（浙江專(zhuān)用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專(zhuān)題分層練中高檔題得高分 第15練 空間線面關(guān)系的判斷試題.docx

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第15練　空間線面關(guān)系的判斷 [明晰考情]　1.命題角度：空間線面關(guān)系的判斷；空間中的平行、垂直關(guān)系；利用空間的平行、垂直關(guān)系求解空間角.2.題目難度：中檔難度． 考點(diǎn)一　空間線面位置關(guān)系的判斷 方法技巧　(1)判定兩直線異面的方法： ①反證法； ②利用結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線． (2)模型法判斷線面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長(zhǎng)方體、四面體等觀察線面關(guān)系，再結(jié)合定理進(jìn)行判斷． (3)空間圖形中平行與垂直的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，要掌握以下的常用結(jié)論： ①平面圖形的平行關(guān)系：平行線分線段成比例、平行四邊形的對(duì)邊互相平行；②平面圖形中的垂直關(guān)系：等腰三角形的底邊上的中線和高重合、菱形的對(duì)角線互相垂直、圓的直徑所對(duì)圓周角為直角、勾股定理． 1．已知直線a與平面α，β，α∥β，a?α，點(diǎn)B∈β，則在β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線中(　　) A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線 C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線 D．存在唯一一條與a平行的直線 答案　D 解析　在平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)，只能作一條直線與已知直線平行． 2．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α B．若直線a在平面α外，則a∥α C．若直線a∩b＝?，直線b?α，則a∥α D．若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 答案　D 解析　A錯(cuò)誤，直線l還可以在平面α內(nèi)；B錯(cuò)誤，直線a在平面α外，包括平行和相交；C錯(cuò)誤，a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi)．故選D. 3．將正方體的紙盒展開(kāi)如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交成60角 D．異面且成60角 答案　D 解析　如圖，直線AB，CD異面．因?yàn)镃E∥AB， 所以∠ECD即為異面直線AB，CD所成的角， 因?yàn)椤鰿DE為等邊三角形，故∠ECD＝60. 4．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為_(kāi)_______． 答案　垂直 解析　連接BO，∵AO⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AO⊥B1C. 又側(cè)面BB1C1C為菱形， ∴B1C⊥BO， 又AO∩BO＝O，AO，BO?平面ABO， ∴B1C⊥平面ABO. ∵AB?平面ABO， ∴B1C⊥AB. 考點(diǎn)二　空間角的求解 方法技巧　(1)對(duì)于兩條異面直線所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置． (2)直線和平面所成的角的求解關(guān)鍵是找出或作出過(guò)斜線上一點(diǎn)的平面的垂線，得到斜線在平面內(nèi)的射影． 5．(2018全國(guó)Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　方法一　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體A′B′BA－A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB′，由題意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝. 在△DB′B1中，由余弦定理，得 DB′2＝B′B＋DB－2B′B1DB1cos∠DB1B′， 即5＝4＋5－22cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.故選C. 方法二　如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz. 由題意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)， ∴＝(－1,0，)，＝(1,1，)， ∴＝－11＋01＋()2＝2，||＝2，||＝， ∴cos〈，〉＝＝＝.故選C. 6．已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的大小為(　　) A．90B．45C．60D．30 答案　D 解析　設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE， 則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線． 由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2， ∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成的角． 又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF. 因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2， ∴sin∠GEF＝＝， 又∠GEF為銳角，∴∠GEF＝30. ∴EF與CD所成的角的大小為30. 7.已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，AD的中點(diǎn)，則直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　連接AE，BD，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD交BD于H，連接EH，則FH⊥平面BDD1B1， ∴∠FEH是直線EF和平面BDD1B1所成的角． 設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2， ∵E，F(xiàn)分別是棱BB1，AD的中點(diǎn)， ∴在Rt△DFH中，DF＝1，∠FDH＝45， 可得FH＝DF＝. 在Rt△AEF中，AF＝1，AE＝＝， 可得EF＝＝. 在Rt△EFH中，sin∠FEH＝＝， ∴直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是. 8．