2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應(yīng)用 2.2.2 事件的相互獨立性學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.2.2　事件的相互獨立性 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念．(難點)2.能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題．(重點)3.綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解決一些問題．(重點、難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．相互獨立事件的定義和性質(zhì) (1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么稱事件A與事件B相互獨立． (2)性質(zhì)：①如果A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立． ②如果A與B相互獨立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)． 思考：互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別是什么？ [提示]　 相互獨立事件 互斥事件 條件 事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響 不可能同時發(fā)生的兩個事件 符合 相互獨立事件A，B同時發(fā)生，記作：AB 互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作：A∪B(或A＋B) 計算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 2.n個事件相互獨立 對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立． 3．獨立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)； (2)若事件A1，A2，…，An相互獨立，則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． [基礎(chǔ)自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)對事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事件A與B相互獨立； (　　) (2)若事件A，B相互獨立，則P( )＝P()P()． (　　) (3)如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)． (　　) (4)若事件A與B相互獨立，則B與相互獨立． (　　) [解析]　　(1)√　若P(B|A)＝P(B)，則P(AB)＝P(A)P(B)，故A，B相互獨立，所以(1)正確； (2)√　若事件A，B相互獨立，則、也相互獨立，故(2)正確； (3)√　若事件A，B相互獨立，則A發(fā)生與否不影響B(tài)的發(fā)生，故(3)正確； (4)　B與相互對立，不是相互獨立，故(4)錯誤． [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4) 2．壇中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032153】 A．相互獨立事件　　　　 B．不相互獨立事件 C．互斥事件 D．對立事件 A　[由概率的相關(guān)概念得A1與A2是互不影響的兩個事件，故是相互獨立的事件．] 3．一個學(xué)生通過一種英語能力測試的概率是，他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是(　　) A.　　　B.　　　　C.　　　D. C　[由題意知，恰有一次通過的概率為＋＝.] 4．在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________． 　[由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為，，.在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為P＝＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 相互獨立事件的判斷 　判斷下列各對事件是否是相互獨立事件． (1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”； (2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”； (3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”． [思路探究]　(1)利用獨立性概念的直觀解釋進行判斷．(2)計算“從8個球中任取一球是白球”發(fā)生與否，事件“從剩下的7個球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進行判斷．(3)利用事件的獨立性定義判斷． [解]　(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件． (2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為，可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件． (3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點，B：出現(xiàn)3點或6點，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝. 所以P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A與B相互獨立． [規(guī)律方法]　判斷事件是否相互獨立的方法 1．定義法：事件A，B相互獨立?P(AB)＝P(A)P(B)． 2．直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響． 3．條件概率法：當(dāng)P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)判斷． [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)下列事件中，A，B是相互獨立事件的是(　　) A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面” B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)” D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲” (2)甲、乙兩名射手同時向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B(　　) A．相互獨立但不互斥　 B．互斥但不相互獨立 C．相互獨立且互斥 D．既不相互獨立也不互斥 (1)A　(2)A　[(1)把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A. (2)對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標(biāo)，也就是說事件A與B可能同時發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件．故選A.] 相互獨立事件同時發(fā)生的概率 　甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和.求： (1)兩人都能破譯的概率； (2)兩人都不能破譯的概率； (3)恰有一人能破譯的概率； (4)至多有一人能夠破譯的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032154】 [解]　設(shè)“甲能破譯”為事件A，“乙能破譯”為事件B，則A、B相互獨立，從而A與、與B、與均相互獨立． (1)“兩人都能破譯”為事件AB，則 P(AB)＝P(A)P(B)＝＝. (2)“兩人都不能破譯”為事件 ，則 P( )＝P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝＝. (3)“恰有一人能破譯”為事件(A)∪(B)， 又A與B互斥， 所以P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝＋＝. (4)“至多一人能破譯”為事件(A)∪(B)∪()，而A、B、 互斥，故P[(A)∪(B)∪()]＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝＋＋＝. [規(guī)律方法] 1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟： (1)首先確定各事件是相互獨立的； (2)再確定各事件會同時發(fā)生； (3)先求每個事件發(fā)生的概率，再求其積． 