（浙江專(zhuān)用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專(zhuān)題分層練中高檔題得高分 第14練 空間幾何體試題.docx

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第14練　空間幾何體 [明晰考情]　1.命題角度：空間幾何體的三視圖，球與多面體的組合，一般以計(jì)算面積、體積的形式出現(xiàn).2.題目難度：中檔或中檔偏難． 考點(diǎn)一　空間幾何體的三視圖與直觀(guān)圖 要點(diǎn)重組　(1)三視圖畫(huà)法的基本原則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等；畫(huà)圖時(shí)看不到的線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)． (2)由三視圖還原幾何體的步驟 — ↓ — ↓ — (3)直觀(guān)圖畫(huà)法的規(guī)則：斜二測(cè)畫(huà)法． 1．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖為(　　) 答案　A 解析　在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體OABC的直觀(guān)圖如圖所示，作頂點(diǎn)A，C在xOz平面的投影A′，C′，可得四面體的正視圖．故選A. 2．(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　由三視圖得到空間幾何體，如圖所示， 則PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1， 所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC. 又BC⊥AB，AB∩PA＝A， AB，PA?平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. 又PB?平面PAB，所以BC⊥PB. 在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝， 所以△PCD為銳角三角形． 所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個(gè)．故選C. 3．如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則此三視圖所描述的幾何體的直觀(guān)圖是(　　) 答案　D 解析　先觀(guān)察俯視圖，由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確，由正視圖和側(cè)視圖可知選項(xiàng)D正確． 4．已知正三棱錐V－ABC的正視圖和俯視圖如圖所示，則該正三棱錐側(cè)視圖的面積是________． 答案　6 解析　如圖，由俯視圖可知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2， 則AO＝2sin60＝2. 所以VO＝＝2， 則VA′＝2. 所以該正三棱錐的側(cè)視圖的面積為22＝6. 考點(diǎn)二　空間幾何體的表面積與體積 方法技巧　(1)求三棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． (3)已知幾何體的三視圖，可去判斷幾何體的形狀和各個(gè)度量，然后求解表面積和體積． 5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為(　　) A．3B.C．1D. 答案　C 解析　∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC. 又ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C. ∵四邊形BB1C1C為矩形，∴＝＝2＝.又AD＝2＝， ∴＝AD＝＝1.故選C. 6．一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的體積是(　　) A.B.C.D．1 答案　B 解析　根據(jù)題意得到原四面體是底面為等腰直角三角形，高為1的三棱錐，故得到體積為211＝. 7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______，其表面積為_(kāi)_______． 答案?。?π　16＋16＋12π 解析　由正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體含有半個(gè)圓柱，再結(jié)合俯視圖不難得到該幾何體是半個(gè)圓柱和一個(gè)倒立的直四棱錐組合而成，如圖．故該幾何體的體積為 V＝444＋＝＋8π， 表面積為S＝π22＋＋＋＝16＋16＋12π. 8．已知一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則該圓錐的體積為_(kāi)_______． 答案　π 解析　由題意，得圓錐的底面周長(zhǎng)為2π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr＝2π，解得r＝1， ∴圓錐的高為h＝＝. ∴圓錐的體積為V＝πr2h＝π. 考點(diǎn)三　多面體與球 要點(diǎn)重組　(1)設(shè)球的半徑為R，球的截面圓半徑為r，球心到球的截面的距離為d，則有r＝. (2)當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，當(dāng)球外接于長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑；當(dāng)球與正方體各棱都相切時(shí)，球的直徑等于正方體底面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)． (3)若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的外接球半徑為a，內(nèi)切球半徑為a. 9．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60，則球O的表面積為(　　) A．4πB．12πC．16πD．64π 答案　C 解析　在△ABC中，由余弦定理得， BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos60＝3， ∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC. 又SA⊥平面ABC， ∴SA⊥AB，SA⊥BC， ∴三棱錐S－ABC可補(bǔ)成分別以AB＝1，BC＝，SA＝2為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體， ∴球O的直徑為＝4， 故球O的表面積為4π22＝16π. 10．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．πB.C.D. 答案　B 解析　設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π1＝. 11．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是(　　) A．6B．5C.D. 答案　D 解析　由題意知，四棱錐P－ABCD是正四棱錐， 球的球心O在四棱錐的高PH上， 過(guò)正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖： 其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點(diǎn)． 設(shè)PH＝h，易知Rt△PAO∽R(shí)t△PHF， 所以＝，即＝，解得h＝，故選D. 12．一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，球O的半徑為R， 則V圓錐＝πa2a＝πa3. 