2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題46 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.doc

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專題46 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 【熱點聚焦與擴展】 高考對圓的方程的考查，一般是以小題的形式出現(xiàn)，也有與向量、圓錐曲線等相結(jié)合的問題．縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下幾個方面：一是考查圓的方程，要求利用待定系數(shù)法求出圓的方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題；二是考查直線與圓的位置關(guān)系，高考要求能熟練地解決圓的切線問題，弦長問題是高考熱點，其中利用由圓心距、半徑與半弦長構(gòu)成的直角三角形，是求弦長問題的關(guān)鍵．三是判斷圓與圓的位置關(guān)系，確定公共弦所在的直線方程.近幾年多與圓錐曲線問題綜合考查.本專題通過例題說明關(guān)于直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題的解法與技巧. 1、定義：在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓 2、圓的標準方程：設(shè)圓心的坐標，半徑為，則圓的標準方程為： 3、圓的一般方程：圓方程為 （1）的系數(shù)相同 （2）方程中無項 （3）對于的取值要求： 4、直線與圓位置關(guān)系的判定：相切，相交，相離，位置關(guān)系的判定有兩種方式： （1）幾何性質(zhì)：通過判斷圓心到直線距離與半徑的大小得到直線與圓位置關(guān)系，設(shè)圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則： ① 當(dāng)時，直線與圓相交 ② 當(dāng)時，直線與圓相切 ③ 當(dāng)時，直線與圓相離 （2）代數(shù)性質(zhì)：可通過判斷直線與圓的交點個數(shù)得到直線與圓位置關(guān)系，即聯(lián)立直線與圓的方程，再判斷解的個數(shù).設(shè)直線：，圓：，則： 消去可得關(guān)于的一元二次方程，考慮其判別式的符號 ① ，方程組有兩組解，所以直線與圓相交 ② ，方程組有一組解，所以直線與圓相切 ③ ，方程組無解，所以直線與圓相離 5、直線與圓相交： 弦長計算公式： 6、直線與圓相切： （1）如何求得切線方程：主要依據(jù)兩條性質(zhì)：一是切點與圓心的連線與切線垂直；二是圓心到切線的距離等于半徑 （2）圓上點的切線結(jié)論： ① 圓上點處的切線方程為 ② 圓上點處的切線方程為 （3）過圓外一點的切線方程（兩條切線）：可采取上例方法二的做法，先設(shè)出直線方程，再利用圓心到切線距離等于半徑求得斜率，從而得到方程.（要注意判斷斜率不存在的直線是否為切線） 7、與圓相關(guān)的最值問題 （1）已知圓及圓外一定點，設(shè)圓的半徑為則圓上點到點距離的最小值為，最大值為（即連結(jié)并延長，為與圓的交點，為延長線與圓的交點. （2）已知圓及圓內(nèi)一定點，則過點的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦. （3）已知圓和圓外的一條直線，則圓上點到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于 （4）已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點作圓的切線，切線長的最小值為. 8、圓與圓的位置關(guān)系：外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含 （1）可通過圓心距離與半徑的關(guān)系判定：設(shè)圓的半徑為， ① 外離 ② 外切 ③ 相交 ④ 內(nèi)切 ⑤ 內(nèi)含 （2）可通過聯(lián)立圓的方程組，從而由方程組解的個數(shù)判定兩圓位置關(guān)系.但只能判斷交點的個數(shù).例如方程組的解只有一組時，只能說明兩圓有一個公共點，但是外切還是內(nèi)切無法直接判定 【經(jīng)典例題】 例1.【2016高考山東】已知圓M：截直線所得線段的長度是，則圓M與圓N：的位置關(guān)系是（ ） （A）內(nèi)切（B）相交（C）外切（D）相離 【答案】B 【解析】 試題分析： 由（）得（），所以圓的圓心為，半徑為，因為圓截直線所得線段的長度是，所以，解得，圓的圓心為，半徑為，所以，，，因為，所以圓與圓相交，故選B． 例2.【2018屆湖北省華師一附中調(diào)研】已知圓C： （）及直線： ，當(dāng)直線被C截得的弦長為時，則= （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，得，解得，又因為，所以；故選C. 例3.【2018屆黑龍江省海林市朝鮮中學(xué)高考綜合卷（一）】已知兩點， （），若曲線上存在點，使得，則正實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 例4.已知直線上總存在點，使得過點作的圓： 的兩條切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 如圖，設(shè)切點分別為A，B．連接AC，BC，MC，由及知，四邊形MACB為正方形，故若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心到直線的距離，即∴，故選C． 例5.過點作圓的弦，其中最短的弦長為 . 【答案】. 點睛：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是解析幾何的重要特征，解題過程中要通過分析題目的條件和結(jié)論，靈活的加以轉(zhuǎn)化. 例6．【2016高考新課標3】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則__________________. 【答案】4 【解析】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，． 例7．已知圓，圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長． 【答案】,. 【解析】將兩圓方程相減得相交弦的方程為：. 將配方得： ，圓心到公共弦的距離為.所以弦長為. 例8. 求過點的圓的切線方程 【答案】，. 點睛：求過某點的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求直線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應(yīng)注意斜率不存在的切線． 例9. 