【滬科版】八年級上1224《分段函數(shù)》教案

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1、 第4課時 分段函數(shù) 定義：一般地，如果有實(shí)數(shù)a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函數(shù)Y與自變量X之間存在 k1x+b1 x≤a1 y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函數(shù)解析式，則稱該函數(shù)解析式為X的分段函數(shù)。 K3x+b3 a2≤x≤a3 ………… 應(yīng)該指出:(一), 函數(shù)解析式①這個整體只是一個函數(shù),并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等幾個不同函數(shù)的簡單組合,而k1x+b1, k2x+b2……是函數(shù)Y的幾種不同的表達(dá)式.。所以上例中Y=｛這個整體只是一個函數(shù)，不能認(rèn)為它是兩個不同的函數(shù)，只能說

2、110X和110×80%X是同一函數(shù)中的自變量X在兩種不同取值范圍內(nèi)的不同表達(dá)式。 (二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是實(shí)數(shù),所以函數(shù)Y在X的某個范圍內(nèi)的特殊函數(shù),如正比例 函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。 (三),由于問題的不同，當(dāng)然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內(nèi)不是一次函數(shù)而是其他形式的函數(shù)，在這里我們不予討論。 (四), 一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡單的分段函數(shù)。 分段函數(shù)應(yīng)用題 分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計成兩種情況以上，解答時需分段討論。在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計費(fèi)的實(shí)際問題，因此，分段計算的應(yīng)用題成了近幾年

3、中考應(yīng)用題的一種重要題型。 收費(fèi)問題與我們的生活息息相關(guān),如水費(fèi)問題、電費(fèi)問題、話費(fèi)問題等，這些收費(fèi)問題往往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費(fèi)方式.以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中，下面請看幾例. 一、話費(fèi)中的分段函數(shù) 例1 （四川廣元）某移動公司采用分段計費(fèi)的方法來計算話費(fèi)，月通話時間（分鐘）與相應(yīng)話費(fèi)（元）之間的函數(shù)圖象如圖1所示： （１）月通話為100分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)元； （２）當(dāng)x100時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式； 　　（3）月通話為280分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)多少元？ 圖1 分析：本題是一道和話費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題，通

4、過圖象可觀察到，在0到100分鐘之間月話費(fèi)y(元)是月通話時間x(分鐘)的正比例函數(shù),當(dāng)x100時, 月話費(fèi)y(元)是月通話時間x(分鐘)的一次函數(shù). 解：（1）觀察圖象可知月通話為100分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)40元； （2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b 由圖上知：x=100時,y=40；x=200時,時，y=60 則有　,解之得 所求函數(shù)關(guān)系式為.. （3）把x=280代入關(guān)系式,得 　即月通話為280分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)76元． 二、水費(fèi)中的分段函數(shù) 例2（廣東）某自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用水，采取了按月用水量分段收費(fèi)辦法，某戶居民應(yīng)交水費(fèi)y(元)與用水量x(

5、噸)的函數(shù)關(guān)系如圖2. (1) 分別寫出當(dāng)0x15和x15時,y與x的函數(shù)關(guān)系式; (2)若某戶該月用水21噸,則應(yīng)交水費(fèi)多少元? 分析:本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知, 0x15時y是x的正比例函數(shù); x≥15時,y是x的一次函數(shù). 解: (1)當(dāng)0x15時,設(shè)y=kx,把x=15,y=27代入,得27=15k,所以k=,所以y=x;當(dāng)x15時,設(shè)y=ax+b,將x=15,y=27和x=20,y=39.5代入,得 解得a=2.5,b=-10.5 所以y=2.5x-10.5

6、 圖2 (2) 當(dāng)該用戶該月用21噸水時, 三、電費(fèi)中分段函數(shù) 例3 (廣東)今年以來，廣東大部分地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y（元）與用電量x（度）的函數(shù)圖象是一條折線（如圖3所示），根據(jù)圖象解下列問題： （1）分別寫出當(dāng)0x100和x100時，y與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）利用函數(shù)關(guān)系式，說明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)； （3）若該用戶某月用電62度，則應(yīng)繳費(fèi)多少元？若該用戶某月繳費(fèi)105元時，則該用戶該月用了多少度電？ 圖3 分析:從函數(shù)

