三年高考(2014-2016)數(shù)學(xué)(理)真題分項(xiàng)版解析—— 專題11 排列組合、二項(xiàng)式定理
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1、 三年高考(2014-2016)數(shù)學(xué)(理)試題分項(xiàng)版解析 第十一章 排列、組合、二項(xiàng)式定理 一、選擇題 1. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)9 【答案】B 【解析】 試題分析:由題意,小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有條路,再從F處到G處最短共有條路,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為條,故選B. 考點(diǎn):
2、 計(jì)數(shù)原理、組合. 【名師點(diǎn)睛】分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情,類與類之間是獨(dú)立的. 分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分,而未完成這件事,步步之間是相關(guān)聯(lián)的. 2. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位,則的展開式中含x4的項(xiàng)為 (A)-15x4 (B)15x4 (C)-20i x4 (D)20i x4 【答案】A 考點(diǎn):二項(xiàng)展開式,復(fù)數(shù)的運(yùn)算. 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn),幾乎是每年必考內(nèi)容,屬于容易題.一般來說,掌握復(fù)數(shù)的基本概念及
3、四則運(yùn)算即可.二項(xiàng)式的展開式可以改為,則其通項(xiàng)為,即含的項(xiàng)為. 3. 【2014高考廣東卷.理.8】設(shè)集合,那么集合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考點(diǎn)定位】本題考查分類計(jì)數(shù)原理,屬于拔高題 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是分類計(jì)數(shù)原理,屬于難題.解題時(shí)一定要注意選出的元素是否與順序有關(guān),否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí),關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步,分類時(shí)要做到不重不漏,防止出現(xiàn)錯(cuò)誤. 4. 【 201
4、4湖南4】的展開式中的系數(shù)是( ) A. B. C.5 D.20 【答案】A 【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得第項(xiàng)展開式為,則時(shí), ,所以的系數(shù)為,故選A. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查的是二項(xiàng)式定理,屬于容易題,解本題需要掌握的知識點(diǎn)是二項(xiàng)式定理,即二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)是,然后令n選取恰當(dāng)?shù)闹档玫浇Y(jié)果. 5. 【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 (A)24 ?。˙)48 (C)60 ?。―)72 【答案】D 【解析】 試題分析:
5、由題意,要組成沒有重復(fù)的五位奇數(shù),則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1、3、5中之一,其他位置共有隨便排共種可能,所以其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為,故選D. 考點(diǎn):排列、組合 【名師點(diǎn)睛】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí),關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步,分類時(shí)要注意不重不漏,分步時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟.在本題中,個(gè)位是特殊位置,第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置,第二步再安排其他四個(gè)位置.. 6. 【2015高考陜西,理4】二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15,則( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理
6、. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是二項(xiàng)式定理,屬于容易題.解題時(shí)一定要抓住重要條件“”,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解本題需要掌握的知識點(diǎn)是二項(xiàng)式定理,即二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)是. 7. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下:共有項(xiàng),其中項(xiàng)為0,項(xiàng) 為1,且對任意,中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共 有( ) (A)18個(gè) (B)16個(gè) (C)14個(gè) (D)12個(gè) 【答案】C 【解析】 試題分析:由題意,得必有,,則具體的排法列表如下: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1
7、 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 考點(diǎn):計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用. 【方法點(diǎn)撥】求解計(jì)數(shù)問題時(shí),如果遇到情況較為復(fù)雜,即分類較多,標(biāo)準(zhǔn)也較多,同時(shí)所求計(jì)數(shù)的結(jié)果不太大時(shí),往往利用表格法、樹枝法將其所有可能一一列舉出來,常常會達(dá)到岀奇制勝的效果. 8. 【2014四川,理2】在的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析:,所以含項(xiàng)的系數(shù)為15.選C 【考點(diǎn)定位
