2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 課時跟蹤訓(xùn)練12 事件的相互獨立性 新人教A版選修2-3.doc

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課時跟蹤訓(xùn)練(十二) 事件的相互獨立性 (時間45分鐘) 題型對點練(時間20分鐘) 題組一　事件獨立性的判斷 1．下列事件A，B是相互獨立事件的是(　　) A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面” B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．擲一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)” D．A＝“一個燈泡能用1000小時”，B＝“一個燈泡能用2000小時” [解析]　把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是相互獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，其結(jié)果具有唯一性，A，B應(yīng)為對立事件；D中事件B受事件A的影響．故選A. [答案]　A 2．壇子中放有3個白球，2個黑球，從中進行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，則A1和A2是(　　) A．互斥的事件 B．相互獨立的事件 C．對立的事件 D．不相互獨立的事件 [解析]　P(A1)＝，若A1發(fā)生，則P(A2)＝＝；若A1不發(fā)生，則P(A2)＝，即A1發(fā)生的結(jié)果對A2發(fā)生的結(jié)果有影響，故A1與A2不是相互獨立事件．故選D. [答案]　D 3．一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論A與B的獨立性： (1)家庭中有兩個小孩． (2)家庭中有三個小孩． [解]　有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4個基本事件，由等可能性知概率都為. 這時A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互獨立． (2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知這8個基本事件的概率均為，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件． 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 顯然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立． 從而事件A與B是相互獨立的． 題組二　相互獨立事件同時發(fā)生的概率 4．如圖，元件Ai(i＝1,2,3,4)通過電流的概率是0.9，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在M，N之間通過的概率是(　　) A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.9891 [解析]　電流能通過A1，A2的概率為0.90.9＝0.81，電流能通過A3的概率為0.9，故電流不能通過A1，A2且也不能通過A3的概率為(1－0.81)(1－0.9)＝0.019.故電流能通過系統(tǒng)A1，A2，A3的概率為1－0.019＝0.981.而電流能通過A4的概率為0.9，故電流能在M，N之間通過的概率是0.9810.9＝0.8829. [答案]　B 5．如圖所示，在兩個圓盤中，指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　“左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事件A，則P(A)＝＝，“右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事件B，則P(B)＝＝，事件A、B相互獨立，所以兩個指針同時落在奇數(shù)區(qū)域的概率為＝，故選A. [答案]　A 6．在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________． [解析]　由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為，，.在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為＝. [答案]　 題組三　相互獨立事件的綜合應(yīng)用 7．甲、乙兩顆衛(wèi)星同時獨立的監(jiān)測臺風(fēng)．在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準確預(yù)報臺風(fēng)的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準確的概率為(　　) A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 [解析]　解法一：在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準確可分為：①甲預(yù)報準確，乙預(yù)報不準確；②甲預(yù)報不準確，乙預(yù)報準確；③甲預(yù)報準確，乙預(yù)報準確．這三個事件彼此互斥，故事件的概率為0.8(1－0.75)＋(1－0.8)0.75＋0.80.75＝0.95. 解法二：“在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準確”的對立事件是“在同一時刻甲、乙兩顆衛(wèi)星預(yù)報都不準確”，故事件的概率為1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故選A. [答案]　A 8．甲、乙兩名學(xué)生通過某種聽力測試的概率分別為和，兩人同時參加測試，其中有且只有一人能通過的概率是(　　) A. B. C. D．1 [解析]　設(shè)事件A表示“甲通過聽力測試”，事件B表示“乙通過聽力測試”．依題意知，事件A和B相互獨立，且P(A)＝，P(B)＝.記“有且只有一人通過聽力測試”為事件C，則C＝A∪B，且A和B互斥． 故P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝＋＝. [答案]　C 9．同學(xué)甲參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分．假設(shè)同學(xué)甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5，且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學(xué)甲得分不低于300分的概率是________． [解析]　設(shè)“同學(xué)甲答對第i個題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互獨立，同學(xué)甲得分不低于300分對應(yīng)于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3發(fā)生，故所求概率為 P＝P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3) ＝P(A1A2A3)＋P(A1A3)＋P(A2A3) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P()P(A3)＋P()P(A2)P(A3) ＝0.80.60.5＋0.80.40.5＋0.20.60.5＝0.46. [答案]　0.46 綜合提升練(時間25分鐘) 一、選擇題 1．甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能獲得冠軍，若兩隊每局獲勝的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　根據(jù)題意，由于甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能獲得冠軍，根據(jù)兩隊每局中勝出的概率都為，則可知甲隊獲得冠軍的概率為＋＝. [答案]　D 2．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一片跳到另一片)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A片上，則跳三次之后停在A片上的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　由題意知逆時針方向跳的概率為，順時針方向跳的概率為，青蛙跳三次要回到A只有兩條途徑： 第一條，按A→B→C→A， P1＝＝； 第二條，按A→C→B→A， P2＝＝， 所以跳三次之后停在A上的概率為 P1＋P2＝＋＝. [答案]　A 3．甲、乙、丙3位學(xué)生用計算機聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲答題及格的概率為，乙答題及格的概率為，丙答題及格的概率為，3人各答題1次，則3人中只有1人答題及格的概率為(　　) A. B. C. D．以上全不對 [解析]　設(shè)“甲答題及格”為事件A，“乙答題及格”為事件B，“丙答題及格”為事件C，顯然事件A，B，C相互獨立，設(shè)“3人各答1次，只有1人及格”為事件D，則D的可能情況為A，B，C(其中，，分別表示甲、乙、丙答題不及格)．A，B，C不能同時發(fā)生，故兩兩互斥，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝＋＋＝. [答案]　C 二、填空題 4．臺風(fēng)在危害人類的同時，也在保護人類．臺風(fēng)給人類送來了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對均衡．甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風(fēng)，在同一時刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星準確預(yù)報臺風(fēng)的概率分別為0.8,0.7,0.9，各衛(wèi)星間相互獨立，則在同一時刻至少有兩顆衛(wèi)星預(yù)報準確的概率是________． [解析]　設(shè)甲、乙、丙預(yù)報準確依次記為事件A，B，C，不準確記為事件，，，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，至少兩顆衛(wèi)星預(yù)報準確的事件有AB，AC，BC，ABC，這四個事件兩兩互斥． ∴至少兩顆衛(wèi)星預(yù)報準確的概率為P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.80.70.1＋0.80.30.9＋0.20.70.9＋0.80.70.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. [答案]　0.902 5．已知甲袋中有除顏色外大小相同的8個白球，4個紅球；乙袋中有除顏色外大小相同的6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，則取得同色球的概率為________． [解析]　設(shè)從甲袋中任取一個球，事件A：“取得白球”，則此時事件：“取得紅球”，從乙袋中任取一個球，事件B：“取得白球”，則此時事件：“取得紅球”． ∵事件A與B相互獨立； ∴事件與相互獨立． ∴從每袋中任取一個球，取得同色球的概率為 P(AB＋)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝＋＝. [答案]　 三、解答題 6．甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立． (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列． [解]　用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”． 則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝2＋2＋2＝. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝. P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝. P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝. P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P 7.李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨立)： 場次 投籃次數(shù) 命中次數(shù) 場次 投籃次數(shù) 命中次數(shù) 主場1 22 12 客場1 18 8 主場2 15 12 客場2 13 12 主場3 12 8 客場3 21 7 主場4 23 8 客場4 18 15 主場5 24 20 客場5 25 12 (1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率； (2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率． [解]　(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4. 所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5. (2)設(shè)事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”， 事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”， 事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”． 則C＝A∪B，A，B獨立． 根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，P(A)＝，P(B)＝. P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 所以，在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為.