7、圖象上看圖象分為兩段,當(dāng)0x100時,電費(fèi)y是電量x的正比例函數(shù),當(dāng)x100時,y是x的一次函數(shù),且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(100,65)和(130,89),設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可確定函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可解決問題. 解: (1)設(shè)當(dāng)0x100時,函數(shù)關(guān)系式為y=kx,將x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x; 設(shè)當(dāng)x100時,函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b,將x=100,y=65和x=130,y=89代入,得 解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15 綜上可得 (2)用戶月用電量在0度到100度之間時,每度電的收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是0.65元;超出

8、100度時,每度電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是0.80元. (3)用戶月用電62度時,用戶應(yīng)繳費(fèi)40.3元,若用戶月繳費(fèi)105元時,該戶該月用了150度電. 分段函數(shù)，是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。 通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。下面我們歸納分析如下，供學(xué)習(xí)時參考。 1、二段型分段函數(shù) 1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù) 解答這類分段函數(shù)問題的關(guān)鍵,就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。 例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨(dú)裝修3天，剩下

9、的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成．工程進(jìn)度滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系，該家庭共支付工資8000元． （1）完成此房屋裝修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元？ 解析：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x， 因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（3，），所以，= k1×3，所以k1=，所以y=x，0＜x＜3 設(shè)一次函數(shù)的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常數(shù)） 因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（3，），（5，），所以， 由待定系數(shù)法得：，解得：． 一次函數(shù)的表達(dá)式為，所以，當(dāng)時，，解得 完成此房屋裝修共需9天。 方法2 解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的

10、效率是，乙工作的效率： 1、 乙合作的天數(shù)：（天） 甲先工作了3天，完成此房屋裝修共需9天 （2）由正比例函數(shù)的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是 ， 所以，甲9天完成的工作量是：， 甲得到的工資是：（元） 評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。 例2、一名考生步行前往考場， 10分鐘走了總路程的，估計步行不能準(zhǔn)時到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時間關(guān)系如圖2所示（假定總路程為1），則他到達(dá)考場所花的時間比一直步行提前了（ ） A．20分鐘 Ｂ．22分鐘 Ｃ．24分鐘 D．26分鐘

11、 解析：步行前往考場，是滿足正比例函數(shù)關(guān)系， 設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x， 因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（10，），所以，= k1×10，所以k1=，所以y=x，0＜x＜10 由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是， 所以，步行前往考場需要的時間是：1÷=40（分鐘）， 乘出租車趕往考場，是滿足一次函數(shù)關(guān)系， 所以，設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=k2x+b，（是常數(shù)）， 因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（10，），（12，），所以， 由待定系數(shù)法得：，解得：解得：， 一次函數(shù)的表達(dá)式為：，所以，乘出租車趕往考場用的時間是：x=÷，解得：x=6分鐘， 所以，先步行前往考場，后乘出租車趕往考場共

12、用時間為：10+6=16分鐘， 所以，他到達(dá)考場所花的時間比一直步行提前了：40-16=24（分鐘）， 故選C。 評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的行使速度。 例3、某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完．該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的市場銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖(3)中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖(4)中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系． （1）試寫出第一批產(chǎn)品A的市場日銷售量y與上市時間t的關(guān)系式； （2）第一批產(chǎn)品A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？

13、 解析： (1) 由圖3可得， 當(dāng)0≤t≤30時，市場日銷售量y與上市時間t的關(guān)系是正比例函數(shù)， 所以設(shè)市場的日銷售量：y=kt， ∵ 點(diǎn)（30，60）在圖象上， ∴60=30k． ∴ k=2．即 y=2t， 當(dāng)30≤t≤40時，市場日銷售量y與上市時間t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系， 所以設(shè)市場的日銷售量：y=k1t+b， 因?yàn)辄c(diǎn)（30，60）和（40，0）在圖象上， 所以， 解得k1=－6，b=240． ∴y=－6t+240． 綜上可知， 當(dāng)0≤t≤30時，市場的日銷售量：y=2t， 當(dāng)30≤t≤40時，市場的日銷售量：y=-6t+240。

