2020版高考理科數(shù)學人教版一輪復習講義：第九章 第九節(jié) 解析幾何壓軸大題突破策略 第一課時　破題上——著眼4點找到解題突破口 Word版含答案

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1、第九節(jié)第九節(jié)解析幾何壓軸大題突破策略解析幾何壓軸大題突破策略第一課時第一課時破題上破題上著眼著眼 4 點找到解題突破口點找到解題突破口(閱讀課閱讀課供學有余力的考生自主觀摩供學有余力的考生自主觀摩)解析幾何研究的問題是幾何問題解析幾何研究的問題是幾何問題，研究的手法是代數(shù)法研究的手法是代數(shù)法(坐標法坐標法)因此因此，求解解析幾何問求解解析幾何問題最大的思維難點是轉化，即幾何條件代數(shù)化如何在解析幾何問題中實現(xiàn)代數(shù)式的轉化，題最大的思維難點是轉化，即幾何條件代數(shù)化如何在解析幾何問題中實現(xiàn)代數(shù)式的轉化，找到常見問題的求解途徑，即解析幾何問題中的條件轉化是如何實現(xiàn)的，是突破解析幾何問找到常見問題的求解

2、途徑，即解析幾何問題中的條件轉化是如何實現(xiàn)的，是突破解析幾何問題難點的關鍵所在為此，從以下幾個途徑，結合數(shù)學思想在解析幾何中的切入為視角，分題難點的關鍵所在為此，從以下幾個途徑，結合數(shù)學思想在解析幾何中的切入為視角，分析解析幾何的析解析幾何的“雙管齊下雙管齊下”，突破思維難點，突破思維難點利用向量轉化幾何條件利用向量轉化幾何條件典例典例如圖所示，已知圓如圖所示，已知圓 C：x2y22x4y40，問：是否，問：是否存在斜率為存在斜率為 1 的直線的直線 l，使使 l 與圓與圓 C 交于交于 A，B 兩點兩點，且以且以 AB 為直徑的為直徑的圓過原點？若存在，寫出直線圓過原點？若存在，寫出直線 l

3、 的方程；若不存在，請說明理由的方程；若不存在，請說明理由解題觀摩解題觀摩假設存在斜率為假設存在斜率為 1 的直線的直線 l， 使使 l 與圓與圓 C 交于交于 A， B 兩兩點，且以點，且以 AB 為直徑的圓過原點為直徑的圓過原點設直線設直線 l 的方程為的方程為 yxb，點點 A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立聯(lián)立yxb，x2y22x4y40，消去消去 y 并整理得并整理得 2x22(b1)xb24b40，所以所以 x1x2(b1)，x1x2b24b42.因為以因為以 AB 為直徑的圓過原點，所以為直徑的圓過原點，所以 OAOB，即即 x1x2y1y20.又又 y1x1b，y2x2b，

4、則則 x1x2y1y2x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20.由由知，知，b24b4b(b1)b20，即即 b23b40，解得，解得 b4 或或 b1.當當 b4 或或 b1 時，時，均有均有4(b1)28(b24b4)4b224b360，即直線即直線 l 與圓與圓 C 有兩個交點有兩個交點所以存在直線所以存在直線 l，其方程為，其方程為 xy10 或或 xy40.關鍵點撥關鍵點撥以以 AB 為直徑的圓過原點等價于為直徑的圓過原點等價于 OAOB，而而 OAOB 又可以又可以“直譯直譯”為為 x1x2y1y20，可以看出，解此類解析幾何問題的總體思路為可以看出，解此類解析幾

