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1、
學(xué)業(yè)分層測評(十九) 不等式的實際應(yīng)用
(建議用時：45分鐘)
[學(xué)業(yè)達標(biāo)]
一、選擇題
1．某出版社，如果以每本2.50元的價格發(fā)行一種圖書，可發(fā)行80 000本．如果一本書的定價每升高0.1元，發(fā)行量就減少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，這種書的最高定價應(yīng)當(dāng)是( )
A．2 B.3
C．4 D.5
【解析】 設(shè)這種書的最高定價應(yīng)當(dāng)為x元，
由題意得：80 000－×2 000×x≥200 000，
解得≤x≤4，所以最高定價為4元．
【答案】 C
2．某汽車運輸公司購買一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，
2、每輛車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N＋)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖3-4-3所示)，則每輛客車營運多少年，其營運的年平均利潤最大( )
圖3-4-3
A．3 B．4
C．5 D.6
【解析】 設(shè)y＝a(x－6)2＋11，將(4,7)代入求得a＝－1，
∴平均利潤為：＝＝－x－＋12≤－2×5＋12＝2，
當(dāng)x＝，即x＝5時，等號成立．
【答案】 C
3．某商品在最近30天內(nèi)的價格f(t)與時間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0＜t≤20，t∈N)；銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則使這種商
3、品日銷售金額不小于500元的時間t滿足( )
A．15≤t≤20 B．10≤t≤15
C．10＜t＜15 D.0＜t≤10
【解析】 由題意知日銷售金額為(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10 ≤t≤15.
【答案】 B
4．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件(x＞0)，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D.120件
【解析】 記平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和為f(x)，則f(x)＝
4、＝＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝80件(x＞0)時，f(x)取最小值，故選B.
【答案】 B
5．制作一個面積為1 m2，形狀為直角三角形的鐵支架框，有下列四種長度的鐵管供選擇，較經(jīng)濟(夠用，又耗材最少)的是( ) 【導(dǎo)學(xué)號：33300100】
A．4.6 m B．4.8 m
C．5 m D.5.2 m
【解析】 設(shè)直角三角形的一條直角邊為a，則另一條直角邊為，斜邊為.
∴周長l＝a＋＋
≥2＋2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝時取等號)
≈4.83.
【答案】 C
二、填空題
6．某地每年銷售木材約20萬m3，每m3價格為2 400元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的t%
5、征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少t萬m3.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是________．
【解析】 設(shè)按銷售收入的t%征收木材稅時，稅金收入為y萬元，則
y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
【答案】 [3,5]
7．現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)上需要含鹽5%以上、6%以下的食鹽水，設(shè)需要加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是________．
【解析】 依題意，得5%＜＜6%，
解得x的范圍是(100,400)．
【答案】 (100,400)
8．如
6、圖3-4-4，有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72 dm2(圖中陰影部分)，上下空白各寬2 dm，左右空白各寬1 dm，則四周空白部分面積的最小值是______dm2.
圖3-4-4
【解析】 設(shè)陰影部分的高為
x dm，則寬為 dm，四周空白部分的面積是y dm2.
由題意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝12 dm時等號成立．
【答案】 56
三、解答題
9．有一批貨物的成本為A元，如果本月初出售，可獲利100元，然后可將本利都存入銀行．已知銀行的月利息為2%，如果下月初出售，可獲利120元，但貨物貯存要付
7、5元保管費，試問是本月初還是下月初出售好？并說明理由．
【解】 若本月初出售到下月初獲利為m，下月初出售獲利為n.
則m＝(100＋A)×(1＋2%)＝102＋1.02A，
n＝120＋A－5＝115＋A，
故n－m＝13－0.02A，
①當(dāng)A＝650時，本月初、下月初出售獲利相同．
②當(dāng)A＞650時，n－m＜0即n＜m，本月初出售好．
③當(dāng)A＜650時，n＞m，下月初出售好．
10．某商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，求銷
8、售價每件應(yīng)定為多少元．
【解】 設(shè)銷售價定為每件x元，利潤為y，則：
y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依題意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件銷售價應(yīng)為12元到16元之間．
[能力提升]
1.在如圖3-4-5所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是( )
圖3-4-5
A．[15,20] B.[12,25]
C．[10,30] D.[20,30]
【解析】 設(shè)矩形的另一邊長為y m，
9、
則由三角形相似知，＝，
∴y＝40－x.
∵xy≥300，
∴x(40－x)≥300，
∴x2－40x＋300≤0，
∴10≤x≤30.
【答案】 C
2．某公司租地建倉庫，每月土地費用與倉庫到車站距離成反比，而每月貨物的運輸費用與倉庫到車站距離成正比．如果在距離車站10 km處建倉庫，則土地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元，那么要使兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站( )
A．5 km處 B．4 km處
C．3 km處 D.2 km處
【解析】 設(shè)倉庫建在離車站x km處，則土地費用y1＝(k1≠0)，運輸費用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入
10、得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故總費用y＝＋x≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝5時等號成立．
【答案】 A
3．有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升后再用水補滿，此時桶中的農(nóng)藥不超過容積的28%，則桶的容積的取值范圍是________．
【解析】 設(shè)桶的容積為x升，那么第一次倒出8升純農(nóng)藥液后，桶內(nèi)還有(x－8)(x＞8)升純農(nóng)藥液，用水補滿后，桶內(nèi)純農(nóng)藥液的濃度為.
第二次又倒出4升藥液，則倒出的純農(nóng)藥液為升，
此時桶內(nèi)有純農(nóng)藥液升．
依題意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x＞0，因而原不等式化簡為
9x2－150x＋400≤0，
即(3x
11、－10)(3x－40)≤0.
解得≤x≤.
又∵x＞8，∴8＜x≤.
【答案】
4．(2016·山東省萊州一中月考)如圖3-4-6所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過點C，已知AB＝3米，AD＝2米．
圖3-4-6
(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
(2)當(dāng)DN的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最??？并求出最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：33300101】
【解】 (1)設(shè)DN的長為x(x＞0)米，
則|AN|＝(x＋2)米．
∵＝，
∴|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
由S矩形AMPN＞32，得＞32.
又由x＞0，得3x2－20x＋12＞0，
解得0＜x＜或x＞6.
即DN的長的取值范圍是∪(6，＋∞)．
(2)由(1)知，矩形花壇AMPN的面積為
S矩形AMPN＝＝
＝3x＋＋12(x＞0)≥2＋12＝24.
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝2時，矩形花壇的面積最小為24平方米.
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