如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD中CD，AB邊的中點(diǎn)，將△ADC沿對(duì)角線AC對(duì)折，使得直線EF與AC異面，記直線EF與平面ABC所成的角為α，與異面直線AC所成的角為β，則當(dāng)tanβ＝時(shí)，tanα等于(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　分別連接BD交AC于點(diǎn)O，連接D′O. 因?yàn)锳D′＝CD′，所以D′O⊥AC， 又因?yàn)锳C⊥BD，BD∩D′O＝O，所以AC⊥平面BDD′， 又BD′?平面BDD′，所以AC⊥BD′. 取BC的中點(diǎn)S，連接FS，ES， 則FS∥AC，ES∥BD′，所以FS⊥ES， 又因?yàn)椤螮FS為異面直線AC與EF所成的角， 所以tanβ＝＝，設(shè)ES＝1，則FS＝2，AC＝4， 取CO的中點(diǎn)G，連接EG，SG， 則EG＝SG＝1，所以△EGS為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥GS， 由上可知AC⊥EG，AC⊥SG且EG∩SG＝G， 則AC⊥平面EGS. 又EH?平面EGS，所以EH⊥AC， 又GS∩AC＝G，所以EH⊥平面ABCD， 所以∠EFH為EF與平面ABCD所成的角， 因?yàn)镋H＝，F(xiàn)H＝＝， 所以tan∠EFH＝＝，故選C. 考點(diǎn)三　立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 方法技巧　(1)考慮動(dòng)態(tài)問(wèn)題中點(diǎn)線面的變化引起的一些量的變化，建立目標(biāo)函數(shù)，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題． (2)運(yùn)動(dòng)變化中的軌跡問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是尋求運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的所有情況，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律． (3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中端點(diǎn)的情況影響問(wèn)題的思考，可以利用極限思想考慮運(yùn)動(dòng)變化的極限位置． 9.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90，外接球的球心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．有下列判斷： ①直線AC與直線C1E是異面直線；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱錐E—AA1O的體積為定值；④AE＋EC1的最小值為2. 其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析?、僖?yàn)辄c(diǎn)A?平面BB1C1C，所以直線AC與直線C1E是異面直線；②當(dāng)A1E⊥AB1時(shí)，直線A1E⊥平面AB1C1，所以A1E⊥AC1，錯(cuò)誤；③球心O是直線AC1，A1C的交點(diǎn)，底面OAA1面積不變，直線BB1∥平面AA1O，所以點(diǎn)E到底面的距離不變，體積為定值；④將矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展開(kāi)到一個(gè)面內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)E為AC1與BB1的交點(diǎn)時(shí)，AE＋EC1取得最小值2， 故選C. 10．已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E為CC1的中點(diǎn)，P在對(duì)角面BB1D1D所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若EP與AC成30角，則點(diǎn)P的軌跡為(　　) A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓 答案　A 解析　因?yàn)樵谄叫辛骟wABCD－A1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以該平行六面體ABCD－A1B1C1D1是一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，所以對(duì)角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥對(duì)角面BB1D1D.取AA1的中點(diǎn)F，則EF∥AC，因?yàn)镋P與AC成30角，所以EP與EF成30角．設(shè)EF與對(duì)角面BB1D1D的交點(diǎn)為O，則EO⊥對(duì)角面BB1D1D，所以點(diǎn)P的軌跡是以EO為軸的一個(gè)圓錐的底面，故選A. 11.如圖在正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等)D－ABC中，動(dòng)點(diǎn)P在平面BCD上，且滿足∠PAD＝30，若點(diǎn)P在平面ABC上的射影為P′，則sin∠P′AB的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以AD為軸，∠DAP＝30，AP為母線，圍繞AD旋轉(zhuǎn)一周，在平面BCD內(nèi)形成的軌跡為橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)(圖中點(diǎn)M的位置)時(shí)，∠P′AB最大，此時(shí)AD⊥DM，且DM∥BC.設(shè)正四面體D－ABC的各棱長(zhǎng)為2，在Rt△ADM中，AD＝2，∠MAD＝30，則MD＝，AM＝.過(guò)點(diǎn)D作正四面體D－ABC的高DO，O為底面正三角形ABC的中心，連接AO，作MP′⊥平面ABC于點(diǎn)P′，連接P′O，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，因?yàn)镈M∥BC，MP′⊥平面ABC，DO⊥平面ABC，所以MP′∥DO且MP′＝DO，四邊形MP′OD為矩形， 所以P′O＝DM＝，ON＝，所以P′N(xiāo)＝＋. 又在正四面體D－ABC中，AO＝2＝， 所以DO＝＝，所以MP′＝. 在Rt△AOP′中，AP′＝＝， 于是在△AP′N(xiāo)中，由正弦定理可得＝，解得sin∠P′AB＝，故選A. 12．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為_(kāi)_______． 答案　 解析　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， 設(shè)AB＝2，QM＝m(0≤m≤2)， 則F(2,1,0)，E(1,0,0)，M(0，m,2)(0≤m≤2)． ＝(2,1,0)，＝(1，－m，－2)， cosθ＝|cos，|＝＝＝. 設(shè)y＝， 則y′＝ ＝＝. 當(dāng)0＜m＜2時(shí)，y′＜0， ∴y＝在(0,2)上單調(diào)遞減． ∴當(dāng)m＝0時(shí)，y取最大值，此時(shí)cosθ取得最大值， (cosθ)max＝＝. 