14、(2) 由圖4可得， 當(dāng)0≤t≤20時，市場銷售利潤w與上市時間t的關(guān)系是正比例函數(shù)， 所以設(shè)市場的日銷售量：w=kt， ∵ 點(diǎn)（20，60）在圖象上， ∴60=20k． ∴ k=3．即 w=3t， 當(dāng)20≤t≤40時，市場銷售利潤w與上市時間t的關(guān)系是常數(shù)函數(shù)， 所以，w=60， ∴ 當(dāng)0≤t≤20時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=3t×2t =6t2； ∵k=6＞0，所以，m隨t的增大而增大， ∴ 當(dāng)t=20時，產(chǎn)品的日銷售利潤m最大值為：2400萬元。 當(dāng)20≤t≤30時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=60×2t =120t， ∵k=120＞0，所以，m隨t的增大而增

15、大， ∴當(dāng)t=30時，產(chǎn)品的日銷售利潤m最大值為：3600萬元； 當(dāng)30≤t≤40時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m＝60×(-6t+240)=-360t+14400； ∵k=-360＜0，所以，m隨t的增大而減小， ∴當(dāng)t＝30時，產(chǎn)品的日銷售利潤mm最大值為：3600萬元， 綜上可知，當(dāng)t＝30天時，這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元． 評析：本題不僅考查同學(xué)們對分段函數(shù)意義的理解，而且同時還考查了同學(xué)們對分類思想的掌握情況，和對一次函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用。 1.2一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù) 例4、為了鼓勵小強(qiáng)做家務(wù)，小強(qiáng)每月的費(fèi)用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動時間所得獎勵加

16、上基本生活費(fèi)從父母那里獲取的．若設(shè)小強(qiáng)每月的家務(wù)勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費(fèi)用為y元，則y（元）和x（小時）之間的函數(shù)圖像如圖5所示． （1）根據(jù)圖像，請你寫出小強(qiáng)每月的基本生活費(fèi)；父母是如何獎 勵小強(qiáng)家務(wù)勞動的？ （2）若小強(qiáng)5月份希望有250元費(fèi)用，則小強(qiáng)4月份需做家務(wù)多少時間？ 解：（1）從圖象上可知道，小強(qiáng)父母給小強(qiáng)的每月基本生活費(fèi)為150元 ； 當(dāng)0≤x≤20時，y（元）是x（小時）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k1x+150， 同時，圖象過點(diǎn)（20，200），所以，200=k1×20+150， 解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150， 當(dāng)

17、20＜x時，y（元）是x（小時）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k2x+b， 同時，圖象過點(diǎn)（20，200），（30，240）， 所以，， 解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120， 所以，如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動時間不超過20小時，每小時獲獎勵2.5元； 如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動時間超過20小時，那么20小時按每小時2.5元獎勵，超過部分按每小時4元獎勵 （2）從圖象上可知道，小強(qiáng)工作20 小時最多收入為200元，而5月份得到的費(fèi)用為250元，大于200元，所以說明4月小強(qiáng)的工作時間一定超過20小時，所以應(yīng)選擇分段函數(shù)中當(dāng)20＜x時的一段，所以，由題意得，， 解得：x=32.5

18、 答：當(dāng)小強(qiáng)4月份家務(wù)勞動32.5小時，5月份得到的費(fèi)用為250元． 評析：本題不僅考查同學(xué)們對分段函數(shù)意義的理解，而且同時還考查了同學(xué)們對分類思想的掌握情況，和對分段函數(shù)的選擇能力。 1.3常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù) 例5、有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖6所示；乙公司每月通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表1所示． （1）觀察圖6，甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應(yīng)付話費(fèi)金額是元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為元； （2）李女士買了一部手機(jī)，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪家通迅公

19、司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？ 解析：1）從圖6，可以看出，這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)， 當(dāng)0≤t≤100時，話費(fèi)金額y=20； 當(dāng)t＞100時，話費(fèi)金額y是通話時間t的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=kt+b， 且函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（100，20）和（200，40）， 所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t, 所以,甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應(yīng)付話費(fèi)金額是20元；當(dāng)甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為0.2元； 2)仔細(xì)觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費(fèi)y=0.15t+2.5, 當(dāng)0≤t≤100時，甲公司的話費(fèi)金額y=