又R2＝a2＋(a－R)2， 所以R＝a， 故V球＝3＝πa3， 故其體積比值為. 1．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(　　) A．1∶1B．2∶1C．2∶3D．3∶2 答案　A 解析　由題意可得正視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的，側(cè)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正視圖與側(cè)視圖的面積之比是1∶1. 2．已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的側(cè)視圖與正視圖相同，則該幾何體的體積為(　　) A.π＋ B.π＋ C.π＋8 D.π＋8 答案　A 解析　由三視圖知該幾何體是正四棱錐(底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐)與半球體的組合體，且正四棱錐的高為，底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為4，球的半徑為2，所以組合體的體積為V＝π23＋42＝π＋. 3．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 答案　C 解析　易知△AOB的面積確定，若三棱錐O－ABC的底面OAB上的高最大，則其體積最大．因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉，所以VO－ABC＝R2R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π. 解題秘籍　(1)三視圖都是幾何體的投影，要抓住這個(gè)根本點(diǎn)確定幾何體的特征． (2)多面體與球的切、接問(wèn)題，要明確切點(diǎn)、接點(diǎn)的位置，利用合適的截面圖確定兩者的關(guān)系，要熟悉長(zhǎng)方體與球的各種組合． 1．(2018浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2B．4C．6D．8 答案　C 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長(zhǎng)分別為2,1，高為2， ∴該幾何體的體積為V＝2＝6. 故選C. 2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最大邊長(zhǎng)為(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　根據(jù)三視圖作出原幾何體(四棱錐P－ABCD)的直觀(guān)圖如下： 可計(jì)算PB＝PD＝BC＝，PC＝，故該幾何體的最大邊長(zhǎng)為. 3．如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開(kāi)圖，則多面體ABCDE的體積為(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　多面體ABCDE為四棱錐(如圖)，利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－＝，故選D. 4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，下圖畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．12＋6＋18 B．9＋6＋18 C．9＋8＋18 D．9＋6＋12 答案　B 解析　作出該幾何體的直觀(guān)圖如圖所示(所作圖形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn))，故所求幾何體的表面積S＝23＋23＋46＋34＋43＝9＋6＋18，故選B. 5．某錐體的三視圖如圖所示，用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分，則截面面積為(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 答案　C 解析　三視圖表示的幾何體(如圖)是四棱錐(鑲嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體中)，且四棱錐F－ABCD的底面為正方形ABCD，面積為4，設(shè)截面面積為S，所截得小四棱錐的高為h， 則 解得S＝2. 6．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　該幾何體是一個(gè)半球，上面有一個(gè)三棱錐， 體積為V＝111＋π3＝＋，故選A. 7．(2018全國(guó)Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 答案　B 解析　先畫(huà)出圓柱的直觀(guān)圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．|ON|＝16＝4，|OM|＝2， ∴|MN|＝＝＝2. 故選B. 8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是(　　) A．8πB．12πC．16πD. 答案　D 解析　如圖所示，該幾何體是三棱錐D—ABC，其中AB＝2，AC＝2，BC＝2，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則DE＝，且AB⊥AC，DE⊥平面ABC，故外接球球心O必在直線(xiàn)DE上，設(shè)三棱錐D—ABC外接球的半徑為R，由(OD－DE)2＋EC2＝OC2＝R2，得(R－)2＋()2＝R2，解得R2＝，故三棱錐D—ABC的外接球的表面積S＝4πR2＝，故選D. 9．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體共有________條棱；該幾何體的體積為_(kāi)_______cm3. 答案　8　1 解析　由三視圖知該幾何體為底面為上底是1cm，下底是2cm，高是1cm的直角梯形，有一條高為2cm的棱垂直于底面的四棱錐，則其有8條棱，體積為21＝1(cm3)． 10．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就．書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”，若某“陽(yáng)馬”的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該“陽(yáng)馬”最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　5 解析　由三視圖知，幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖所示． 其中PA⊥平面ABCD，∴PA＝3，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5， ∴PB＝＝5，PC＝＝5，PD＝＝. ∴該幾何體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為5. 11．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． 答案　2 解析　依題意得，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1截去四棱錐A－BEDC得到的，故其體積V＝223－2＝2. 12．已知三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______． 答案　 解析　連接BF，由題意，得△BCD為等腰直角三角形，E是外接圓的圓心． ∵點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F， ∴BF＝＝， ∴AF＝＝. 設(shè)球心O到平面BCD的距離為h，則1＋h2＝＋2，解得h＝， ∴外接球的半徑r＝＝， 故該三棱錐外接球的表面積為4π＝.