高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第12章 第1節(jié)　坐標(biāo)系 Word版含解析

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1、 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章在高考中考查1道解答題，分值10分. 2.考查內(nèi)容 高考對本章內(nèi)容的考查主要有以下兩個方面 (1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化； (2)極坐標(biāo)、參數(shù)方程的應(yīng)用. 3.備考策略 (1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律 ①極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化問題； ②極坐標(biāo)的定義及應(yīng)用問題； ③參數(shù)方程的定義及應(yīng)用問題. (2)重視數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. 第一節(jié)　坐標(biāo)系 [最新考綱]　1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2

2、.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程． (對應(yīng)學(xué)生用書第204頁) 1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換 φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換． 2．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系 如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；從極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；選定一個單位長度、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)

3、系． (2)極坐標(biāo) ①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ. ②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ. ③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．一般不作特殊說明時，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)． 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為： 4．常見曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(r,0)半徑為r的圓 ρ＝2rcos_θ

4、 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π) 過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(θ∈R) 過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos θ＝a 過點(diǎn)，與極軸平行的直線 ρsin_θ＝a(0＜θ＜π) 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系． (　　) (2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點(diǎn)P的一個極坐標(biāo)是. (　　) (3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的． (　　) (4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ

5、≥0)表示的曲線是一條直線． (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－3，)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(　　) A.　　　　　 B. C. D. C　[因為點(diǎn)P(－3，)在第二象限，與原點(diǎn)的距離為2，且OP與x軸所成的角為，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.] 2．若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，

6、 ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝.] 3．在極坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)間的距離為________． 6　[法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)如圖所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 法二：∵A，B的直角坐標(biāo)系為A(1，－)， B(－2,2)， ∴|AB|＝＝6.] 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為______． x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 即x2＋y2＝2y.] (對應(yīng)學(xué)生用書

7、第205頁) ⊙考點(diǎn)1　平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換 　伸縮變換后方程的求法 平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后的方程． 　1.求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過φ：變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)． [解]　由伸縮變換得到 代入x2－＝1得－＝1，化簡得－＝1. 即曲線C′的方程為－＝1，則曲線C′是雙曲線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5,0)和(5,0)． 2．若函數(shù)y＝f(x)的圖像在伸縮變換φ：的作用下得到曲線的方程為y′＝3sin，求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期． [解]　由題意，把變換公

8、式代入曲線y′＝3sin得3y＝3sin， 整理得y＝sin， 故f(x)＝sin. 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π. 3．將圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1的一個伸縮變換公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值． [解]　將變換后的橢圓＋＝1改寫為＋＝1， 把伸縮變換公式φ：(λ，μ＞0)代入上式得： ＋＝1，即x2＋y2＝1，與x2＋y2＝1 比較系數(shù)得所以 　應(yīng)用伸縮變換時，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)(x′，y′)． ⊙考點(diǎn)2　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法 (1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρc

9、os θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡即可． (2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧． 2．極角的確定 由tan θ確定角θ時，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角． (1)當(dāng)x≠0時，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定． (2)當(dāng)x＝0時，tan θ沒有意義，這時可分三種情況處理： 當(dāng)x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當(dāng)x＝0，y＞0時，可取θ＝；當(dāng)x＝0，y＜0時，可取θ＝. 　[一題多解](2019·江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，已知兩

10、點(diǎn)A，B，直線l的方程為ρsin＝3. (1)求A，B兩點(diǎn)間的距離； (2)求點(diǎn)B到直線l的距離． [解](1)法一：(使用余弦定理)設(shè)極點(diǎn)為O，在△AOB中，A，B， 由余弦定理得|AB|＝＝. 法二：(化為直角坐標(biāo))點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(0，)，則 |AB|＝＝. (2)由ρsin＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0， 又點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(0，)，則點(diǎn)B到直線l的距離d＝＝2. 　把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后利用平面解析幾何的知識解決問題，這是常用的方法． [教師備選例題] 　在極坐標(biāo)系中，直線l的方

11、程為ρsin＝2，曲線C的方程為ρ＝4cos θ，求直線l被曲線C截得的弦長． [解]　因為曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，化成直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4，所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓．因為直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2，化成直角坐標(biāo)方程為y＝(x－4)， 則直線l過A(4,0)，傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個交點(diǎn)． 設(shè)另一個交點(diǎn)為B，則∠OAB＝， 如圖，連接OB， 因為OA為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝4cos＝2. 所以直線l被曲線C截得的弦長為2. 　1.在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρs

12、in＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，π)時，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)． [解](1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－x－y＝0，直線l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0. (2)將兩直角坐標(biāo)方程聯(lián)立得 解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1)，將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為即為所求． 2．已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2. (1)求圓O1和圓O2的直角坐標(biāo)方

13、程； (2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程． [解](1)由ρ＝2知ρ2＝4， 所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. 因為ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減， 得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. ⊙考點(diǎn)3　求曲線的極坐標(biāo)方程 　求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的方法 (1)設(shè)點(diǎn)M(ρ，θ)為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用三角函數(shù)及正、余弦定理求解|OM|與θ的關(guān)系． (2)先求出曲線

14、的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程． 　(2019·全國卷Ⅲ)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)． [解](1)由題設(shè)可得，弧，，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標(biāo)

15、方程為ρ＝－2cos θ. (2)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知 若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 　本題易錯點(diǎn)有二：一是第(1)問沒有對圓的極坐標(biāo)方程進(jìn)行范圍限制；二是寫點(diǎn)P的極坐標(biāo)時，當(dāng)≤θ≤時，只得到θ＝一個結(jié)果． 　在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)求圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長． [解](1)圓C是將圓ρ＝4cos θ繞極點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓，所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ

16、＝4cos. (2)將θ＝－代入圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos得ρ＝2，所以圓C被直線l所截得的弦長為2. ⊙考點(diǎn)4　曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　利用極坐標(biāo)系解決問題的技巧 (1)用極坐標(biāo)系解決問題時要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決． (2)已知極坐標(biāo)方程解答最值問題時，通?？赊D(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型求最值問題，其比直角坐標(biāo)系中求最值的運(yùn)算量?。? 　(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的

17、動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [解](1)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos

18、 α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 　在曲線的方程進(jìn)行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價性． [教師備選例題] 　已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)A，B為曲線C上兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求＋的值． [解](1)由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲線C的直角坐標(biāo)方程是＋y2＝1. (2)因為ρ2＝， 所以＝＋sin2θ， 由OA⊥OB，設(shè)A(ρ1

19、，α)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可設(shè)為， 所以＋＝＋＝＋sin2θ＋＋cos2α＝＋1＝. 　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． [解](1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為.