5、何問題的總體思路為“直譯直譯”，然后對個別難以，然后對個別難以“直譯直譯”的條件先的條件先進行進行“轉化轉化”，將，將“困難、難翻譯困難、難翻譯”的條件通過平面幾何知識的條件通過平面幾何知識“轉化轉化”為為“簡單、易翻譯簡單、易翻譯”的條件后再進行的條件后再進行“直譯直譯”，最后聯(lián)立，最后聯(lián)立“直譯直譯”的結果解決問題的結果解決問題角平分線條件的轉化角平分線條件的轉化典例典例已知動圓過定點已知動圓過定點 A(4,0)，且在，且在 y 軸上截得的弦軸上截得的弦 MN 的長為的長為 8.(1)求動圓圓心的軌跡求動圓圓心的軌跡 C 的方程；的方程；(2)已知點已知點 B(1,0)，設不垂直于設不垂直

6、于 x 軸的直線軸的直線 l 與軌跡與軌跡 C 交于不同的兩點交于不同的兩點 P，Q，若若 x 軸是軸是PBQ 的角平分線，求證：直線的角平分線，求證：直線 l 過定點過定點解題觀摩解題觀摩(1)設動圓圓心為點設動圓圓心為點 P(x，y)，則由勾股定理得，則由勾股定理得 x242(x4)2y2，化簡即，化簡即得圓心的軌跡得圓心的軌跡 C 的方程為的方程為 y28x.(2)證明：證明：法一：法一：由題意可設直線由題意可設直線 l 的方程為的方程為 ykxb(k0)聯(lián)立聯(lián)立ykxb，y28x，得得 k2x22(kb4)xb20.由由4(kb4)24k2b20，得，得 kb2.設點設點 P(x1，y

7、1)，Q(x2，y2)，則則 x1x22 kb4 k2，x1x2b2k2.因為因為 x 軸是軸是PBQ 的角平分線，所以的角平分線，所以 kPBkQB0，即即 kPBkQBy1x11y2x212kx1x2 kb x1x2 2b x11 x21 8 kb x11 x21 k20，所以所以 kb0，即，即 bk，所以，所以 l 的方程為的方程為 yk(x1)故直線故直線 l 恒過定點恒過定點(1,0)法二：法二：設直線設直線 PB 的方程為的方程為 xmy1，它與拋物線，它與拋物線 C 的另一個交點為的另一個交點為 Q，設點，設點 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由條件可得，由條件可得，Q 與

8、與 Q關于關于 x 軸對稱，故軸對稱，故 Q(x2，y2)聯(lián)立聯(lián)立xmy1，y28x，消去消去 x 得得 y28my80，其中其中64m2320，y1y28m，y1y28.所以所以 kPQy1y2x1x28y1y2，因而直線因而直線 PQ 的方程為的方程為 yy18y1y2(xx1)又又 y1y28，y218x1，將將 PQ 的方程化簡得的方程化簡得(y1y2)y8(x1)，故直線故直線 l 過定點過定點(1,0)法三：法三：由拋物線的對稱性可知，如果定點存在，由拋物線的對稱性可知，如果定點存在，則它一定在則它一定在 x 軸上，軸上，所以設定點坐標為所以設定點坐標為(a,0)，直線，直線 PQ

9、 的方程為的方程為 xmya.聯(lián)立聯(lián)立xmya，y28x消去消去 x，整理得整理得 y28my8a0，0.設點設點 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則，則y1y28m，y1y28a.由條件可知由條件可知 kPBkQB0，即即 kPBkQBy1x11y2x21 my1a y2 my2a y1y1y2 x11 x21 2my1y2 a1 y1y2 x11 x21 0，所以所以8ma8m0.由由 m 的任意性可知的任意性可知 a1，所以直線，所以直線 l 恒過定點恒過定點(1,0)法四：法四：設設 Py218，y1，Qy228，y2，因為因為 x 軸是軸是PBQ 的角平分線，的角平分線，所以所以