8、】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】常規(guī)問題直接利用二項(xiàng)式定理求解,其中通項(xiàng)是核心,運(yùn)算是保證;比較復(fù)雜的問題要回到最本質(zhì)的計(jì)數(shù)原理去解決,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及冪的運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤,或者不能從最本質(zhì)的計(jì)數(shù)原理出發(fā)解決問題,盲目套用公式都是考試中常犯的錯(cuò)誤. 10. 【2014四川,理6】六個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( ) A.種 B.種 C.種 D.種 【答案】B 【解析】 試題分析:最左端排甲,有種排法;最左端排乙,有種排法,共有種排法.選B. 【考點(diǎn)定位】排列組合. 【名師點(diǎn)睛】涉及排列與組合問題,區(qū)分的
9、關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),排列問題與順序有關(guān),組合問題與順序無關(guān).“含”與“不含”的問題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.通常用直接法分類復(fù)雜時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理. 11. 【2015高考四川,理6】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有( ) (A)144個(gè) (B)120個(gè) (C)96個(gè) (D)72個(gè) 【答案】B 【考點(diǎn)定位】排列組合. 【名師點(diǎn)睛】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí),關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步,分類時(shí)要注意
10、不重不漏.在本題中,萬位與個(gè)位是兩個(gè)特殊位置,應(yīng)根據(jù)這兩個(gè)位置的限制條件來進(jìn)行分類. 12.【2015高考新課標(biāo)1,理10】的展開式中,的系數(shù)為( ) (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 【答案】C 【解析】在的5個(gè)因式中,2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取,其余因式取y,故的系數(shù)為=30,故選 C. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查利用排列組合知識計(jì)算二項(xiàng)式展開式某一項(xiàng)的系數(shù). 【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù),試題形式新穎,是中檔題,求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)問題,先分析該項(xiàng)的構(gòu)成,結(jié)合所給多項(xiàng)式,分析如
11、何得到該項(xiàng),再利用排列組知識求解. 14. 【2014年.浙江卷.理5】在的展開式中,記項(xiàng)的系數(shù)為,則 ( ) A.45 B.60 C.120 D. 210 答案:C 解析:由題意可得,故選C 考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,求展開式中某項(xiàng)的系數(shù),屬于中檔題.求二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)的方法:求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注
12、意k的取值范圍(k=0,1,2,…,n).(1)第m項(xiàng):此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng);(2)常數(shù)項(xiàng):即這項(xiàng)中不含“變元”,令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程;(3)有理項(xiàng):令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解. 15.【2014高考重慶理第9題】某次聯(lián)歡會要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( ) A.72 B.120 C.144 D.168 【答案】B
13、 考點(diǎn):1、分類加法計(jì)數(shù)原理;2、排列. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了綜合應(yīng)用排列與組合知識解決實(shí)際的計(jì)數(shù)問題,屬于中檔題目,根據(jù)條件將分類,然后用分類計(jì)數(shù)原獲得結(jié)果. 16. 【2014湖北卷2】若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)( ) A.2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 試題分析:因?yàn)椋?,得? 所以,解得,故選C. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,容易題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用,其解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知建立方程關(guān)系,屬容易題.充分體現(xiàn)了方程思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,能較
14、好的考查學(xué)生對教材中的基本概念、基本規(guī)律和基本操作的識記能力和運(yùn)算能力. 17. 【2015高考湖北,理3】已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和. 【名師點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理中應(yīng)注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與展開式系數(shù),各二項(xiàng)式系數(shù)和:,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等. 18. 【201
15、4遼寧理6】把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的做法種數(shù)為( ) A.144 B.120 C.72 D.24 【答案】C 考點(diǎn):排列組合. 【名師點(diǎn)睛】本題考查簡單排列組合應(yīng)用問題.從近幾年高考對這部分內(nèi)容的考查看,基本是排列與組合相結(jié)合,多可以結(jié)合圖表分析解題途徑.本題首先將座位編號,分析任何兩人都不相鄰的情況,再安排人員就坐,現(xiàn)實(shí)背景熟悉,分析形象直觀,易于理解. 本題是一道基礎(chǔ)題,考查排列組合基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查考生的計(jì)算能力及分析問題解決問題的能力. 19. 【2015湖南理2】已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30,則( ) A.