2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推廣到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． [跟蹤訓(xùn)練] 2．一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率； (2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率． [解]　記“第1次取出的2個球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球”的事件為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨立事件． (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝＝＝. 故第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率是. (2)P(CA)＝P(C)P(A)＝＝＝. 故第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率是. 事件的相互獨立性與互斥性 [探究問題] 1．甲、乙二人各進行一次射擊比賽，記A＝“甲擊中目標(biāo)”，B＝“乙擊中目標(biāo)”，試問事件A與B是相互獨立事件，還是互斥事件？事件B與A呢？ [提示]　事件A與B，與B，A與均是相互獨立事件，而B與A是互斥事件． 2．在探究1中，若甲、乙二人擊中目標(biāo)的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標(biāo)的概率？ [提示]　“甲、乙二人恰有1人擊中目標(biāo)”記為事件C，則C＝B＋A. 所以P(C)＝P(B＋A)＝P(B)＋P(A) ＝P()P(B)＋P(A)P() ＝(1－0.6)0.6＋0.6(1－0.6)＝0.48. 　小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點到達(dá)互不影響．求： (1)這三列火車恰好有兩列正點到達(dá)的概率． (2)這三列火車至少有一列正點到達(dá)的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032155】 [思路探究]　(1)這三列火車之間是否正點到達(dá)互不影響，因此本題是相互獨立事件同時發(fā)生的概率問題，注意兩列正點到達(dá)所包含的情況． (2)這三列火車至少有一列正點到達(dá)的對立事件是三列火車都沒正點到達(dá)，這種情況比正面列舉簡單些，因此利用對立事件的概率公式求解． [解]　用A，B，C分別表示這三列火車正點到達(dá)的事件，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由題意得A，B，C之間互相獨立，所以恰好有兩列正點到達(dá)的概率為 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.20.70.9＋0.80.30.9＋0.80.70.1＝0.398. (2)三列火車至少有一列正點到達(dá)的概率為 P2＝1－P() ＝1－P()P()P() ＝1－0.20.30.1＝0.994. 母題探究：1.(改變問法)本例條件下，求恰有一列火車正點到達(dá)的概率． [解]　恰有一列火車正點到達(dá)的概率 P3＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝0.80.30.1＋0.20.70.1＋0.20.30.9＝0.092. 2．(變換條件，改變問法)若一列火車正點到達(dá)計5分，用ξ表示三列火車的總得分，求P(ξ≤10)． [解]　事件“ξ≤10”表示“至多兩列火車正點到達(dá)”其對立事件為“三列火車都正點到達(dá)”， 所以P(ξ≤10)＝1－P(ABC) ＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.80.70.9＝0.496. [規(guī)律方法]　與相互獨立事件有關(guān)的概率問題求解策略 明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義． 一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一個發(fā)生為事件A＋B. (2)A，B都發(fā)生為事件AB. (3)A，B都不發(fā)生為事件. (4)A，B恰有一個發(fā)生為事件A＋B. (5)A，B中至多有一個發(fā)生為事件A＋B＋.它們之間的概率關(guān)系如表所示： A，B互斥 A，B相互獨立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A＋B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) P(＋A＋B) 1 1－P(A)P(B) [跟蹤訓(xùn)練] 3．某田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績在13 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為，，，若對這三名短跑運動員的100米跑的成績進行一次檢測，則求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大． [解]　記甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨立，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率： P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝. (2)三人都不合格的概率： P0＝P()＝P()P()P()＝＝. (3)恰有兩人合格的概率： P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝＋＋＝. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝. 綜合(1)(2)可知P1最大． 所以出現(xiàn)恰有一人合格的概率最大． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是(　　) A．互斥事件　　　　　　　 B．相互獨立事件 C．對立事件 D．不相互獨立事件 D　[P(A)＝，P(B)＝，事件A的結(jié)果對事件B有影響．根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨立事件的定義可知，A與B不是相互獨立事件．] 2．甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032156】 A．0.64 B．0.32 C．0.56 D．0.48 B　[“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中(即A)，另一種是甲未擊中乙擊中(即B)，根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發(fā)生，即事件A與B是互斥的，所以所求概率為 P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8(1－0.8)＋(1－0.8)0.8＝0.32.] 3．袋中裝有紅、黃、藍(lán)3種顏色的球各1個，從中每次任取1個，有放回地抽取3次，則3次全是紅球的概率為(　　) A.　　　　B.　　　　　C.　　　　D. D　[有放回地抽取3次，每次可看作一個獨立事件．每次取出的球為紅球的概率為，“3次全是紅球”為三個獨立事件同時發(fā)生，其概率為＝.] 4．國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為，.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為________． 　[因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，.因此，他們不去北京旅游的概率分別為，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P＝1－＝.] 5．某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為，乙當(dāng)選的概率為，丙當(dāng)選的概率為. (1)求恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率； (2)求至多有兩人當(dāng)選的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032157】 [解]　設(shè)甲、乙、丙當(dāng)選的事件分別為A，B，C，則有 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)因為事件A，B，C相互獨立，所以恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率為P(A)＋P(B)＋P(C) ＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋ P()P()P(C) ＝＋＋＝. (2)至多有兩人當(dāng)選的概率為 1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－＝.