10、 kPBkQBy1y2181y2y22810，整理得整理得(y1y2)y1y2810.因為直線因為直線 l 不垂直于不垂直于 x 軸，軸，所以所以 y1y20，可得，可得 y1y28.因為因為 kPQy1y2y218y2288y1y2，所以直線所以直線 PQ 的方程為的方程為 yy18y1y2xy218 ，即即 y8y1y2(x1)故直線故直線 l 恒過定點恒過定點(1,0)關鍵點撥關鍵點撥本題前面的三種解法屬于比較常規(guī)的解法，主要是設點，設直線方程，聯(lián)立方程，并借本題前面的三種解法屬于比較常規(guī)的解法，主要是設點，設直線方程，聯(lián)立方程，并借助判別式、根與系數(shù)的關系等知識解題，計算量較大解法四巧

11、妙地運用了拋物線的參數(shù)方助判別式、根與系數(shù)的關系等知識解題，計算量較大解法四巧妙地運用了拋物線的參數(shù)方程進行設點，避免了聯(lián)立方程組，計算相對簡單，但是解法二和解法四中含有兩個參數(shù)程進行設點，避免了聯(lián)立方程組，計算相對簡單，但是解法二和解法四中含有兩個參數(shù) y1，y2，因此判定直線過定點時，要注意將直線的方程變?yōu)樘厥獾男问?，因此判定直線過定點時，要注意將直線的方程變?yōu)樘厥獾男问较议L條件的轉化弦長條件的轉化典例典例如圖所示如圖所示，已知橢圓已知橢圓 G：x22y21，與與 x 軸不重合的直軸不重合的直線線 l 經(jīng)過左焦點經(jīng)過左焦點 F1，且與橢圓，且與橢圓 G 相交于相交于 A，B 兩點，弦兩點，

12、弦 AB 的中點的中點為為M，直線，直線 OM 與橢圓與橢圓 G 相交于相交于 C，D 兩點兩點(1)若直線若直線 l 的斜率為的斜率為 1，求直線，求直線 OM 的斜率的斜率(2)是否存在直線是否存在直線 l，使得使得|AM|2|CM|DM|成立？若存在成立？若存在，求出直求出直線線 l 的方程；若不存在，請說明理由的方程；若不存在，請說明理由解題觀摩解題觀摩(1)由題意可知點由題意可知點 F1(1,0)，又直線又直線 l 的斜率為的斜率為 1，故直線故直線 l 的方程為的方程為 yx1.設點設點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由由yx1，x22y21，消去消去 y 并整理得并整理得

13、3x24x0，則則 x1x243，y1y223，因此中點因此中點 M 的坐標為的坐標為23，13 .故直線故直線 OM 的斜率為的斜率為132312.(2)假設存在直線假設存在直線 l，使得，使得|AM|2|CM|DM|成立成立由題意，直線由題意，直線 l 不與不與 x 軸重合軸重合，設直線設直線 l 的方程為的方程為 xmy1.由由xmy1，x22y21，消去消去 x 并整理得并整理得(m22)y22my10.設點設點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則y1y22mm22，y1y21m22，可得可得|AB| 1m2|y1y2| 1m22mm2224m222 2 m21 m22，x1x2

14、m(y1y2)22m2m2224m22，所以弦所以弦 AB 的中點的中點 M 的坐標為的坐標為2m22，mm22 ，故直線故直線 CD 的方程為的方程為 ym2x.聯(lián)立聯(lián)立ym2x，x22y21，消去消去 y 并整理得并整理得 2x2m2x240，解得解得 x24m22.由對稱性，設由對稱性，設 C(x0，y0)，D(x0，y0)，則則 x204m22，可得可得|CD|1m24|2x0| m24 4m222m24m22.因為因為|AM|2|CM|DM|(|OC|OM|)(|OD|OM|)，且且|OC|OD|，所以所以|AM|2|OC|2|OM|2，故故|AB|24|CD|24|OM|2，即即|

15、AB|2|CD|24|OM|2，則則8 m21 2 m22 24 m24 m2244 m22 2m2 m22 2，解得解得 m22，故故 m 2.所以直線所以直線 l 的方程為的方程為 x 2y10 或或 x 2y10.關鍵點撥關鍵點撥本題本題(2)的核心在于轉化的核心在于轉化|AM|2|CM|DM|中弦長的關系中弦長的關系由由|CM|OC|OM|，|DM|OD|OM|，又，又|OC|OD|，得得|AM|2|OC|2|OM|2.又又|AM|12|AB|，|OC|12|CD|，因此因此|AB|2|CD|24|OM|2，轉化為弦長轉化為弦長|AB|，|CD|和和|OM|三者之間的數(shù)量關系，易計算三

