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6個解答題綜合仿真練(六)
1.如圖，在四棱錐EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EA⊥EB，點M，N分別是AE，CD的中點．
求證：(1)MN∥平面EBC；
(2)EA⊥平面EBC.
證明：(1)取BE中點F，連結CF，MF，
又M是AE的中點，
所以MF綊AB.
又N是矩形ABCD邊CD的中點，
所以NC綊AB，所以MF綊NC，
所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MN∥CF.
又MN?平面EBC，CF?平面EBC，
所以MN∥平面EBC.
(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB.
又EA?平面EAB，所以BC⊥EA.
又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB?平面EBC，BC?平面EBC，所以EA⊥平面EBC.
2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α，β的頂點為坐標原點O，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O的交點分別為P，Q.已知點P的橫坐標為，點Q的縱坐標為.
(1)求cos 2α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)因為點P的橫坐標為，點P在單位圓上，α為銳角，
所以cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
(2)因為點Q的縱坐標為，點Q在單位圓上，
所以sin β＝.
又β為銳角，所以cos β＝.
因為cos α＝，且α為銳角，
所以sin α＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝－＝.
因為α為銳角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β為銳角，所以－<2α－β<，所以2α－β＝.
3．某單位決定對本單位職工實行年醫(yī)療費用報銷制度，擬制定年醫(yī)療總費用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報銷方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①報銷的醫(yī)療費用y(萬元)隨醫(yī)療總費用x(萬元)增加而增加；②報銷的醫(yī)療費用不得低于醫(yī)療總費用的50%；③報銷的醫(yī)療費用不得超過8萬元．
(1)請你分析該單位能否采用函數(shù)模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作為報銷方案；
(2)若該單位決定采用函數(shù)模型y＝x－2ln x＋a(a為常數(shù))作為報銷方案，請你確定整數(shù)a的值．(參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)
解：(1)y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2,10]上是增函數(shù)，滿足條件①；
當x＝10時，y有最大值7.4，小于8，滿足條件③；
但當x＝3時，y＝<，即y≥不恒成立，不滿足條件②，
故該函數(shù)模型不符合該單位報銷方案．
(2)對于函數(shù)模型y＝x－2ln x＋a，設f(x)＝x－2ln x＋a，則f′(x)＝1－＝≥0.
所以f(x)在[2,10]上是增函數(shù)，滿足條件①.
由條件②得x－2ln x＋a≥，
即a≥2ln x－在x∈[2,10]上恒成立．
令g(x)＝2ln x－，則g′(x)＝－＝，
由g′(x)>0，得2≤x<4；由g′(x)<0，得4
b>0)的左頂點A(－2,0)，且點在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點．過點A作斜率為k(k>0)的直線交橢圓E于另一點B，直線BF2交橢圓E于點C.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)若△CF1F2為等腰三角形，求點B的坐標；
(3)若F1C⊥AB，求k的值．
解：(1)由題意得解得
∴橢圓E的標準方程為＋＝1.
(2)∵△CF1F2為等腰三角形，且k>0，
∴點C在x軸下方，
若F1C＝F2C，則C(0，－)；
若F1F2＝CF2，則CF2＝2，∴C(0，－)；
若F1C＝F1F2，則CF1＝2，∴C(0，－)，
∴C(0，－)．
∴直線BC的方程y＝(x－1)，
由得或
∴B.
(3)設直線AB的方程為y＝k(x＋2)，
由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，
∴xAxB＝－2xB＝，
∴xB＝，
∴yB＝k(xB＋2)＝，
∴B.
若k＝，則B，∴C，
∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－，
∴F1C與AB不垂直；∴k≠，
∵F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－，
∴直線BF2的方程為y＝(x－1)，
直線CF1的方程為y＝－(x＋1)，
由解得
∴C(8k2－1，－8k)．
由點C在橢圓上，得＋＝1，
即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝，
∵k>0，∴k＝.
5．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝4－an.
(1)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求通項公式an；
(2)是否存在自然數(shù)c和k，使得＞1成立？若存在，請求出c和k的值； 若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：當n＝1時，S1＋a1＝4，得a1＝2,
由Sn＝4－an，①
得Sn＋1＝4－an＋1，②
②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝an,
所以＝，且a1＝2，
所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，且an＝.
(2)法一：因為an＝，
所以ak＋1＝，Sk＝4，
要使＝>1成立，只要使<0(*)成立，
當c≥4時，不等式(*)不成立；
(也可以根據(jù)Sk＝4>c，且2≤Sk＜4，所以c的可能取值為0,1,2,3)
當c＝0時，1<2k<，不存在自然數(shù)k使(*)成立；
當c＝1時，<2k<2，不存在自然數(shù)k使(*)成立；
當c＝2時，2<2k<3，不存在自然數(shù)k使(*)成立；
當c＝3時，4<2k<6，不存在自然數(shù)k使(*)成立．
綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立.
法二：要使＞1，只要>2，
即只要<0，
因為Sk＝4<4，
所以Sk－＝2－Sk>0，
故只要Sk－2＜c＜Sk.①
因為Sk＋1＞Sk，
所以Sk－2≥S1－2＝1.
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.
當c＝2時，因為S1＝2，所以當k＝1時，c＜Sk不成立，從而①不成立．
當k≥2時，因為S2－2＝>c，
由Sk＜Sk＋1，得Sk－2＜Sk＋1－2，
故當k≥2時，Sk－2＞c，從而①不成立.
當c＝3時，因為S1＝2，S2＝3，
所以當k＝1，k＝2時，c＜Sk不成立，從而①不成立．
因為S3－2＝>c，又Sk－2＜Sk＋1－2，
所以當k≥3時，Sk－2＞c，從而①不成立.
綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立．
6．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1，g(x)＝a2x2＋bx＋1.
(1)若f(x)≥g(x)對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同零點x1，x2，函數(shù)g(x)有兩個不同零點x3，x4.
①若x3＜x1＜x4，試比較x2，x3，x4的大小關系；
②若x1＝x3＜x2，m，n，p∈(－∞，x1)，＝＝，求證：m＝n＝p.
解：(1)因為f(x)≥g(x)對任意實數(shù)x恒成立，
所以ax2≥a2x2對任意實數(shù)x恒成立，
所以a2－a≤0，解得0≤a≤1.
又由題意可得a≠0，所以實數(shù)a的取值范圍為(0,1]．
(2)①因為函數(shù)g(x)的圖象開口向上，且其零點為x3，x4，
故g(x)＜0，得x3
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