N為BC的中點，設＝a，＝b，＝c，則＝(　　) A.a＋b－c B．－a＋b＋c C.a－b＋c D.a＋b－c 4．下列等式中，使點M與點A，B，C一定共面的是(　　) A.＝

23、3－2－ B.＝＋＋ C.＋＋＋＝0 D.＋＋＝0 5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，則·＝(　　) A. B．－ C. D．－ 6．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，＝，點N為B1B的中點，則|MN|＝(　　) A.a B.a C.a D.a 7．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為________． 8．已知三點A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，則 (1)與的夾角等于________； (2)在方向上的投影等于________．

24、 9．三棱錐O－ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，則〈，〉的大小為__________． 10．(2012年湖南)如圖K13-6-2，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點． (1)證明：CD⊥平面PAE； (2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積． 圖K13-6-2  第7講　空間中角與距離的計算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若平面α外的直線

25、a與平面α所成的角為θ，則θ的取值范圍是(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　 A. B. C. D. 2．如圖K13-7-1，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值等于(　　) A. B. C. D. 圖K13-7-1 圖K13-7-2 3．如圖K13-7-2，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為(　　) A. B．1

26、 C. D. 4．在三棱柱中ABC－A1B1C1，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．如圖K13-7-3，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正切值是(　　) A. B. C. D. 圖K13-7-3 　　　圖K13-7-4 6．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中點，則異面直線A

27、B1與A1M所成角為________． 7．如圖K13-7-4，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1.若二面角C－AB－C1的大小為60°，則點C到平面ABC1的距離為________． 8．(2012年大綱)三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________． 9．如圖K13-7-5，在長方體ABCD－A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E為CD中點． (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明

28、理由； (3)若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長． 圖K13-7-5 10.(2012年湖北)如圖K13-7-6(1)，∠ACB＝45°，BC＝3，過動點A作AD⊥BC，垂足D，在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°[如圖K13-7-6(2)]． (1)當BD的長為多少時，三棱錐A－BCD的體積最大； (2)當三棱錐A－BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EM與平面BMN所成角的大小． (1)

29、 (2) 圖K13-7-6 第十三章　立體幾何 第1講　空間幾何體的三視圖和直觀圖 1．B　2.B　3.A　4.4 5．D　解析：由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，所以側面積為3×2×1＝6. 6.a2　解析：由主視圖面積可求出直三棱柱的高為2a，底面的正三角形的高為a，故左視圖的面積為2a·a＝a2. 7．解：(1)如圖D89. 圖D89 (2)所求多面體體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－××2＝. 8．(1)解：該組合體的正視圖和側視圖如圖D90. 圖D90 (2)解

30、：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE， ∴平面PDCE⊥平面ABCD. ∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE. ∵S梯形PDCE＝(PD＋EC)·DC＝×3×2＝3， ∴四棱錐B－CEPD的體積為 VB－CEPD＝S梯形PDCE·BC＝×3×2＝2. (3)證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA， ∴EC∥平面PDA.同理，BC∥平面PDA. ∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC＝C， ∴平面EBC∥平面PDA. 又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA. 第2講　空間幾何體的表面積和體積 1．C　2.B 3．4　解析：設球的半徑為r

31、，則由3V球＋V水＝V柱，可得3×·πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4. 4．18＋9π　解析：根據三視圖可知，這是一個上面為長方體，下面有兩個直徑為3的球構成的組合體，兩個球的體積為2×π×3＝9π，長方體的體積為1×3×6＝18，所以該幾何體的體積為18＋9π. 5．8 　解析：設ABCD所在的截面圓的圓心為M，則AM＝＝2 ，OM＝＝2， VO－ABCD＝×6×2 ×2＝8 . 6．12＋π　解析：由三視圖可知該幾何體為一個長方體和一個等高的圓柱的組合體，其中長方體的長、寬、高分別為4,3,1，圓柱的底面直徑為2，高為1，所以該幾何體的體積為3×4×1＋π×12×1＝1