16、者之間的數(shù)量關系，易計算面積條件的轉化面積條件的轉化典例典例設橢圓的中心在坐標原點設橢圓的中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點是它的兩個頂點，直線直線 ykx(k0)與與橢圓交于橢圓交于 E，F(xiàn) 兩點，求四邊形兩點，求四邊形 AEBF 的面積的最大值的面積的最大值解題觀摩解題觀摩法一法一：如圖所示如圖所示，依題意得橢圓的方程為依題意得橢圓的方程為x24y21，直線直線 AB，EF 的方程分別為的方程分別為 x2y2，ykx(k0)設點設點 E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中，其中 x1x2，且且 x1，x2滿足方程滿足方程(14k2)x24，故故 x2x1214k

17、2.根據(jù)點到直線的距離公式和根據(jù)點到直線的距離公式和，得點，得點 E，F(xiàn) 到直線到直線 AB 的距離分別為的距離分別為h1|x12kx12|52 12k 14k2 5 14k2 ，h2|x22kx22|52 12k 14k2 5 14k2 .又又|AB| 2212 5，所以四邊形所以四邊形 AEBF 的面積為的面積為S12|AB|(h1h2)12 54 12k 5 14k2 2 12k 14k2214k24k14k2214k14k22141k4k2 2，當且僅當，當且僅當1k4k，即，即 k12時取等號時取等號因此四邊形因此四邊形 AEBF 的面積的最大值為的面積的最大值為 2 2.法二：法二

18、：依題意得橢圓的方程為依題意得橢圓的方程為x24y21.直線直線 EF 的方程為的方程為 ykx(k0)設點設點 E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中，其中 x1x2.聯(lián)立聯(lián)立ykx，x24y21消去消去 y，得，得(14k2)x24.故故 x1214k2，x2214k2，|EF| 1k2|x1x2|4 1k214k2.根據(jù)點到直線的距離公式根據(jù)點到直線的距離公式，得點得點 A，B 到直線到直線 EF 的距離分別為的距離分別為 d1|2k|1k22k1k2，d211k2.因此四邊形因此四邊形 AEBF 的面積為的面積為S12|EF|(d1d2)124 1k214k212k1k22 12

19、k 14k224k24k114k2214k14k22141k4k2 2，當且僅當，當且僅當1k4k，即，即 k12時取等號時取等號因此四邊形因此四邊形 AEBF 的面積的最大值為的面積的最大值為 2 2.關鍵點撥關鍵點撥如果利用常規(guī)方法理解為如果利用常規(guī)方法理解為 S四邊形四邊形AEBFSAEFSBEF12|EF|(d1d2)(其中其中 d1，d2分別表示分別表示點點 A，B 到直線到直線 EF 的距離的距離)，則需要通過聯(lián)立直線與橢圓的方程，先由根與系數(shù)的關系求，則需要通過聯(lián)立直線與橢圓的方程，先由根與系數(shù)的關系求出出EF 的弦長的弦長，再表示出兩個點線距再表示出兩個點線距，其過程很復雜其過

20、程很復雜而通過分析而通過分析，若把四邊形若把四邊形 AEBF 的面積拆的面積拆成兩個小三角形成兩個小三角形ABE 和和ABF 的面積之和，則更為簡單因為直線的面積之和，則更為簡單因為直線 AB 的方程及其長的方程及其長度易求出，故只需表示出點度易求出，故只需表示出點 E 與點與點 F 到直線到直線 AB 的距離即可的距離即可總結規(guī)律總結規(guī)律快速轉化快速轉化做數(shù)學，就是要學會翻譯，把文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言相互轉換，我做數(shù)學，就是要學會翻譯，把文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言相互轉換，我們要學會對解析幾何問題中涉及的所有對象逐個理解、表示、整理，在理解題意的同時，牢們要學會對

