陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法 第一課時(shí)教案 北師大版選修2-2.doc

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1.4數(shù)學(xué)歸納法 教學(xué)目標(biāo): 1、知識(shí)與技能 (1)了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟。 (2)會(huì)證明簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。 2、過(guò)程與方法 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想。 3、情感態(tài)度價(jià)值觀(guān) 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意見(jiàn)和數(shù)學(xué)交流能力。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn): 教學(xué)重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)n（n取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 教學(xué)難點(diǎn): (1)學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。 (2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。 第1課時(shí) 教學(xué)過(guò)程： 一、課題引入： 1、“多米諾骨牌”游戲動(dòng)畫(huà)演示 2、舉例：如自行車(chē)賽中1人倒了，后面全倒了；古時(shí)候的烽火臺(tái)；過(guò)年，放鞭炮；祖輩姓王，子隨父姓，子子孫孫皆姓王。 3、分析條件，引導(dǎo)學(xué)生遷移、升華, 形成數(shù)學(xué)方法： ①第一塊骨牌倒下； ②任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 強(qiáng)調(diào)條件②的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。 二、探求新知： 提問(wèn)問(wèn)題1： （1）若骨牌有無(wú)數(shù)個(gè)，則滿(mǎn)足了（1）、（2）后，能保證所有的骨牌都倒下嗎？ （2）若將此骨牌問(wèn)題抽象為證明數(shù)學(xué)問(wèn)題p（n），該作何解釋?zhuān)? 經(jīng)過(guò)啟發(fā)誘導(dǎo)，得出數(shù)學(xué)歸納法及其證明題目的格式： 證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)命題的關(guān)鍵步驟如下： (1) 證明當(dāng)n=1(有時(shí)n的第一個(gè)值為)時(shí)結(jié)論正確；(歸納奠基) (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈，k≥) 時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確．（歸納遞推） 完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．有(1)無(wú)(2)是有源無(wú)水；有(2)無(wú)(1)是有水無(wú)源。 提出問(wèn)題2： 問(wèn)題（2）的處理：?jiǎn)l(fā)學(xué)生借助于特殊化、歸納總結(jié)，得到猜想： . 如何進(jìn)行證明呢？引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題. 三、實(shí)例應(yīng)用 例1、 證明：首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為 . 例 2、已知數(shù)列滿(mǎn)足，猜想的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 解析：由，得，，，。歸納上述結(jié)果，可猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想。 (1)當(dāng)時(shí)，，，結(jié)論成立； (2)假設(shè)時(shí)，命題成立，即成立。 那么，當(dāng)時(shí)，，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式成立。 根據(jù)(1)和(2)，可知對(duì)于任意正整數(shù)n都成立。 反思：證明命題也成立時(shí)，要有目標(biāo)意識(shí)，瞄準(zhǔn)目標(biāo)“拼湊”。 變形：數(shù)列滿(mǎn)足，，猜想的通項(xiàng) 公式并證明。（證明課后思考） 四、課堂練習(xí) 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，在驗(yàn)證時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為（ ） A. 1 B. C. D. 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從n=k到n=k+1，左端需要增加的代數(shù)式為（ ） A. B. C. D. 解析：B 3、若命題對(duì)n=k成立，則它對(duì)也成立，又已知命題成立，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 對(duì)所有自然數(shù)n都成立 B. 對(duì)所有正偶數(shù)n成立 C. 對(duì)所有正奇數(shù)n都成立 D. 對(duì)所有大于1的自然數(shù)n成立 解析：B 五、課堂小結(jié) 1、數(shù)學(xué)歸納法是一種利用有限證明無(wú)限的方法，它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟： 1驗(yàn)證n=n0（n0為命題允許的最小正整數(shù)）時(shí)，命題成立 2假設(shè)n=k（k≥n0）時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題成立， 由1和2對(duì)任意的n≥n0, n∈N* 命題成立。 兩個(gè)步驟缺一不可，否則結(jié)論不能成立； 3、在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，進(jìn)行恒等變換。