《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示突破熱點(diǎn)題型(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示
考點(diǎn)一
由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
[例1] 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.
(1)-1,7,-13,19,…;
(2)0.8,0.88,0.888,…;
(3),,-,,-,,….
[自主解答] (1)數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(-1)n表示,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它的前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6,故通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5).
(2)數(shù)列變?yōu)?,,,…?
故an=.
(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24,…,易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母小3.
2、
因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋?
原數(shù)列化為-,,-,,…,
故an=(-1)n.
【方法規(guī)律】
求數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)關(guān)注的四個(gè)特征
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;
(3)拆項(xiàng)后的特征;
(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.
根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.
(1)3,5,7,9,…;
(2),,,,,…;
(3)-1,,-,,-,,….
解:(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù),∴an=2n+1.
(2)每一項(xiàng)的分子比分母小1,而分母組成數(shù)列21,22,23,24,…,∴an=.[來源:]
(3)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正
3、,故通項(xiàng)公式中含有因式(-1)n,各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列{n},分子組成的數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為3,即奇數(shù)項(xiàng)為2-1,偶數(shù)項(xiàng)為2+1.
∴an=(-1)n.
考點(diǎn)二
由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式 [來源:]
[例2] 根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1)a1=1,an=an-1(n≥2);
(2)a1=2,an+1=an+3n+2;
(3)a1=1,an+1=3an+2;
(4)a1=,an+1=.
[自主解答] (1)∵an=an-1(n≥2),
∴an-1=an-2,…,a2=a1.
以上(n-1)個(gè)式子相乘,得
an=a1×××…×==.
4、
(2)∵an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(n≥2).
當(dāng)n=1時(shí),a1=×(3×1+1)=2符合公式,
∴an=n2+.
(3)∵an+1=3an+2,[來源:]
∴an+1+1=3(an+1),即=3.
∴數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3.
又a1+1=2,∴an+1=2×3n-1.
∴an=2×3n-1-1.
(4)∵an+1=,
∴=+,
∴-1=.
又-1=,
∴是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
∴-1=·=,
∴an=.
【方
5、法規(guī)律】
由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用方法
(1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an;
(2)已知a1且=f(n),可用“累乘法”求an;
(3)已知a1且an+1=qan+b,則an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系數(shù)法確定),可轉(zhuǎn)化為{an+k}為等比數(shù)列;
(4)形如an+1=(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列,可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
1.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,則an=( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C
6、.2+nln n D.1+n+ln n
解析:選A 由已知,an+1-an=ln,a1=2,
∴an-an-1=ln(n≥2),
an-1-an-2=ln,
…
a2-a1=ln,
將以上n-1個(gè)式子相加,得
an-a1=ln+ln+…+ln=ln=ln n,
∴an=2+ln n(n≥2),經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)也適合.
2.若數(shù)列{an}滿足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí),n的值為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:選B ∵an+1-an=-3,∴數(shù)
7、列{an}是以19為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列,∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.設(shè)前k項(xiàng)和最大,則有
∴∴≤k≤,
∵k∈N*,∴k=7.故滿足條件的n的值為7.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 an與Sn關(guān)系的應(yīng)用
1.a(chǎn)n與Sn關(guān)系的應(yīng)用是高考的常考內(nèi)容,且多出現(xiàn)在選擇題或填空題中,有時(shí)也出現(xiàn)在解答題的已知條件中,難度較小,屬容易題.
2.高考對(duì)an與Sn關(guān)系的考查常有以下兩個(gè)命題角度:
(1)利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an;
(2)利用an與Sn的關(guān)系求Sn.
[例3] (1)(2012·全國高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S
8、n=2an+1,則Sn=( )
A.2n-1 B.n-1 C.n-1 D.
(2)(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+,則{an}的通項(xiàng)公式是an=________.
(3)(2013·湖南高考改編)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.求a1,a2,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
[自主解答] (1)由已知Sn=2an+1得
Sn=2(Sn+1-Sn),
即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,
所以Sn=n-1.
(2)由Sn=an+,得當(dāng)n≥2時(shí),Sn-
9、1=an-1+,
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=-2an-1,
又n=1時(shí),S1=a1=a1+,a1=1,
∴an=(-2)n-1.
(3)令n=1,得2a1-a1=a,
即a1=a.因?yàn)閍1≠0,所以a1=1.
令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.解得a2=2.
當(dāng)n≥2時(shí),2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,
兩式相減,得2an-2an-1=an,即an=2an-1.
于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.
因此,an=2n-1.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
[答案] (1)B (2)(-2)n-1
an與Sn關(guān)系的應(yīng)用問題的常見
10、類型及解題策略
(1)由an與Sn的關(guān)系求an.數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an=當(dāng)n=1時(shí),若a1適合Sn-Sn-1,則n=1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an;當(dāng)n=1時(shí),若a1不適合Sn-Sn-1,則用分段函數(shù)的形式表示.
(2)由an與Sn的關(guān)系求Sn.通常利用an=Sn-Sn-1(n≥2)將已知關(guān)系式轉(zhuǎn)化為Sn與Sn-1的關(guān)系式,然后求解.
1.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=( )
A.3×44 B.3×44+1 C.45 D.45+1
解析:選A 法一:a1=1,a2=3
11、S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=3×43,a6=3S5=3×44.
法二:當(dāng)n≥1時(shí),an+1=3Sn,則an+2=3Sn+1,
∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,
∴該數(shù)列從第2項(xiàng)開始是以4為公比的等比數(shù)列,
又a2=3S1=3a1=3,
∴an=
∴當(dāng)n=6時(shí),a6=3×46-2=3×44.
2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N*)且a1=6,那么a10=( )
A.10 B.60 C.6
12、 D.54
解析:選C 由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10,又由于a10=S10-S9=S1=a1=6,故a10=6.
3.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+1,則它的通項(xiàng)公式an=________.
解析:∵a1=S1=12-1+1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-[(n-1)2-(n-1)+1]=2n-2.∴an=
答案:
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2種關(guān)系——數(shù)列與函數(shù)、an與Sn的關(guān)系
(1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),因此,在研究數(shù)列問題時(shí),既要注意函數(shù)方法的普遍性,又要考慮數(shù)列方法的特殊性.
(2)an=
3種思路——由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用思路
(1)算出前幾項(xiàng),再歸納、猜想;[來源:]
(2)利用累加法或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng);
(3)一般形如an+1=qan+b或an+1=(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列,可采用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決.