20、20；乙公司通話收費(fèi)y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5, 所以,李女士如果月通話時間不超過100分鐘，她選擇乙通迅公司更合算； 因?yàn)椋?.15t+2.5=0.2t，所以，t=500， 所以，當(dāng)通話時間t=500分鐘時，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以； 因?yàn)椋?.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500， 所以，當(dāng)通話時間100＜t＜500分鐘時，選擇甲公司； 因?yàn)椋?.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500， 所以，當(dāng)通話時間t＞500分鐘時，選擇乙公司； 2、三段型分段函數(shù) 例6 如圖7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形的邊上

21、沿A→B→C→M運(yùn)動，則△APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（ ） 解析： 1）、當(dāng)0≤x≤1，y=×x×2=x；如圖8所示； 2）、當(dāng)1＜x≤3，y=1×2-××2-×（x-1）×1-××（3-x） =；如圖9所示； 3）當(dāng)3＜x≤3.5，y=×（-x）×2 =-x；如圖10所示； 所以C、D兩個選項是錯誤的，又因?yàn)楹瘮?shù)y=中的k=-＜0，所以直線整體應(yīng)該是分布在二、一、四象限，所以選項B也是錯誤的，所以選A。 評析：對于運(yùn)動型問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變

22、量x分別出圖形的面積。在表示面積時，要注意整體思想的運(yùn)用。 3、四段型分段函數(shù) 例7、星期天，小強(qiáng)騎自行車到郊外與同學(xué)一起游玩，從家出發(fā)2小時到達(dá)目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，小強(qiáng)離家4小時40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強(qiáng)，如圖11，是他們離家的路程y(千米)與時間x(時)的函數(shù)圖像。已知小強(qiáng)騎車的速度為15千米/時，媽媽駕車的速度為60千米/時。 (1)小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少？ (2)媽媽出發(fā)多長時間與小強(qiáng)相遇？ 解析： 1） 當(dāng)0≤x≤2，路程y(千米)是時間x(時)的正比例函數(shù)，且k=15，所以y=15x； 所以，當(dāng)x=2時，y=2×15=3

23、0，所以，小強(qiáng)家與游玩地的距離是30千米。 2） 當(dāng)2＜x≤5，路程y(千米)是時間x(時)的常數(shù)函數(shù)，所以y=30； 當(dāng)5＜x，路程y(千米)是時間x(時)的一次函數(shù)，且k=-15，所以，設(shè)y=-15x+b， 又圖象過點(diǎn)（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直線BD的解析式為：y=-15x+105； 仔細(xì)觀察圖象，可知道點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），且k=60，所以，設(shè)y=60x+b， 所以0=280+b，所以b=-280，所以直線CD的解析式為：y=60x-280； 設(shè)媽媽出發(fā)t小時出與小強(qiáng)相遇，所以，60 t -280=-15t+105， 解得，t=， 所以

24、，媽媽出發(fā)經(jīng)過：-=小時與小強(qiáng)相遇。 4、五段型分段函數(shù) 例8、小明同學(xué)騎自行車去郊外春游，下圖表示他離家的距離y（千米）與所用的時間x（小時）之間關(guān)系的函數(shù)圖象. （1）根據(jù)圖象回答：小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需幾小時？此時離家多遠(yuǎn)？ （2）求小明出發(fā)兩個半小時離家多遠(yuǎn)？ （3）求小明出發(fā)多長時間距家12千米？ 解：（1）由圖象可知小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需3小時；此時，他離家30千米 （2）設(shè)直線CD的解析式為y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30）， 代入得：y=15x-15（2≤x≤3） 當(dāng)x=2.5時，y=22.5（千米） 答：出發(fā)兩個半小時，小明離家22.5千米. （3）設(shè)過E、F兩點(diǎn)的直線解析式為y=k2x+b2， 由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)， 過A、B兩點(diǎn)的直線解析為y=k3x， ∵B（1，15）∴y=15x.(0≤x≤1) 分別令y=12，得x=（小時），x=（小時） 答：小明出發(fā)經(jīng)過小時或小時，離家12千米。 精品 Word 可修改 歡迎下載