32、2＋π. 7.π　解析：因為半圓面的面積為πl(wèi)2＝2π，所以l＝2，即圓錐的母線l＝2.底面圓的周長2πr＝πl(wèi)＝2π，所以底面半徑r＝1，所以圓錐的高h＝＝.所以圓錐的體積為πr2h＝π×1×＝π. 8.　解析：方法一：因為點E在線段AA1上，所以＝×1×1＝.又因為點F在線段B1C上，所以點F到平面DED1的距離為1，即h＝1，所以＝＝××h＝××1＝. 方法二：使用特殊點進行求解．不失一般性，令點E在點A處，點F在點C處，則＝＝×S△ADC×DD1＝××1×1×1＝. 9．(1)證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形， ∴CD∥BE，BC∥DE. ∵DC⊥平面ABC，BC?平面A

33、BC，∴DC⊥BC. ∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC. ∵DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD. ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD. 又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE. (2)解：∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC. ∴∠EAB為AE與平面ABC所成的角，即∠EAB＝θ. 在Rt△ABE中，由tanθ＝＝，AB＝2，得BE＝. 在Rt△ABC中， ∵BC＝＝(0

34、的矩形，所以AA2⊥AB，AA2⊥AD. 又因為AB∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD. 連接BD，如圖D91，因為BD?平面ABCD，所以AA2⊥BD. 因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 根據棱臺的定義可知，BD與B1D1共面． 又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD， 平面BB1D1D∩A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD. 于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD， 可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1， 又因為AA2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC2A2. 圖D91 (2)解：因

35、為四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，側面是全等的矩形， 所以S1＝＋S四個側面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(平方厘米)． 又因為四棱臺A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形， 所以S2＝＋S四個側面梯形 ＝(A1B1)2＋4×(AB＋A1B1)·h等腰梯形的高 ＝202＋4×(10＋20)· ＝1120(平方厘米)． 于是該實心零部件的表面積為S＝S1＋S2＝1300＋1120＝2420(平方厘米)． 故所需加工處理費為0.2S＝0.2×2420＝484(元)． 第3講　點、直線、平面之間的

36、位置關系 1．C　2.B　3.A 4．C　解析：如圖D92，連接AD，取AD中點G，連接MG，NG，顯然M，N，G不共線，則MG＋NG>MN，即MN<. 圖D92 5．D 6．①③　解析：若B，D到平面α的距離為1,2，則D，B的中點到平面α的距離為，所以C到平面α的距離為3； 若B，C到平面α的距離為1,2，D到平面α的距離為x，則x＋1＝2或x＋2＝1，即x＝1或x＝－1(舍)，所以D到平面α的距離為1； 若C，D到平面α的距離為1,2，同理可得B到平面α的距離為1；所以選①③. 7．②④⑤　解析：①將四面體ABCD的三組對棱分別看作平行六面體的對角線，由于三組

37、對棱分別相等，所以平行六面體為長方體，由于長方體的各面不一定為正方形，所以同一面上的對角線不一定垂直，進而每組對棱不一定相互垂直．①錯； ②四面體ABCD每個面是全等三角形，面積相等； ③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等量代換為同一個三角形內的三個內角，它們之和為180°，③錯； ④連接四面體ABCD每組對棱中點構成菱形，線段互垂直平分； ⑤由①，設所在的長方形長、寬、高分別為a，b，c，則每個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，，，任意兩邊之和大于第三邊，能構成三角形． 8.　解析：設邊長為2，取A1B1的中點M，連接EM，AM，AE，則∠AEM就是異面直線AE與BC所成的

38、角．在△AEM中，cos∠AEM＝＝. 9．解：(1)∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴CD⊥PA. ∵在矩形ABCD中，CD⊥AD，且PA，AD是平面PDA內的相交直線，∴CD⊥平面PDA. ∵PD?平面PDA，∴CD⊥PD. ∴△PCD是以D為直角頂點的直角三角形． ∵在Rt△PAD中，AD＝2 ，PA＝2， ∴PD＝＝2 . ∴△PCD的面積S＝×PD×CD＝2 . (2)方法一：如圖D93所示，建立空間直角坐標系，可得B(2,0,0)，C(2,2 ，0)，E(1，，1)． ∴＝(1，，1)，＝(0,2 ，0)． 設與夾角為θ，則cosθ＝＝＝. ∴θ＝，