16、 B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】 試題分析:,令,可得,故選D. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用,屬于容易題,只要掌握的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)第項(xiàng)為,即可建立關(guān)于的方程,從而求解. 二、填空題 1. 【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中,的系數(shù)為__________________.(用數(shù)字作答) 【答案】60. 【解析】 試題分析:根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知,的系數(shù)為,故填:. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】1.所謂二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng),是指展開式中的某一項(xiàng),如第項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、字母指數(shù)
17、為某些特殊值的項(xiàng).求解時(shí),先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng),再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號),根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征,列出方程或不等式來求解即可;2、求有理項(xiàng)時(shí)要注意運(yùn)用整除的性質(zhì),同時(shí)應(yīng)注意結(jié)合的范圍分析. 2. 【2016高考新課標(biāo)1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案) 【答案】 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 3. 【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 試題分析:展開式通項(xiàng)為,令,,所以的.故答案為. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】1.求特定項(xiàng)系數(shù)問題可以分兩步完成:第一步是根據(jù)所給出
18、的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng). 2.有理項(xiàng)是字母指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).解此類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其為整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解. 4. 【2016高考山東理數(shù)】若(ax2+)5的展開式中x5的系數(shù)是—80,則實(shí)數(shù)a=_______. 【答案】-2 【解析】 試題分析:因?yàn)?,所以由,因? 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】本題是二項(xiàng)式定理問題中的常見題型,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,往往是考試的重點(diǎn).本題難度不大,易于得分.能較好
19、的考查考生的基本運(yùn)算能力等. 5. 【2015高考天津,理12】在 的展開式中,的系數(shù)為 . 【答案】 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用.應(yīng)用二項(xiàng)式定理典型式的通項(xiàng),求出當(dāng)時(shí)的系數(shù),即可求得結(jié)果,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的方程思想與運(yùn)算能力相結(jié)合的問題. 6. 【2013高考北京理第12題】將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是__________. 【答案】96 【解析】 試題分析:連號有4種情況,從4人中挑一人得到連號參
20、觀券,其余可以全排列,則不同的分法有4×=96(種). 考點(diǎn):排列組合. 名師點(diǎn)睛:本題考查排列、組合及計(jì)數(shù)原理有關(guān)問題,本題屬于中等難度問題,高考每年都會考查這個(gè)問題,題目或簡或難,由于命題可以很靈活,可以考查簡單的計(jì)數(shù),也可以考查具體的排列組合基本方法如:相鄰問題捆綁法、不鄰插空法、分排問題直排法、有序問題用除法、隔板法等,本題為先選后排問題,從4人中挑一人得到連號參觀券,其余可以全排列,而得連號有四種可能情況發(fā)生,解決這樣的問題需要學(xué)生不但要有扎實(shí)的基本功,還要有分析問題和解決問題的能力. 7. 【2014高考北京理第13題】把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰, 且產(chǎn)品與產(chǎn)品
21、不相鄰,則不同的擺法有 種. 【答案】36 考點(diǎn):排列組合,容易題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查排列、組合及計(jì)數(shù)原理有關(guān)問題,本題屬于中等難度問題,高考每年都會考查這個(gè)問題,題目或簡或難,由于命題可以很靈活,可以考查簡單的計(jì)數(shù),也可以考查具體的排列組合基本方法如:相鄰問題捆綁法、不鄰插空法、分排問題直排法、有序問題用除法、隔板法等,需要學(xué)生不但要有扎實(shí)的基本功,還要有分析問題和解決問題的能力. 8. 【2015高考北京,理9】在的展開式中,的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答) 【答案】40 【解析】利用通項(xiàng)公式,,令,得出的系數(shù)為 【考點(diǎn)定位】本題考點(diǎn)為二項(xiàng)式定理,利用
