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課時(shí)分層作業(yè)(八) 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例
(建議用時(shí)：40分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1．某工廠(chǎng)要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為(單位：米)( )
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
A [要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長(zhǎng)最短，設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則長(zhǎng)為米，因此新墻總長(zhǎng)L＝2x＋(x>0)，則L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此時(shí)長(zhǎng)為＝32(米)，可使L最短．]
2．將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使兩個(gè)非負(fù)數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為
( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不對(duì)
B [設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；當(dāng)4
0.所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最?。甝
3．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線(xiàn)長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高為
( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062075】
A． cm B． cm
C． cm D． cm
D [設(shè)圓錐的高為x cm，則底面半徑為 cm.其體積為V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′＞0；當(dāng)＜x＜20時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝時(shí)，V取最大值．]
4．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為( )
A．和R B．R和R
C．R和R D．以上都不對(duì)
B [設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為2，則l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－.令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．當(dāng)0＜x＜R時(shí)，l′＞0；當(dāng)R＜x＜R時(shí)，l′＜0.所以當(dāng)x＝R時(shí)，l取最大值，即周長(zhǎng)最大的矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為R， R．]
5．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營(yíng)業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
D [由題意，得總成本函數(shù)為
C(x)＝20 000＋100x，總利潤(rùn)P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300時(shí)，
總利潤(rùn)P(x)最大．]
二、填空題
6．某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y1＝17x2(x＞0)，生產(chǎn)成本y2(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)________千臺(tái).
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062076】
[解析] 設(shè)利潤(rùn)為y，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝6既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)．
[答案] 6
7．電動(dòng)自行車(chē)的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝x3－x2－40x(x＞0)，為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為_(kāi)_______．
[解析] 由題設(shè)知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函數(shù)y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上遞增，在(0,40]上遞減．∴當(dāng)x＝40時(shí)，y取得最小值．
由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40.
[答案] 40
8．用總長(zhǎng)14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m，那么高為_(kāi)_______時(shí)容器的容積最大．
[解析] 設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m，則另一邊長(zhǎng)為(x＋0.5)m，高為[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.設(shè)容器容積為y，則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定義域(0,1.6)內(nèi)，只有x＝1使y′＝0.由題意，若x過(guò)小(接近于0)或過(guò)大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此當(dāng)x＝1時(shí)，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，這時(shí)高為1.2 m.
[答案] 1.2 m
三、解答題
9．一艘輪船在航行中燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時(shí)10千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)輪船的速度是多少時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和最少？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062077】
[解] 設(shè)速度為每小時(shí)v千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)p元，那么由題設(shè)知p＝kv3，
因?yàn)関＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
又設(shè)船的速度為每小時(shí)v千米時(shí)，行駛1千米所需的總費(fèi)用為q元，那么每小時(shí)所需的總費(fèi)用是(0.006v3＋96)元，而行駛1千米所用時(shí)間為小時(shí)，所以行駛1千米的總費(fèi)用為q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
當(dāng)v＜20時(shí)，q′＜0；
當(dāng)v＞20時(shí)，q′＞0，
所以當(dāng)v＝20時(shí)，q取得最小值．
即當(dāng)速度為20千米/小時(shí)時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和最少．
10．某商店經(jīng)銷(xiāo)一種商品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣(mài)出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門(mén)上交a元(a為常數(shù)，2≤a≤5)的稅收．設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(35≤x≤41)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量與ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))成反比例．已知每件產(chǎn)品的日售價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10件．
(1)求該商店的日利潤(rùn)L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為多少元時(shí)，該商品的日利潤(rùn)L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
[解] (1)設(shè)日銷(xiāo)售量為，則＝10，
∴k＝10e40，則日售量為件．
則日利潤(rùn)L(x)＝(x－30－a)＝10e40；
答：該商店的日利潤(rùn)L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)(x)＝10e40.
(2)L′(x)＝10e40.
①當(dāng)2≤a≤4時(shí)，33≤a＋31≤35，
當(dāng)35＜x＜41時(shí)，L′(x)＜0.
∴當(dāng)x＝35時(shí)，L(x)取最大值為10(5－a)e5；
②當(dāng)4＜a≤5時(shí)，35≤a＋31≤36，
令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知當(dāng)x＝a＋31時(shí)，L(x)取最大值為10e9－a.
綜合上得L(x)max＝.
答：當(dāng)2≤a≤4時(shí)，當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)35元時(shí)，為L(zhǎng)(x)取最大值為10(5－a)e5；當(dāng)4＜a≤5時(shí)，每件產(chǎn)品的日售價(jià)為a＋31元時(shí)，該商品的日利潤(rùn) L(x)最大，最大值為10e9－a.
[能力提升練]
1．如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值，則體積的最大值為( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
A [設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
則V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的極值點(diǎn)．
∴當(dāng)r＝時(shí)，V取得最大值，最大值為3π.]
2．用長(zhǎng)為90 cm，寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成(如圖142)，當(dāng)容器的體積最大時(shí)，該容器的高為( )
圖142
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．12 cm
C [設(shè)容器的高為x cm，容器的體積為V(x)cm3，
則V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4 320x(00，當(dāng)100，
∴當(dāng)v＝20時(shí)，y最?。?
[答案] 20 n mile/h
4．如圖143，內(nèi)接于拋物線(xiàn)y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是__________．
圖143
[解析] 設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為
，
∴矩形ABCD的面積
S＝f(x)＝x＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最大值.
[答案]
5．如圖144所示，有甲、乙兩個(gè)工廠(chǎng)，甲廠(chǎng)位于一直線(xiàn)海岸的岸邊A處，乙廠(chǎng)與甲廠(chǎng)在海的同側(cè)，乙廠(chǎng)位于離海岸40 km的B處，乙廠(chǎng)到海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠(chǎng)要在此岸邊A，D之間合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠(chǎng)和乙廠(chǎng)的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最省？
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062079】
圖144
[解] 設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，
依題意，得y＝3a(50－x)＋5a(0
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