江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 選修4系列強(qiáng)化練（一）選修4-2 矩陣與變換（理）（含解析）.doc

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選修4系列專項(xiàng)強(qiáng)化練(一)　選修4－2：矩陣與變換(理科) 題型一　常見平面變換 1．已知變換T把平面上的點(diǎn)(3，－4)，(5,0)分別變換成(2，－1)，(－1,2)，試求變換T對應(yīng)的矩陣M. 解：設(shè)M＝， 由題意得， ＝， ∴解得 即M＝. 2．平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x＋2y＋1＝0在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x－y－2＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值． 解：設(shè)坐標(biāo)(x，y)在矩陣M的變換后的坐標(biāo)為(x′，y′)，則有＝，于是有 解得 將上述結(jié)果代入直線l的方程得 ＋＋1＝0. 化簡得(b－6)x′＋(2a＋2)y′＋ab＋6＝0.(*) 于是有＝＝. 解得或 當(dāng)a＝－1，b＝6時，代入(*)式得0x′＋0y′＋0＝0，不符合題意，舍去． 綜上所述a＝1，b＝2. 3．設(shè)矩陣M＝(其中a>0，b>0)，若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a＋b的值． 解：設(shè)曲線C：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)P(x，y)，在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P1(x1，y1)， 則＝，即 又點(diǎn)P1(x1，y1)在曲線C′：＋y2＝1上，所以＋y＝1，則＋(by)2＝1為曲線C的方程． 又曲線C的方程為x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1， 因?yàn)閍>0，b>0，所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3. [臨門一腳] 1．把點(diǎn)A(x，y)繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角的變換，對應(yīng)的矩陣是，這個矩陣不能遺忘． 2．求點(diǎn)被矩陣變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)或求曲線被矩陣變換后的曲線所用方法是求軌跡中的相關(guān)點(diǎn)法． 3．求直線在矩陣作用下所得直線方程，可以取兩個特殊點(diǎn)求解比較簡便． 題型二　矩陣的復(fù)合、矩陣的乘法及逆矩陣 1．已知a，b是實(shí)數(shù)，如果矩陣A＝所對應(yīng)的變換T把點(diǎn)(2,3)變成點(diǎn)(3,4)． (1)求a，b的值； (2)若矩陣A的逆矩陣為B，求B2. 解：(1)由題意，得＝， 即解得 (2)由(1)，得A＝. 由矩陣的逆矩陣公式得B＝＝. 所以B2＝＝. 2．設(shè)二階矩陣A，B滿足A－1＝，(BA)－1＝，求B－1. 解：設(shè)B－1＝，因?yàn)?BA)－1＝A－1B－1， 所以＝，即 解得所以B－1＝. [臨門一腳] 1．矩陣的行列式＝ad－bc，如果ad－bc≠0，則矩陣存在逆矩陣． 2．矩陣的逆矩陣為. 3．逆矩陣求解可以用定義法求解也可以用公式求解，用公式求解時要寫出原始公式． 4．若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1，乘法順序不能顛倒． 題型三　特征值和特征向量 1．已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)(－1,2)變換成(－2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個特征值． 解：(1)設(shè)M＝， 由題意，M＝＝8， M＝＝， ∴解得即M＝. (2)令特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2.矩陣M的另一個特征值為2. 2．已知矩陣A＝，A的兩個特征值為λ1＝2，λ2＝3. (1)求a，b的值； (2)求屬于λ2的一個特征向量α. 解：(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－4)＋b＝λ2－(a＋4)λ＋4a＋b＝0， 于是λ1＋λ2＝a＋4，λ1λ2＝4a＋b.解得a＝1，b＝2. (2)設(shè)α＝，則Aα＝＝＝ 3＝，故解得x＝y(tǒng). 所以屬于λ2的一個特征向量為α＝. 3．已知矩陣M＝，β＝，計(jì)算M6β. 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，對應(yīng)的一個特征向量分別為α1＝，α2＝. 令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3. 所以M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝436－3(－1)6＝. [臨門一腳] 1．A＝是一個二階矩陣，則f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc稱為A的特征多項(xiàng)式． 2．矩陣M＝的特征值λ滿足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，屬于λ的特征向量α＝滿足M＝λ. 3．特征值和特征向量，可以用定義求解也可以用公式求解． 4．Mnβ的計(jì)算流程要熟悉，這也是求特征值和特征向量的應(yīng)用．