新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第四章 :第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用突破熱點(diǎn)題型

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算   [例1] (1)(2013·湖北高考)已知點(diǎn)A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為(  ) A. B. C.- D.- (2)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若·=,則·的值是________. [自主解答] (1)∵A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4), ∴=(2,1),=(5,5), 因此cos〈

2、,〉==, ∴向量在方向上的投影為||·cos〈,〉=×=. (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,則B(,0),E(,1),D(0,2),C(,2).設(shè)F(x,2)(0≤x≤),由·=?x=?x=1,所以F(1,2),·=(,1)·(1-,2)=. [答案] (1)A (2) 【互動探究】 在本例(2)中,若四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn),求·的值及·的最大值. 解: 以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則正方形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1),設(shè)E(a

3、,0),0≤a≤1. ·=(a,-1)·(0,-1)=a×0+(-1)×(-1)=1. ·=(a,-1)·(1,0)=a+(-1)×0=a≤1,故·的最大值為1.      【方法規(guī)律】 平面向量數(shù)量積的類型及求法 (1)平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式:一是夾角公式a·b=|a||b|cos θ;二是坐標(biāo)公式a·b=x1x2+y1y2. (2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí),可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡. 1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足條件(8a-b)·c=30,則x=________. 解析:∵a=(1,1),b=(2

4、,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又c=(3,x), ∴(8a-b)·c=18+3x=30, ∴x=4. 答案:4 2.已知e1,e2是夾角為的兩個單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a·b=0,則實(shí)數(shù)k的值為________. 解析:∵e1,e2的模為1,且其夾角θ=. ∴a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2) =ke+e1·e2-2ke1·e2-2e =k+(1-2k)cos-2 =2k-. 又∵a·b=0,∴2k-=0,即k=. 答案: 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 平面向量的夾角與模的問題    1.平面

5、向量的夾角與模的問題是高考中的??純?nèi)容,題型多為選擇題、填空題,難度適中,屬中檔題. 2.高考對平面向量的夾角與模的考查常有以下幾個命題角度: (1)求兩向量的夾角; (2)兩向量垂直的應(yīng)用; (3)已知數(shù)量積求模; (4)知模求模. [例2] (1)(2013·湖南高考)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為(  ) A.-1 B. C.+1 D.+2 (2)(2013·安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,則a與b夾角的余弦值為________. (3)(2013·

6、山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若∠ABO=90°,則實(shí)數(shù)t的值為________. (4)(2013·天津高考)在平行四邊形ABCD中, AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若·=1, 則AB的長為________.[來源:數(shù)理化網(wǎng)] [自主解答] (1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,由題意知a⊥b,且a與b是單位向量, ∴可設(shè)=a=(1,0),=b=(0,1),=c=(x,y). ∴c-a-b=(x-1,y-1), ∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1,即點(diǎn)C(x,y)的軌跡是以M(1,1)為圓心,1為半徑的

7、圓. 而|c|=,∴|c|的最大值為|OM|+1,即|c|max=+1. (2)由|a|=|a+2b|,兩邊平方,得|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b,所以a·b=-|b|2. 又|a|=3|b|,所以cos〈a,b〉==-=-. (3) =+=(1,-t)+(2,2)=(3,2-t).[來源:] ∵∠ABO=90°,∴·=0,即2×3+2·(2-t)=0, ∴t=5. (4)法一:由題意可知,=+,=-+.因?yàn)椤ぃ?,所以(+)·=1, 即2+·-2=1. 因?yàn)閨|=1,∠BAD=60°, 所以||=,即AB的長為. 法二:以A為原點(diǎn),AB為x

8、軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,過D作DM⊥AB于點(diǎn)M.由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=. 設(shè)|AB|=m(m>0),則B(m,0),C,D. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以E. 所以=,=. 由·=1,可得+=1, 即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或. 故AB的長為. [答案] (1)C (2)- (3)5 (4) 平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略 (1)求兩向量的夾角.cos θ=,要注意θ∈[0,π]. (2)兩向量垂直的應(yīng)用.兩非零向量垂直的充要條件是:a⊥b?a·b=0?|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模.利用數(shù)量積求解長

9、度問題的處理方法有: ①a2=a·a=|a|2或|a|=. ②|a±b|==. ③若a=(x,y),則|a|=. 1.若a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于(  ) A.- B. C. D. 解析:選C 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3), a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)·(a-b)=9, |2a+b|=3,|a-b|=3. 設(shè)所求兩向量夾角為α, 則cos α==,又α∈[0,π],故α=. 2.已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b

10、垂直,則k=________. 解析:∵a與b是不共線的單位向量,∴|a|=|b|=1. 又ka-b與a+b垂直,∴(a+b)·(ka-b)=0, 即ka2+ka·b-a·b-b2=0. ∴k-1+ka·b-a·b=0, 即k-1+kcos θ-cos θ=0(θ為a與b的夾角). ∴(k-1)(1+cos θ)=0, 又a與b不共線, ∴cos θ≠-1,∴k=1. 答案:1 3.已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α⊥(α-2β),則|2α+β|的值為________. 解析:∵β=(2,0),∴|β|=2, 又α⊥(α-2β), ∴α·(α-2β)=

11、α2-2α·β=1-2α·β=0. ∴α·β=. ∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=10. ∴|2α+β|=. 答案: 考點(diǎn)三 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用   [例3] (2013·江蘇高考)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|=,求證:a⊥b; (2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. [自主解答] (1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b

12、. (2)因?yàn)閍+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以 由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=. [來源:] 【方法規(guī)律】 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的命題形式與解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解. (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的?;蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式,解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)

13、在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等. 設(shè)向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan αtan β=16,求證:a∥b. 解:(1)由a與b-2c垂直, 得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0, 即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2. (2)b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), |b+c|2=sin2β+2sin βcos β+cos2β+16cos2β-3

14、2cos βsin β+16sin2β=17-30sin βcos β=17-15sin 2β,故最大值為32,所以|b+c|的最大值為4.[來源:] (3)證明:由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,即 4cos α·4cos β-sin αsin β=0,所以a∥b. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個條件——兩個非零向量垂直的充要條件  兩個非零向量垂直的充要條件為:a⊥b?a·b=0.[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 2個結(jié)論——與向量夾角有關(guān)的兩個結(jié)論 (1)若a·b>0,則a與b的夾角為銳

15、角或0°; (2)若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角或180°. 4個注意點(diǎn)——向量運(yùn)算中應(yīng)注意的四個問題 (1)在求△ABC的三邊所對應(yīng)向量的夾角時(shí),要注意是三角形的內(nèi)角還是外角.如在等邊△ABC中,與的夾角應(yīng)為120°而不是60°. (2)在平面向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從a·b=0推出a=0 或b=0成立.實(shí)際上由a·b=0可推出以下四種結(jié)論:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b. (3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律:若bc=ca,c≠0,則有b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若a·b=a·c(a≠0),則不一定得到b=c. (4)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.

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