22、通項(xiàng)公式,求指定項(xiàng)的系數(shù). 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,利用通項(xiàng)公式求出指定項(xiàng)的系數(shù),本題屬于基礎(chǔ)題,要求正確使用通項(xiàng)公式,準(zhǔn)確計(jì)算指定項(xiàng)的系數(shù). 9. 【2014高考廣東卷.理.11】從.........中任取七個(gè)不同的數(shù),則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是的概率為 . 【答案】. 【解析】上述十個(gè)數(shù)中比小的數(shù)有個(gè),比大的數(shù)有個(gè),要使得所選的七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為,則應(yīng)該在比大的數(shù)中選擇個(gè),在比大的數(shù)中也選擇個(gè),因此所求事件的概率為. 【考點(diǎn)定位】本題考查排列組合與古典概型的概率計(jì)算,屬于能力題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是排列組合和古典概型,屬于中等題.解題時(shí)要抓住重要字眼“中位
23、數(shù)是”,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.用排列組合列舉基本事件一定要做到不重不漏,防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.解本題需要掌握的知識點(diǎn)是古典概型概率公式,即. 10. 【2015高考廣東,理9】在的展開式中,的系數(shù)為 . 【答案】. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理和運(yùn)算求解能力,屬于容易題,解答此題關(guān)鍵在于熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即展開式的第項(xiàng)為:. 11. 【2015高考廣東,理12】某高三畢業(yè)班有人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了 條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答) 【答案】. 【解析】依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從人中
24、任選兩人的排列數(shù),所以全班共寫了條畢業(yè)留言,故應(yīng)填入. 【考點(diǎn)定位】排列問題. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查排列問題,屬于中檔題,解答此題關(guān)鍵在于認(rèn)清人兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言是個(gè)排列問題. 12.【2014山東.理14】 若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20,則的最小值 . 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)公式、基本不等式.從近幾年高考對二項(xiàng)式定理的考查看,基本是以通項(xiàng)公式為解題的突破口,本題對有理指數(shù)冪的運(yùn)算要求較高,容易出現(xiàn)計(jì)算不準(zhǔn)而使解答陷入誤區(qū). 本題是一道小綜合題,重點(diǎn)考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查考生的計(jì)算能力及分析問題
25、解決問題的能力. 13.【2014新課標(biāo),理13】 的展開式中,的系數(shù)為15,則a=________.(用數(shù)字填寫答案) 【答案】 【解析】因?yàn)?,所以令,解得,所?15,解得. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題,利用通項(xiàng)公式寫出特定項(xiàng)的系數(shù),是二項(xiàng)式題目的最常見題目. 14.【2015高考新課標(biāo)2,理15】的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則__________. 【答案】 【解析】由已知得,故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,
26、準(zhǔn)確寫出二項(xiàng)展開式,能正確求出奇數(shù)次冪項(xiàng)以及相應(yīng)的系數(shù)和,從而列方程求參數(shù)值,屬于中檔題. 15. 【2015高考四川,理11】在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是 (用數(shù)字作答). 【答案】. 【解析】 ,所以的系數(shù)為. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】涉及二項(xiàng)式定理的題,一般利用其通項(xiàng)公式求解. 16. 【2016高考上海理數(shù)】在的二項(xiàng)式中,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則常數(shù)項(xiàng)等于_________. 【答案】 【解析】 試題分析: 因?yàn)槎?xiàng)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)之和為,所以,所以, 二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,所以. 考點(diǎn):1.二項(xiàng)式定理;2.二項(xiàng)展
27、開式的系數(shù). 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng),確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng),是二項(xiàng)式定理問題中的基本問題,往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計(jì)算能力等. 17. 【2014課標(biāo)Ⅰ,理13】的展開式中的系數(shù)為________.(用數(shù)字填寫答案) 【答案】 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查考生的記憶能力和計(jì)算能力. 18. 【2014年.浙江卷.理14】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張,其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個(gè)人,每人2張,不同的獲獎情況有_____種