21、解析幾何問題中涉及的所有對象逐個理解、表示、整理，在理解題意的同時，牢記解析幾何的核心方法是記解析幾何的核心方法是“用代數(shù)方法研究幾何問題用代數(shù)方法研究幾何問題”，核心思想是，核心思想是“數(shù)形結合數(shù)形結合”，牢固樹，牢固樹立立“轉化轉化”意識，那么就能順利破解解析幾何的有關問題意識，那么就能順利破解解析幾何的有關問題附幾種幾何條件的轉化，以供參附幾種幾何條件的轉化，以供參考考1平行四邊形條件的轉化平行四邊形條件的轉化幾何性質幾何性質代數(shù)實現(xiàn)代數(shù)實現(xiàn)(1)對邊平行對邊平行斜率相等，或向量平行斜率相等，或向量平行(2)對邊相等對邊相等長度相等，橫長度相等，橫(縱縱)坐標差相等坐標差相等(3)對角線

22、互相平分對角線互相平分中點重合中點重合2直角三角形條件的轉化直角三角形條件的轉化幾何性質幾何性質代數(shù)實現(xiàn)代數(shù)實現(xiàn)(1)兩邊垂直兩邊垂直斜率乘積為斜率乘積為1，或向量數(shù)量積為，或向量數(shù)量積為 0(2)勾股定理勾股定理兩點的距離公式兩點的距離公式(3)斜邊中線性質斜邊中線性質(中線等于斜邊一半中線等于斜邊一半)兩點的距離公式兩點的距離公式3等腰三角形條件的轉化等腰三角形條件的轉化幾何性質幾何性質代數(shù)實現(xiàn)代數(shù)實現(xiàn)(1)兩邊相等兩邊相等兩點的距離公式兩點的距離公式(2)兩角相等兩角相等底邊水平或豎直時，兩腰斜率相反底邊水平或豎直時，兩腰斜率相反(3)三線合一三線合一(垂直且平分垂直且平分)垂直：斜率或

23、向量垂直：斜率或向量平分：中點坐標公式平分：中點坐標公式4菱形條件的轉化菱形條件的轉化幾何性質幾何性質代數(shù)實現(xiàn)代數(shù)實現(xiàn)(1)對邊平行對邊平行斜率相等，或向量平行斜率相等，或向量平行(2)對邊相等對邊相等長度相等，橫長度相等，橫(縱縱)坐標差相等坐標差相等(3)對角線互相垂直平分對角線互相垂直平分垂直：斜率或向量垂直：斜率或向量平分：中點坐標公式、中點重合平分：中點坐標公式、中點重合5圓條件的轉化圓條件的轉化幾何性質幾何性質代數(shù)實現(xiàn)代數(shù)實現(xiàn)(1)點在圓上點在圓上點與直徑端點向量數(shù)量積為零點與直徑端點向量數(shù)量積為零(2)點在圓外點在圓外點與直徑端點向量數(shù)量積為正數(shù)點與直徑端點向量數(shù)量積為正數(shù)(3)點在圓內(nèi)點在圓內(nèi)點與直徑端點向量數(shù)量積為負數(shù)點與直徑端點向量數(shù)量積為負數(shù)6角條件的轉化角條件的轉化幾何性質幾何性質代數(shù)實現(xiàn)代數(shù)實現(xiàn)(1)銳角，直角，鈍角銳角，直角，鈍角角的余弦角的余弦(向量數(shù)量積向量數(shù)量積)的符號的符號(2)倍角，半角，平分角倍角，半角，平分角角平分線性質，定理角平分線性質，定理(夾角、到角公式夾角、到角公式)(3)等角等角(相等或相似相等或相似)比例線段或斜率比例線段或斜率