2018年秋高中數學 第一章 計數原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第2課時 排列的綜合應用學案 新人教A版選修2-3.doc

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第2課時　排列的綜合應用 學習目標：1.進一步理解排列的概念，掌握一些排列問題的常用解決方法．(重點)2.能應用排列知識解決簡單的實際問題．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．排列數公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝(n，m∈N*，m≤n) A＝n(n－1)(n－2)…21＝n！(叫做n的階乘) 另外，我們規(guī)定0！＝1. 2．排列應用題的最基本的解法 (1)直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素(又稱元素分析法)；或以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置(又稱位置分析法)． (2)間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數，再減去不合要求的排列數． 3．解簡單的排列應用題的基本思想 [基礎自測] 1．從n個人中選出2個，分別從事兩項不同的工作，若選派的種數為72，則n的值為(　　) A．6　　　　　　　 B．8 C．9 D．12 C　[由A＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．] 2．用數字1,2,3,4,5組成的無重復數字的四位偶數的個數為________. 【導學號：95032035】 48　[從2,4中取一個數作為個位數字，有2種取法；再從其余四個數中取出三個數排在前三位，有A種排法．由分步乘法計數原理知，這樣的四位偶數共有2A＝48個．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數有________種． 24　[把A，B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，共A＝24種．] 4．從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三種不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有________種． 186　[可選用間接法解決：先求出從7人中選出3人的方法數，再求出從4名男生中選出3人的方法數，兩者相減即得結果．A－A＝186(種)．] [合 作 探 究攻 重 難] 無限制條件的排列問題 　(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ (2)有5種不同的書(每種不少于3本)，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 【導學號：95032036】 [思路探究]　(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，各人得到的書不同，屬于求排列數問題；(2)給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本，各人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步乘法計數原理進行計算． [解]　(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個不同元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數是A＝543＝60，所以共有60種不同的送法． (2)由于有5種不同的書，送給每個同學的每本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數是555＝125，所以共有125種不同的送法． [規(guī)律方法] 1．沒有限制的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對簡單，分清元素和位置即可． 2．對于不屬于排列的計數問題，注意利用計數原理求解． [跟蹤訓練] 1．將3張電影票分給10人中的3人，每人1張，共有________種不同的分法． 720　[問題相當于從10個人中選出3個人，然后進行全排列，這是一個排列問題．故不同分法的種數為A＝1098＝720.] 排隊問題 　有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數． (1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置． (2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊． (3)全體排成一行，其中男生必須排在一起． (4)全體排成一行，男、女各不相鄰． (5)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變． (6)排成前后二排，前排3人，后排4人. 【導學號：95032037】 [思路探究]　分析題意，確定限制條件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素 [解]　(1)元素分析法：甲為特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三個位置可供甲選擇．有A種，其余6人全排列，有A種．由分步乘法計數原理得AA＝2 160種． (2)位置分析法：先排最左邊，除去甲外，有A種，余下的6個位置全排列有A種，但應剔除乙在最右邊的排法數AA種．則符合條件的排法共有AA－AA＝3 720種． (3)捆綁法：將男生看成一個整體，進行全排列有A種排法，把這個整體看成一個元素再與其他4人進行全排列有A種排法，共有AA＝720種． (4)插空法：先排好男生，然后將女生插入排男生時產生的四個空位，共有AA＝144種． (5)定序排列用除法：第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為N，第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為七個人的全排列，因此有A＝NA，∴N＝＝840種． (6)分排問題直接法：由已知，7人排在7個位置，與無任何限制的排列相同，有A＝5 040種． 注意：解(6)時易出現(xiàn)AA的錯誤，其主要原因是排列的概念理解不深刻． [規(guī)律方法] 1．排隊問題中的限制條件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法進行排列．對相鄰、相間、定序、分排等常見問題的解法應記住． 2．元素相鄰和不相鄰問題的解題策略 限制條件 解題策略 元素相鄰 通常采用“捆綁”法，即把相鄰元素看做一個整體參與其他元素排列 元素 不相鄰 通常采用“插空”法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰元素插在前面元素排列的空當中 [跟蹤訓練] 2．有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？ (1)甲不在中間，乙必在兩端； (2)甲不在左端，乙不在右端； (3)男、女生分別排在一起； (4)男女相間； (5)男生不全相鄰． [解]　(1)優(yōu)先安排特殊元素．乙的站法有2種，甲的站法有7種，其余隨便站，共有： 27A＝70 560種 (2)按甲在不在右端分類討論． 甲站右端的有：A種；甲不在右端的有：77A種； 共有：A＋77A＝A(8＋49)＝287 280種． (3)(捆綁法)AAA＝5 760種． (4)(插空法)先排4名男生有A種方法，再將5名女生插空，有A種方法，故共有AA＝2 880種排法． (5)(排除法)9人全排列再減去4名男生全部相鄰的情況，有A－AA＝345 600種． 數字排列問題 [探究問題] 1．偶數的個位數字有何特征？從1,2,3,4,5中任取兩個不同數字能組成多少個不同的偶數？ [提示]　偶數的個位數字一定能被2整除．先從2,4中任取一個數字排在個位，共2種不同的排列，再從剩余數字中任取一個數字排在十位，共4種排法，故從1,2,3,4,5中任取兩個數字，能組成24＝8(種)不同的偶數． 2．在一個三位數中，身居百位的數字x能是0嗎？如果在0～9這十個數字中任取不同的三個數字組成一個三位數，如何排才能使百位數字不為0? [提示]　在一個三位數中，百位數字不能為0，在具體排數時，從元素0的角度出發(fā)，可先將0排在十位或個位的一個位置，其余數字可排百位、個位(或十位)位置；從“位置”角度出發(fā)可先從1～9這9個數字中任取一個數字排百位，然后再從剩余9個數字中任取兩個數字排十位與個位位置． 　用0,1,2,3,4,5這六個數字可以組成多少個無重復數字的 (1)六位奇數？ (2)個位數字不是5的六位數？ (3)不大于4310的四位偶數. 【導學號：95032038】 [思路探究]　這是一道有限制條件的排列問題，每一問均應優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排的原則．另外，還可以用間接法求解． [解]　(1)法一：從特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填個位，有A種填法，第二步再填十萬位，有A種填法，第三步填其他位，有A種填法，故共有AAA＝288(個)六位奇數． 法二：從特殊元素入手(直接法) 0不在兩端有A種排法，從1,3,5中任選一個排在個位有A種排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A種排法，故共有AAA＝288(個)六位奇數． 法三：排除法 6個數字的全排列有A個，0,2,4在個位上的六位數為3A個，1,3,5在個位上，0在十萬位上的六位數有3A個，故滿足條件的六位奇數共有A－3A－3A＝288(個)． (2)法一：排除法 0在十萬位的六位數或5在個位的六位數都有A個，0在十萬位且5在個位的六位數有A個． 故符合題意的六位數共有A－2A＋A＝504(個)． 法二：直接法 十萬位數字的排法因個位上排0與不排0而有所不同．因此需分兩類： 第一類：當個位排0時，符合條件的六位數有A個． 第二類：當個位不排0時，符合條件的六位數有AAA個． 故共有符合題意的六位數A＋AAA＝504(個)． (3)用直接法 ①當千位上排1,3時，有AAA個． ②當千位上排2時，有AA個． ③當千位上排4時，形如40，42的各有A個；形如41的有AA個，形如43的只有4 310和4 302這兩個數． 故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(個)． 母題探究：1.本例條件不變，能組成多少個能被5整除的五位數？ [解]　個位上的數字必須是0或5.若個位上是0，則有A個；若個位上是5，若不含0，則有A個；若含0，但0不作首位，則0的位置有A種排法，其余各位有A種排法，故共有A＋A＋AA＝216(個)能被5整除的五位數． 2．本例條件不變，若所有的六位數按從小到大的順序組成一個數列{an}，則240 135是第幾項？ [解]　由于是六位數，首位數字不能為0，首位數字為1有A個數，首位數字為2，萬位上為0,1,3中的一個有3A個數，所以240 135的項數是A＋3A＋1＝193，即240 135是數列的第193項． [規(guī)律方法]　解排數字問題常見的解題方法 1．“兩優(yōu)先排法”：特殊元素優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先填充．如“0”不排“首位”． 2．“分類討論法”：按照某一標準將排列分成幾類，然后按照分類加法計數原理進行，要注意以下兩點：一是分類標準必須恰當；二是分類過程要做到不重不漏． 3．“排除法”：全排列數減去不符合條件的排列數． 4．“位置分析法”：按位置逐步討論，把要求數字的每個數位排好． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數為(　　) A．36　　　　　　　　 B．120 C．720 D．240 C　[由于6人排兩排，沒有什么特殊要求的元素，故排法種數為A＝720.] 2．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個也不排在最后一個演講，則不同的演講次序共有(　　) A．240種 B．360種 C．480種 D．720種 C　[先排甲，有4種方法，剩余5人全排列，有A＝120種，所以不同的演講次序有4120＝480種．] 3．用1,2,3,4,5,6,7這7個數字排列組成一個七位數，要求在其偶數位上必須是偶數，奇數位上必須是奇數，則這樣的七位數有________個． 144　[先排奇數位有A種，再排偶數位有A種，故共有AA＝144個．] 4．兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數為________． 24　[分3步進行分析，①先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有A＝2種排法，②兩個小孩一定要排在一起，將其看成一個元素，考慮其順序有A＝2種排法，③將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進行全排列，有A＝6種排法． 則共有226＝24種排法．] 5．從6名短跑運動員中選出4人參加4100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有多少種參賽方案？ [解]　法一：從運動員(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類： 第1類，甲不參賽，有A種參賽方案； 第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒，有2種方法，然后安排其他3棒，有A種方法，此時有2A種參賽方案． 由分類加法計數原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A＋2A＝240種． 法二：從位置(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮第一棒和第四棒，則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人，有A種方法；其余兩棒從剩余4人中選，有A種方法． 由分步乘法計數原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有AA＝240種．