28、(用數(shù)字作答). 答案: 解析:不同的獲獎分兩種,一是有一人獲兩張將卷,一人獲一張,共有,二是有三人各獲得一張,共有,因此不同的獲獎情況有種 考點(diǎn):排列組合. 【名師點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,關(guān)鍵在于明確事件之間的關(guān)系,同時(shí)要掌握分類討論的處理方法;解決排列問題的主要方法(1)“在”與“不在”的有限制條件的排列問題,既可以從元素入手,也可以從位置入手,原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮,都要貫徹到底,不能既考慮元素又考慮位置.(2)解決相鄰問題的方法是“捆綁法”,即把相鄰元素看做一個(gè)整體和其他元素一起排列,同時(shí)要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.(3)解決不相鄰問題的方
29、法是“插空法”,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.(4)對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.(5)若某些問題從正面考慮比較復(fù)雜,可從其反面入手,即采用“間接法”.兩類組合問題的解法(1)“含”與“不含”的問題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”、“最多”的問題:解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解.通常用直接法分類復(fù)雜時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理. 19. 【2015高考重慶,理1
30、2】的展開式中的系數(shù)是________(用數(shù)字作答). 【答案】 【解析】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為,令,解得,因此的系數(shù)為. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)晴】的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者只是指,它僅是與二項(xiàng)式的冪的指數(shù)n及項(xiàng)數(shù)有關(guān)的組合數(shù),而與a,b的值無關(guān);而后者是指該項(xiàng)除字母外的部分,即各項(xiàng)的系數(shù)不僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān),而且也與a,b的系數(shù)有關(guān).在求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)時(shí)要充分注意這個(gè)區(qū)別. 20. 【2014,安徽理13】設(shè)是大于1的自然數(shù),的展開式為.若點(diǎn)的位置如圖所示,則. 【答案】 考點(diǎn):1.二項(xiàng)展開式的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】二項(xiàng)式常規(guī)
31、問題直接利用二項(xiàng)式定理求解,其中通項(xiàng)是核心,運(yùn)算是保證;比較復(fù)雜的問題要回到最本質(zhì)的計(jì)數(shù)原理去解決,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及冪的運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤,或者不能從最本質(zhì)的計(jì)數(shù)原理出發(fā)解決問題,盲目套用公式都是考試中常犯的錯(cuò)誤.本題要結(jié)合圖形給定的條件與二項(xiàng)式展開中各項(xiàng)的表示. 21.【2015高考安徽,理11】的展開式中的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案) 【答案】 【解析】由題意,二項(xiàng)式展開的通項(xiàng),令,得,則的系數(shù)是. 【考點(diǎn)定位】1.二項(xiàng)式定理的展開式應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】常規(guī)問題直接利用二項(xiàng)式定理求解,其中通項(xiàng)是核心,運(yùn)算是保證;比較復(fù)雜的問題要回到最本質(zhì)的計(jì)數(shù)原理去
32、解決,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及冪的運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤,或者不能從最本質(zhì)的計(jì)數(shù)原理出發(fā)解決問題,盲目套用公式都是考試中常犯的錯(cuò)誤. 22.【2015高考福建,理11】 的展開式中,的系數(shù)等于 .(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 的展開式中項(xiàng)為,所以的系數(shù)等于. 【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的特定項(xiàng)問題,往往是根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和所求項(xiàng)的聯(lián)系解題,屬于基礎(chǔ)題,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確度. 23.【2016高考江蘇卷】(本小題滿分10分) (1)求 的值; (2)設(shè)m,nN*,n≥m,求證: (m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1). 【答案】(1)0(2)詳見解析 試題解析:解:(1) (2)當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立,當(dāng)時(shí) 又因?yàn)? 所以 因此 考點(diǎn):組合數(shù)及其性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題從性質(zhì)上考查組合數(shù)性質(zhì),從方法上考查利用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)命題,從思想上考查運(yùn)用算兩次解決二項(xiàng)式有關(guān)模型. 組合數(shù)性質(zhì)不僅有課本上介紹的、,更有,現(xiàn)在又有,這些性質(zhì)不需記憶,但需會推導(dǎo),更需會應(yīng)用.
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