39、由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為. 圖D93 　　圖D94 方法二：如圖D94，取PB的中點F，連接AF，EF，AC. ∵在△PBC中，E，F分別是PC，PB的中點， ∴EF∥BC，∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角． ∴在Rt△PAC中，PC＝＝4. ∴AE＝PC＝2. ∵在△AEF中，EF＝BC＝，AF＝PB＝， ∴AF2＋EF2＝AE2，△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形． ∴∠AEF＝，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為. 10．解：(1)如圖D95，MN與PQ是異面直線． 圖D95 在正方體

40、中，PQ∥NC， 則∠MNC為MN與PQ所成角． 因為MN＝NC＝MC， 所以∠MNC＝60°. 所以MN與PQ所成角的大小為60°. (2)設正方體棱長為a，則正方體的體積V＝a3. 而三棱錐M－NPQ的體積與三棱錐N－PQM的體積相等，且NP⊥平面MPQ， 所以VN－PQM＝×MP×MQ×NP＝a3. 所以三棱錐M－NPQ的體積與正方體的體積之比為1∶6. 第4講　直線、平面平行的判定與性質 1．D　2.B　3.D　4.D　5.D　6. 7. cm2　解析：如圖D96，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F為AC與BD的交點，∴E為DD1的中點，易

41、求S△ACE＝ cm2. 圖D96 8．①③④　解析：對于①，由于BC固定，所以在傾斜的過程中，始終有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始終呈棱柱狀(四棱柱或三棱柱、五棱柱)，且BC為棱柱的一條側棱，故①正確；對于命題②，明顯水面邊長EF在變化，則水面面積在變化，故②不正確；③是正確的；④是正確的，由水的體積的不變性可證得．綜上所述，正確命題的序號是①③④. 9．(1)證明：取PD的中點H，連接AH，HN. ∵由N是PC的中點，∴NHDC. ∵M是AB的中點，∴NHAM. ∴AMNH為平行四邊形．∴MN∥AH. 又∵由MN?平面PAD，AH?

42、平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)解：連接AC并取其中點為O，連接OM，ON， ∴OMBC，ONPA. ∴∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角． 由MN＝BC＝4，PA＝4 ，得OM＝2，ON＝2 . ∵MN2＝OM2＋ON2， 即△MON為直角三角形，且OM＝MN， ∴∠ONM＝30°，即異面直線PA與MN成30°的角． 10．證明：因為ABCD－A1B1C1D1為長方體， 所以AB∥C1D1，AB＝C1D1. 所以ABC1D1為平行四邊形，所以BC1∥AD1. 顯然BC1不在平面D1AC上， 所以直線BC1平行于平面D1AC. 直線BC1到平面D1AC

43、的距離，即為點B到平面D1AC的距離，設為h， 考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得 V＝××1＝. 而△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，故＝. 所以V＝××h＝?h＝， 即直線BC1到平面D1AC的距離為. 第5講　直線、平面垂直的判定與性質 1．D　2.D　3.B 4．B　解析：如圖D97，連接B1C，則B1C∥A1D，∵A1D與BC1所成的角為，∴B1C⊥BC1，∴長方體ABCD－A1B1C1D1為正方體．取B1D1的中點M，連接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM為BC1與平面BB1D1D所成的角．∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1

44、＝2 ，∴sin∠C1BM＝＝.故選B. 圖D97 5．C 6．B　解析：方法一：取BC中點E，連接AE，A1E， 過點A作AF⊥A1E，垂足為F. ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC. ∵AB＝AC，∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF. 又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC. ∴AF的長即為所求點A到平面A1BC的距離． ∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝. 方法二：＝S△ABC·AA1＝××1＝. 又∵A1B＝A1C＝. 在△A1BE中，A1E＝＝2. ∴＝×2×2＝2. ∴＝×·h＝h. ∴h＝，∴h＝.∴點A到平面A1BC的距離為.