1．α，β是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件下，可判定α∥β的是(　　) A．α，β都平行于直線l，m B．α內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到β的距離相等 C．l，m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β，m∥β D．l，m是兩條異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 答案　D 解析　對(duì)于A，l，m應(yīng)相交；對(duì)于B，應(yīng)考慮三個(gè)點(diǎn)在β的同側(cè)或異側(cè)兩種情況；對(duì)于C，l，m應(yīng)相交，故選D. 2．給出下列命題： ①若平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a，b中的一條相交； ②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面； ③一定存在平面α同時(shí)和異面直線a，b都平行． 其中正確的命題為(　　) A．①B．②C．③D．①③ 答案　C 解析?、馘e(cuò)，c可與a，b都相交；②錯(cuò)，因?yàn)閍，c也可能相交或平行；③正確，例如過(guò)異面直線a，b的公垂線段的中點(diǎn)且與公垂線垂直的平面即滿足條件． 3．在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，點(diǎn)A在平面BCD上的投影為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．線段NO為定長(zhǎng) B．CO∈[1，) C．∠AMO＋∠ADB＞180 D．點(diǎn)O的軌跡是圓弧 答案　C 解析　如圖所示，對(duì)于A，△AOC為直角三角形，ON為斜邊AC上的中線，ON＝AC為定長(zhǎng)，即A正確；對(duì)于B，D在M時(shí)，AO＝1，CO＝1，∴CO∈[1，)，即B正確； 對(duì)于D，由A可知，點(diǎn)O的軌跡是圓弧，即D正確，故選C. 解題秘籍　(1)平面的基本性質(zhì)公理是幾何作圖的重要工具． (2)兩條異面直線所成角的范圍是(0，90]． (3)線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型或?qū)嵗?，以定理或結(jié)論為依據(jù)進(jìn)行推理，絕不能主觀判斷． (4)立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題要搞清運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}． 1．已知直線a∥平面α，則“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若直線a⊥平面β，直線a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直線a∥平面α，那么直線a?平面β，直線a?平面β都可能成立．如正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直線AD∥平面BCC1B1，但直線AD?平面ABCD；直線AD1∥平面BCC1B1，但直線AD1與平面ABCD不垂直．綜上，“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件． 2.如圖，在三棱錐P－ABC中，不能得出AP⊥BC的條件是(　　) A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面PBC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 答案　B 解析　A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A可以得出AP⊥BC； C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，且平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，BC?平面PBC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以PA⊥BC， 故C可以得出AP⊥BC； D中，由A知D可以得出AP⊥BC； B中條件不能得出AP⊥BC，故選B. 3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題： ①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β； ②若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β. 其中正確的命題是(　　) A．①②B．②③C．①④D．③④ 答案　B 解析　兩個(gè)平面斜交時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直于兩個(gè)平面的交線的情況，①不正確；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，②正確；當(dāng)兩個(gè)平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時(shí)，它們所成的二面角為直二面角，故③正確；當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，分別與兩個(gè)平面平行的直線也平行，故④不正確． 4.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論： ①直線BE與直線CF異面； ②直線BE與直線AF異面； ③直線EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案　B 解析　將展開(kāi)圖還原為幾何體(如圖)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯(cuò)；因?yàn)锽?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因?yàn)镋F∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，④錯(cuò)．故選B. 5．平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1， ∵α∥平面CB1D1，則m1∥m， 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1 ＝B1D1，∴B1D1∥m1， ∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n. 故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。? 而B(niǎo)1C＝B1D1＝CD1(均為面對(duì)角線)， 因此∠CD1B1＝， 得sin∠CD1B1＝，故選A. 6．如圖，四邊形ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2，O，M分別為CD，BC的中點(diǎn)，則異面直線OM與PD所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　連接BD，OB，則OM∥DB， ∴∠PDB或其補(bǔ)角為異面直線OM與PD所成的角． 