2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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2.3 　二維形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義． 2．通過(guò)運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 一、自學(xué)釋疑 根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。 二、合作探究 探究1．在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號(hào)的條件可以寫(xiě)成＝嗎？ 探究2．用柯西不等式求最值時(shí)的關(guān)鍵是什么？ 名師點(diǎn)撥： 1.二維形式的柯西不等式 (1)定理1：不等式中等號(hào)成立的條件是ad＝bc.這時(shí)我們稱(a，b)，(c，d)成比例．如果c≠0，d≠0，那么ad＝bc?＝，若cd＝0，我們分情況說(shuō)明：①c＝d＝0，原不等式兩邊都為0，顯然成立；②當(dāng)c＝0，d≠0時(shí)，原不等式化為(a2＋b2)d2≥b2d2，是顯然成立的；③當(dāng)c≠0，d＝0時(shí)，道理和②一樣，也是成立的．所以當(dāng)cd＝0時(shí)，不等式也成立． (2)由二維形式的柯西不等式推導(dǎo)出兩個(gè)非常有用的不等式： 對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b，c，d，以下不等式成立： ≥|ac＋bd|； ≥|ac|＋|bd|. 2．對(duì)二維柯西不等式的認(rèn)識(shí) 二維柯西不等式與中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何、三角等各方面都有聯(lián)系，熟悉這些聯(lián)系能更本質(zhì)的把握不等式，并更自覺(jué)地應(yīng)用它． (1)由代數(shù)恒等式(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，把非負(fù)數(shù)(ad－bc)2舍去，易得不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (2)如圖，平面內(nèi)點(diǎn)B(c，d)到直線ax＋by＝0的距離BH不大于線段OB的長(zhǎng)，因此有 ≤.即(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (3)如圖所示，構(gòu)造△AOB，點(diǎn)A(a，b)，B(c，d)，在△AOB中應(yīng)用余弦定理可得， cos∠AOB＝ ＝ ＝ . ∵|cos∠AOB|≤1， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 3．巧用柯西不等式求最值 應(yīng)用柯西不等式可以簡(jiǎn)便解答某些含有約束條件的多元變量的最值問(wèn)題．解答此類題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)或兩個(gè)向量，使之符合柯西不等式的形式． 【例1】　求證： ＋≥. 【變式訓(xùn)練1】　已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)， 求證：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 【例2】　設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝2，求＋的最小值． 【變式訓(xùn)練2】　求函數(shù)y＝3＋的最大值． 【例3】　已知x>0，y>0，且a＋b＝1， 求證：(ax＋by)2≤ax2＋by2. 【變式訓(xùn)練3】　設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝1，求證：＋≤. 　 　 參考答案 探究1．提示　不可以．當(dāng)bd＝0時(shí)，柯西不等式成立，但＝不成立． 探究2 提示　利用柯西不等式求最值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋求不等式等號(hào)成立的條件. 【例1】【證明】　∵(＋)2 ＝(x＋x)＋(y＋y)＋2， 由柯西不等式，得(x＋x)(y＋y)≥(x1y2＋x2y1)2，其中當(dāng)且僅當(dāng)x1y2＝x2y1時(shí)，等號(hào)成立． ∴≥x1y1＋x2y2. ∴(＋)2≥(x＋x)＋(y＋y)＋2(x1y1＋x2y2)＝(x1＋y1)2＋(x2＋y2)2. ∴＋≥. 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1y2＝x2y1時(shí)成立． 【變式訓(xùn)練1】證明　(a1b1＋a2b2) ＝ ≥2 ＝(a1＋a2)2. 【例2】【解】　∵x＋y＝2，根據(jù)柯西不等式，有 [(2－x)＋(2－y)] ＝[()2＋()2] ≥ 2 ＝(x＋y)2＝4， ∴＋≥ ＝＝＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立． ∴當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，＋有最小值2. 【變式訓(xùn)練2】解　由題可知函數(shù)的定義域滿足即x∈[1,5]，令α＝(3，)，β＝(，)． 而y＝3＋ ＝3＋ ＝|αβ|≤|α||β| ＝ ＝＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)3＝， 即x＝時(shí)，取等號(hào)． 所以y的最大值為2. 【例3】證明　設(shè)m＝(x，y)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|mn|≤|m||n| ＝ ＝＝， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2. 【變式訓(xùn)練3】證明　令α＝，β＝(，1)，則 |αβ|＝＋. 而|α|＝ ＝ ， 又|β|＝， ∴|α||β|＝. 由|αβ|≤|α||β|，得 ＋≤.