45、 7.　解析：延長FE交CB的延長線于G，連接AG，則AG為面AEF與面ABC的交線， 由B1E＝2EB，CF＝2FC1得CF＝2BE， ∴B為GC中點． 設正方體的棱長為1，則AG＝AC＝， 又GC＝2，∴AC2＋AG2＝GC2，∴∠CAG＝90°. ∵FC⊥平面ABC，∴FA⊥AG. ∴∠CAF是面AEF與面ABC所成的二面角的平面角， 在Rt△ACF中，tan∠CAF＝＝＝， 故面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于. 8.　解析：因為在正三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分(如圖D98)，此正方體內接于球

46、，正方體的對角線AD為球的直徑，球心為正方體對角線的中點．球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐P－ABC在平面ABC上的高．已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐P－ABC在平面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為－＝. 圖D98 9．證明：(1)延長DA與CB相交于P， ∵AB＝AD＝2，CD＝4，AB∥CD，∴B為PC的中點． 又M為CE的中點，∴BM∥EP， ∵BM?平面ADEF，EP?平面ADEF， ∴BM∥平面ADEF. (2)由(1)知，BC＝PC＝＝2 . 又BD＝＝2 ， ∴BD2＋BC2＝CD2，∴BD⊥BC. 又

47、平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD， ∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC. ∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE. 又BC?平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC. 10．(1)證明：如圖D99，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1，2,1)，E(0,1,0)． 圖D99 則＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)， 于是·＝0.所以B1C1⊥CE. (2)解：＝(1，－2，－1)． 設平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)， 則即 消去x，得y＋2z＝0. 不妨令z＝1，可得一

48、個法向量為m＝(－3，－2,1)． 由(1)，得B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1. 故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量． 于是cos〈m，〉＝＝＝－， 從而sin〈m，〉＝. 所以二面角B1－CE－C1的正弦值為. (3)解：＝(0,1,0)，＝(1,1,1)． 設＝λ＝(λ，λ，λ)，由0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)． 可取＝(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量． 設θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角， 則sinθ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝. 于是＝，解得λ＝. 所以AM＝. 第6講　空間坐標系與空

49、間向量 1．D　2.C　3.D 4．D　解析：∵M，A，B，C四點共面?＝x＋y＋z(x，y，z∈R)且x＋y＋z＝1，∵＋＋＝0?＝－－，∴存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y，∴，，共面．∵M為公共點，∴M，A，B，C四點共面． 5．B 6．A　解析：＝－＝－ ＝＋－ ＝＋－. ∴||＝＝a. 7.　解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝， ∴當t＝時，|b－a|取得最小值為. 8．(1)　(2)　解析：＝(1,1,0)，＝(－1,0，－1)， (1)cos〈，〉＝＝＝－， ∴〈，〉＝. (2)在方向上的投影＝＝＝. 9．90°　解析：∵·＝·(

50、－)＝·－·＝||·||cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝||·||cos60°－||·||cos60°＝0. ∴⊥，∴〈，〉＝90°. 10．解法一：(1)，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5. 又AD＝5，E是CD的中點，所以CD⊥AE. ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD. 而PA，AE是平面PAE內的兩條相交直線， 所以CD⊥平面PAE. (2)過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE. 于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.

51、 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF， 由題意，知∠PBA＝∠BPF， 因為sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. 由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2. 在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF， 所以BG＝＝2 ，BF＝＝＝. 于是PA＝BF＝. 又梯形ABCD的面積為S＝×(5＋3)×4＝16， 所以四棱錐P－ABCD的體積為 V＝×S×PA＝×16×＝. 圖D100 解法二：如圖D10

52、0，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．設PA＝h，則相關的各點坐標為： A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)． (1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)． 因為·＝－8＋8＋0＝0，·＝0， 所以CD⊥AE，CD⊥AP. 而AP，AE是平面PAE內的兩條相交直線， 所以CD⊥平面PAE. (2)由題設和(1)知，，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等， 所以|cos〈，〉|＝

53、|cos〈，〉|， 即＝. 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h(huán))，由＝(4,0，－h(huán))， 故＝. 解得h＝. 又梯形ABCD的面積為S＝×(5＋3)×4＝16， 所以四棱錐P－ABCD的體積為 V＝×S×PA＝×16×＝. 第7講　空間中角與距離的計算 1．D　2.D　3.D　4.C 5．B　解析：BB1與平面ACD1所成角即DD1 與平面ACD1所成角，即∠DD1O，其正切值是＝ . 6.　7. 8.　解析：如圖D101，設該三棱柱的邊長為1， 依題意有＝＋，＝＋－， 則||2＝(＋)2＝2＋2·＋2 ＝2＋2cos 60°＝3， ||2＝(＋