由條件可知PO⊥平面ABCD， OB＝3，PO＝，BD＝2，PB＝2， 在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PDB＝＝. 7．(2018浙江省杭州市第二中學(xué)模擬)等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體ABCD的側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列說(shuō)法： ①四面體E－BCD的體積有最大值和最小值； ②存在某個(gè)位置，使得AE⊥BD； ③設(shè)二面角D－AB－E的平面角為θ，則θ≥∠DAE； ④AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓． 其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　D 解析　根據(jù)正四面體的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到當(dāng)直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，存在著最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，并且最低點(diǎn)在底面的上方，所以四面體E－BCD的體積有最大值和最小值，故①正確； 要想使AE⊥BD，就要使AE落在豎直方向的平面內(nèi)，而轉(zhuǎn)到這個(gè)位置的時(shí)候，使得AE⊥BD，且滿足是等腰直角三角形，所以②正確； 利用二面角的平面角的定義，找到其平面角，設(shè)二面角D－AB－E的平面角為θ，則θ≥∠DAE，所以③是正確的； 根據(jù)平面截圓錐所得的截面可以斷定，AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓，所以④正確． 故正確的命題的個(gè)數(shù)是4，故選D. 8．(2018浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)模擬)已知在矩形ABCD中，AD＝AB，沿直線BD將△ABD折成△A′BD，使得點(diǎn)A′在平面BCD上的射影在△BCD內(nèi)(不含邊界)，設(shè)二面角A′－BD－C的大小為θ，直線A′D，A′C與平面BCD所成的角分別為α，β，則(　　) A．α<θ<β B．β<θ<α C．β<α<θ D．α<β<θ 答案　D 解析　如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴BA′⊥A′D， 當(dāng)A′點(diǎn)在底面上的射影O落在BC上時(shí)， 有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，平面A′BC∩平面BCD＝BC，DC?平面BCD， 可得DC⊥平面A′BC，則DC⊥BA′， ∴BA′⊥平面A′DC， 在Rt△BA′C中，設(shè)BA′＝1，則BC＝， ∴A′C＝1，說(shuō)明O為BC的中點(diǎn)； 當(dāng)A′點(diǎn)在底面上的射影E落在BD上時(shí)，可知A′E⊥BD， 設(shè)BA′＝1，則A′D＝，∴A′E＝，BE＝. 要使點(diǎn)A′在平面BCD上的射影F在△BCD內(nèi)(不含邊界)，則點(diǎn)A′的射影F落在線段OE上(不含端點(diǎn))． 可知∠A′EF為二面角A′－BD－C的平面角θ，直線A′D與平面BCD所成的角為∠A′DF＝α， 直線A′C與平面BCD所成的角為∠A′CF＝β， 可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E＝<1，而A′C的最小值為1， ∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，則α＜β＜θ. 9．如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)．則直線DP與平面ABC的位置關(guān)系是________． 答案　平行 解析　連接CQ，在△ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點(diǎn)，所以PQ∥BE，PQ＝BE. 又DC∥EB，DC＝EB， 所以PQ∥DC，PQ＝DC，所以四邊形DPQC為平行四邊形，所以DP∥CQ. 又DP?平面ABC，CQ?平面ABC，所以DP∥平面ABC. 10．α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β； ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)) 答案　②③④ 解析　當(dāng)m⊥n，m⊥α，n∥β時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故①錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知②③④均正確． 11.如圖，在三棱錐S－ABC中，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4, E為棱SC的中點(diǎn)，則直線AC與BE所成角的余弦值為_(kāi)_____，直線AC與平面SAB所成的角為_(kāi)______． 答案　　60 解析　取SA的中點(diǎn)M，連接ME，BM，則直線AC與BE所成的角等于直線ME與BE所成的角，因?yàn)镸E＝，BM＝BE＝2，cos∠MEB＝＝，所以直線AC與BE所成角的余弦值為.取SB的中點(diǎn)N，連接AN，CN，則AN⊥SB，CN⊥SB?SB⊥平面ACN?平面SAB⊥平面ACN，因此直線AC與平面SAB所成的角為∠CAN，因?yàn)锳N＝CN＝AC＝2，所以∠CAN＝60，因此直線AC與平面SAB所成的角為60. 12．在正方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖)，已知點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題： ①三棱錐A－D1PC的體積不變； ②直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變； ③二面角P－AD1－C的大小不變； ④若M是平面A1B1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是直線A1D1. 其中真命題的序號(hào)是________． 答案　①③④ 解析?、伲剑綖槎ㄖ?；②因?yàn)锽C1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，因此P到平面AD1C的距離不變，但AP長(zhǎng)度變化，因此直線AP與平面ACD1所成的角的大小變化；③二面角P－AD1－C的大小就是平面ABC1D1與平面AD1C所成二面角的大小，因此不變；④到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)在平面A1BCD1上，所以M點(diǎn)的軌跡是平面A1BCD1與平面A1B1C1D1的交線A1D1.綜上，真命題的序號(hào)是①③④.