新編高中數(shù)學人教版A版必修一學案：第一單元 1.1.1 第2課時 集合的表示 含答案

新編人教版精品教學資料 第2課時　集合的表示 學習目標　1.掌握集合的兩種表示方法：列舉法和描述法(重點).2.能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單的集合(難點)． 預習教材P3－P5，完成下面問題： 知識點　集合的表示方法 (1)列舉法： ①定義：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法； ②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}． (2)描述法： ①定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法； ②寫法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征． 【預習評價】 (1)集合{x∈N*|x－4<2}的另一種表示形式是(　　) A．{0,1,2,3,4}　　　 B．{0,1,2,3,4,5} C．{1,2,3,4}　　 D．{1,2,3,4,5} (2)方程x2－1＝8的解集用列舉法表示為________． 解析　(1)由x－4<2得x<6，又x∈N*，故x的值為1,2,3,4,5，用列舉法表示為{1,2,3,4,5}． (2)由x2－1＝8得x2＝9，即x＝±3，故其解集用列舉法表示為{－3,3}． 答案　(1)D　(2){－3,3} 題型一　用列舉法表示集合 【例1】　用列舉法表示下列集合： (1)15的正約數(shù)組成的集合； (2)不大于10的正偶數(shù)集； (3)方程組的解集． 解　(1)因為15的正約數(shù)為1,3,5,15， 所以所求集合可表示為{1,3,5,15}． (2)因為不大于10的正偶數(shù)有2,4,6,8,10， 所以所求集合可表示為{2,4,6,8,10}． (3)解方程組得 所以所求集合可表示為{(－3,0)}． 規(guī)律方法　用列舉法表示集合的三個注意點 (1)用列舉法表示集合時，首先要注意元素是數(shù)、點，還是其他的類型，即先定性． (2)列舉法適合表示有限集，當集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示集合比較方便． (3)搞清集合是有限集還是無限集是選擇恰當?shù)谋硎痉椒ǖ年P(guān)鍵． 【訓練1】　用列舉法表示下列集合： (1)絕對值小于5的偶數(shù)； (2)24與36的公約數(shù)； (3)方程組的解集． 解　(1)絕對值小于5的偶數(shù)集為{－2，－4,0,2,4}，是有限集． (2){1,2,3,4,6,12}，是有限集． (3)由得 ∴方程組的解集為{(x，y)|}＝{(x，y)|}＝{(1,1)}，是有限集. 典例遷移 　題型二　用描述法表示集合 【例2】　用描述法表示下列集合： (1)正偶數(shù)集； (2)被3除余2的正整數(shù)的集合； (3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合． 解　(1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}． (2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐標軸上的點(x，y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0，即xy＝0，故坐標軸上的點的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}． 【遷移1】　(變換條件)例2(3)改為“用描述法表示平面直角坐標系中位于第二象限的點的集合．” 解　位于第二象限的點(x，y)的橫坐標為負，縱坐標為正， 即x<0，y>0，故第二象限的點的集合為{(x，y)|x<0，y>0}． 【遷移2】　(變換條件)例2(3)改為“用描述法表示圖中陰影部分點(含邊界)的坐標的集合．” 解　本題是用圖形語言給出的問題，要求把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言．用描述法表示(即用符號語言表示)為{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}． 規(guī)律方法　用描述法表示集合的注意點 (1)“豎線”前面的x∈R可簡記為x； (2)“豎線”不可省略； (3)p(x)可以是文字語言，也可以是數(shù)學符號語言，能用數(shù)學符號表示的盡量用數(shù)學符號表示； (4)同一集合用描述法表示可以不唯一． 題型三　集合表示方法的綜合應(yīng)用 【例3】　(1)用列舉法表示集合A＝＝________. (2)集合A＝{x∈kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，試求實數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A. (1)解析　∵x∈Z且∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.當x＝－2時，1∈N；當x＝－1時，?N；當x＝0時，?N；當x＝1時，?N；當x＝2時，2∈N；當x＝3時，?N；當x＝4時，4∈N；當x＝5時，8∈N.綜上可知A＝{－2,2,4,5}． 答案　{－2,2,4,5} (2)解　①當k＝0時，原方程為16－8x＝0. ∴x＝2，此時A＝{2}； ②當k≠0時， ∵集合A中只有一個元素， ∴方程kx2－8x＋16＝0有兩個相等實根． ∴Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 從而x1＝x2＝4，∴A＝{4}． 綜上可知，實數(shù)k的值為0或1. 當k＝0時，A＝{2}； 當k＝1時，A＝{4}． 規(guī)律方法　1.識別集合的兩個步驟： 一看代表元素：例如{x|p(x)}表示數(shù)集，{(x，y)|y＝p(x)}表示點集； 二看條件：即看代表元素滿足什么條件(公共特性)． 2．方程ax2＋bx＋c＝0的根的個數(shù) 在涉及ax2＋bx＋c＝0的根的集合中，要討論二次項的系數(shù)a是否為0，當a＝0時，方程為bx＋c＝0是一次方程，再分b是否為0兩種情況討論其根的個數(shù)；當a≠0時，方程ax2＋bx＋c＝0為二次方程，結(jié)合判別式的符號判定其根的個數(shù)． 【訓練2】　用列舉法表示下列集合． (1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； (2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}． 解　(1)因為y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N， 所以x＝0,1,2時，y＝6,5,2，符合題意， 所以A＝{2,5,6}． (2)(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N， 則應(yīng)有 所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}． 課堂達標 1．用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為(　　) A．{1,1}　　　 B．{1} C．{x＝1}　　 D．{x2－2x＋1＝0} 解析　集合{x|x2－2x＋1＝0}實質(zhì)是方程x2－2x＋1＝0的解，此方程有兩相等實根，為1，故可表示為{1}．故選B． 答案　B 2．下列各組集合中，表示同一集合的是(　　) A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{3,2}，N＝{2,3} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)} 解析　由于集合中的元素具有無序性，故{3,2}＝{2,3}． 答案　B 3．設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，x∈A，且x?B，則x＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　 D．9 解析　比較A和B中的元素可知x＝2. 答案　B 4．大于3并且小于10的整數(shù)的集合用描述法表示為________． 解析　設(shè)該數(shù)為x，由題意得3<x<10，且x∈Z，故集合是：{x|3<x<10，x∈Z}． 答案　{x|3<x<10，x∈Z} 5．選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)絕對值不大于3的整數(shù)組成的集合； (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實數(shù)解組成的集合； (3)一次函數(shù)y＝x＋6圖象上所有點組成的集合． 解　(1)絕對值不大于3的整數(shù)是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7個元素，則用列舉法表示為{－3，－2，－1,0,1,2,3}． (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實數(shù)解僅有兩個，分別是，－2，用列舉法表示為. (3)一次函數(shù)y＝x＋6圖象上有無數(shù)個點，用描述法表示為{(x，y)|y＝x＋6}． 課堂小結(jié) 1．集合表示的要求： (1)根據(jù)要表示的集合元素的特點，選擇適當方法表示集合，一般要符合最簡原則； (2)一般情況下，元素個數(shù)無限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元素個數(shù)無限的集合，也可以表示元素個數(shù)有限的集合． 2．在用描述法表示集合時應(yīng)注意： (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(點)、還是集合或其他形式； (2)元素具有怎樣的屬性．當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．