54、－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝2.而·＝(＋)·(＋－) ＝·＋·－·＋·＋·－·＝＋－1＋＋1－＝1. ∴cos〈，〉＝＝＝. 圖D101 9．解：(1)以點A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AA1＝a， 則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E， B1(a,0,1)， ∴＝(0,1,1)，＝， ＝(a,0,1)，＝. ∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥AD1. (2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0，t)，使得 DP∥平面B1AE，則＝(0，－1，t)． 設平面

55、B1AE的法向量為n＝(x，y，z)，則有?取x＝1，可得n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要⊥n. ∴·n＝－at＝0?t＝.又DP?平面B1AE， ∴存在點P使DP∥平面B1AE，此時AP＝. (3)連接A1D，B1C，由長方體AA1＝AD＝1，得A1D⊥AD1. ∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C. 由(1)知B1E⊥AD1，故AD1⊥平面DCB1A1. 是平面DCB1A1的法向量，而＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝. ∵二面角是30°，∴|cos〈，n〉|＝.解得α＝2，即AB＝2. 10．解：(1)方法一：在△ABC中，設BD＝x(0

56、－x. 由AD⊥BC，∠ACB＝45°知，△ADC為等腰直角三角形， 所以AD＝CD＝3－x. 由折起前AD⊥BC知，折起后，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D， 所以AD⊥平面BCD. 又∠BDC＝90°，所以S△BCD＝BD·CD＝x(3－x)． 于是VA－BCD＝AD·S△BCD＝(3－x)·x(3－x)＝·2x(3－x)(3－x) ≤3＝， 當且僅當2x＝3－x，即x＝1時，等號成立， 故當x＝1，即BD＝1時，三棱錐A－BCD的體積最大，最大值為. 方法二：同方法一，得VA－BCD＝AD·S△BCD＝(3－x)·x(3－x)＝(x3－6x2＋9x)． 令f

57、(x)＝(x3－6x2＋9x)， 由f′(x)＝(x－1)·(x－3)＝0，且00；當x∈(1,3)時，f′(x)<0. 所以當x＝1時，f(x)取得最大值． 故當BD＝1時，三棱錐A－BCD的體積最大為. (2)方法一：以D為原點，建立如圖D102所示的空間直角坐標系D－xyz. 由(1)知，當三棱錐A－BCD的體積最大時，BD＝1，AD＝CD＝2， 于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E， 則＝(－1,1,1)． 設N(0，λ，0)，則＝. 因為EN⊥B

58、M?·＝0， 即·(－1,1,1)＝＋λ－1＝0， 故λ＝，N. 所以當DN＝(即N是CD的靠近點D的一個四等分點)時，EN⊥BM. 設平面BMN的一個法向量為n＝(x，y，z)， 由及， 得可取n＝(1,2，－1)． 設EN與平面BMN所成角的大小為θ， 則由＝，n＝(1,2，－1)，可得 sinθ＝cos(90°－θ)＝＝＝， 即θ＝60°.故EN與平面BMN所成角的大小為60° 　　 　 　 方法二：由(1)知，當三棱錐A－BCD的體積最大時，BD＝1，AD＝CD＝2. 如圖D103，

59、取CD的中點F，連接MF，BF，EF，則MF∥AD. 由(1)知AB⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD. 如圖D104，延長EP至P點使得FP＝DB， 連接BP，DP，則四邊形DBPF為正方形，所以DP⊥BF. 取DF的中點N，連接EN， 又E為EP的中點，則EN∥DP，所以EN⊥BF. 因為MF⊥平面BCD，又EN?平面BCD，所以MF⊥EN. 又MF∩BF＝F，所以EN⊥平面BMF. 又BM?平面BMF，所以EN⊥BM. 因為EN⊥BM當且僅當EN⊥BF， 而點F是唯一的，所以點N是唯一的． 即當DN＝(N是CD的靠近點D的一個四等分點)時，EN⊥BM. 連接MN，ME，由計算，得NB＝NM＝EB＝EM＝， 所以△NMB與△EMB是兩個共底邊的全等的等腰三角形， 如圖D105所示，取BM的中點G，連接EG，NG， 則BM⊥平面EGN. 在平面EGN中，過點E作EH⊥GN于H， 則EH⊥平面BMN.故∠ENH是EN與平面BMN所成的角． 在△EGN中，易得EG＝GN＝NE＝， 所以△EGN是正三角形， 故∠ENH＝60°，即EN與平面BMN所成角的大小為60°.