已知點及圓：. ①若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程； ②設(shè)過點P的直線與圓交于、兩點，當(dāng)時，求以線段為直徑的圓的方程； ③設(shè)直線與圓交于，兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由. 【答案】①或；②；③不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦. 【解析】①設(shè)直線的斜率為（存在）， 則方程為. 即 又圓C的圓心為，半徑， 由 ， 解得. 所以直線方程為， 即 . 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，經(jīng)驗證也滿足條件 ②由于，而弦心距， 所以. 即，解得． 則實數(shù)的取值范圍是. 設(shè)符合條件的實數(shù)存在，由于垂直平分弦，故圓心必在上． 所以的斜率，而，所以． 由于，故不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦． 例10. 已知半徑為2，圓心在直線上的圓C. （Ⅰ）當(dāng)圓C經(jīng)過點A（2,2）且與軸相切時，求圓C的方程； （Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圓C上存在點Q，使,求圓心的橫坐標的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）因為原心在直線上故可設(shè)原心為，則可根據(jù)圓心和圓上的點的距離為半徑列出方程。又因為此圓與軸相切則，解方程組可得。（Ⅱ）設(shè)，根據(jù)可得，即點在直線上。又因為點在圓上，所以直線與圓必有交點。所以圓心到直線的距離小于等于半徑。 試題解析：解: （Ⅰ）∵圓心在直線上， ∴可設(shè)圓的方程為， 其圓心坐標為（； 2分 ∵圓經(jīng)過點A（2,2）且與軸相切， ∴有 解得， 所以圓的橫坐標的取值范圍是 【精選精練】 1.已知條件：，條件：直線與圓相切，則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【答案】C 【解析】由，可得直線為.所以圓心（0,0）到該直線的距離等于半徑，所以直線與圓相切.所充分性成立.當(dāng)直線與圓相切，可解得.所以必要性成立.綜上是的充要條件. 2.已知圓與直線有兩個交點，則正實數(shù)的值可以為（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】圓化為標準方程即，由題意，圓心到直線的距離，結(jié)合選項，可得D正確，故選D. 3.已知圓，當(dāng)圓的面積最小時，直線與圓相切，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 4.若直線與圓相切，且為銳角，則這條直線的斜率是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意：，所以， 因為且為銳角，所以， 所以直線的斜率是，故選A． 5.已知圓與直線相切于第三象限，則的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知有圓心 到直線的距離為1,所以有 ,當(dāng) 時,圓心為 在第一象限,這時切點在第一象限,不符合;當(dāng)時, 圓心為 在第三象限,這時切點也在第三象限,符合,所以.選B. 6.【2018屆安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校聯(lián)考】設(shè)直線與圓交于兩點，過分別作軸的垂線與軸交于兩點.若線段的長度為，則（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 7.已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意知，點P在以原點（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B. 8.已知點， ， 在圓上運動，且.若點的坐標為，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意知AC是圓的直徑，所以O(shè)是AC中點，故，PO的長為5，所以,顯然當(dāng)B在PO上時， 有最小值，當(dāng)B在PO的延長線上時， 有最大值，故選C． 9.過定點的直線： 與圓： 相切于點，則_ _． 【答案】4 【解析】直線： 過定點， 的圓心，半徑為：3；定點與圓心的距離為： ．過定點的直線： 與圓： 相切于點，則． 10.【2018屆江蘇省泰州中學(xué)月考】知動圓與直線相切于點，圓被軸所截得的弦長為，則滿足條件的所有圓的半徑之積是__________． 【答案】 11. 已知圓關(guān)于直線對稱的圓為. （1）求圓的方程； （2）過點作直線與圓交于兩點， 是坐標原點，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形中？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）（2）存在直線和 【解析】試題分析：（1）將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，將圓關(guān)于直線對稱問題轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題，進而求出圓的方程；（2）先由條件判定四邊形為矩形，將問題轉(zhuǎn)化為判定兩直線垂直，利用平面向量是數(shù)量積為0進行求解. 解得： ， 所以圓的方程為. （2）由，所以四邊形為矩形，所以. 要使，必須使，即： . ①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線的方程為，與圓 交于兩點， . 因為，所以，所以當(dāng)直線的斜率不存在時，直線滿足條件. ②當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為. 設(shè) 由得： .由于點在圓內(nèi)部，所以恒成立， ， ， ， 要使，必須使，即， 也就是： 整理得： 解得： ，所以直線的方程為 存在直線和，它們與圓交兩點，且四邊形對角線相等. 12. 已知定點，圓C： ， （1）過點向圓C引切線l，求切線l的方程； （2）過點A作直線 交圓C于P,Q，且，求直線的斜率k； （3）定點M,N在直線 上，對于圓C上任意一點R都滿足，試求M,N兩點的坐標. 【答案】（1）x＝2或（2）（3）． 【解析】解：(1)①當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x＝2符合題意； ②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)． 即kx－y－2k＝0. 若直線l與圓C相切，則有，解得k＝， ∴直線l： 故直線l的方程為x＝2或 （2）設(shè)，由 知點P是AQ的中點，所以點Q的坐標為 . 又 得 ， ⑤ 由④、⑤得 ，⑥ 由于關(guān)于 的方程⑥有無數(shù)組解，所以， 解得 所以滿足條件的定點有兩組