高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第3章 第65課 課時(shí)分層訓(xùn)練9

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(九) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．已知點(diǎn)A(－1,0)，點(diǎn)B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足AC＝AB，求點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程． [解]　由題意可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以(－1,0)為圓心，3為半徑長(zhǎng)的圓，方程為(x＋1)2＋y2＝9. 設(shè)M(x0，y0)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得 C(2x0－1,2y0－4)， 代入點(diǎn)C的軌跡方程得4x＋4(y0－2)2＝9， 化簡(jiǎn)得x＋(y0－2)2＝， 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋(y－2)2＝. 2．動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點(diǎn)P的軌跡方程，并討論軌跡

2、是什么曲線. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172348】 [解]　設(shè)點(diǎn)P(x，y)， 則kAP＝，kBP＝. 由題意得·＝k，即kx2－y2＝ka2. 所以點(diǎn)P的軌跡方程為kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*) (1)當(dāng)k＝0時(shí)，(*)式即y＝0，點(diǎn)P的軌跡是直線AB(除去A，B兩點(diǎn))． (2)當(dāng)k≠0時(shí)，(*)式即－＝1， ①若k>0，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去A，B兩點(diǎn))． ②若k<0，(*)式可化為＋＝1. 當(dāng)－1

3、，B兩點(diǎn))； 當(dāng)k<－1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去A，B兩點(diǎn))． 3．如圖65-3所示，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t2,1

4、，故y＝1－.④ 將④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此點(diǎn)M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0)． 4．在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P在x軸上的正投影為點(diǎn)D.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M滿足＝2，動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)已知點(diǎn)E(1,0)，若A，B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足EA⊥EB，求·的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172349】 [解]　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,0)． 由＝2，得x0＝x，y0＝2y. 因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上， 所以x＋y＝4.

5、① 把x0＝x，y0＝2y代入方程①， 得x2＋4y2＝4. 所以曲線C的方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)镋A⊥EB，所以·＝0. 所以·＝·(－)＝2. 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，則＋y＝1，即y＝1－. 所以·＝2＝(x1－1)2＋y ＝x－2x1＋1＋1－＝x－2x1＋2 ＝2＋. 因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y1)在曲線C上，所以－2≤x1≤2. 所以≤2＋≤9， 所以·的取值范圍為. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．如圖65-4，已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·＝·.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程． 圖65

6、-4 [解]　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡(jiǎn)得C：y2＝4x. 2．已知雙曲線－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同于A1，A2的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡方程． [解]　由題設(shè)知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，則有 直線A1P的方程為y＝(x＋)，① 直線A2Q的方程為y＝(x－)，② 聯(lián)立①②，解得∴③ ∴x≠0，且|x|<.∵點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線－y2＝1上，∴－y＝1. 將③代入上式，整理得所求軌跡的

7、方程為＋y2＝1(x≠0，且x≠±)． 3．已知圓C的方程為x2＋y2＝4. (1)直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若AB＝2，求直線l的方程； (2)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M(不在x軸上)作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量＝＋，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明此軌跡是什么曲線． [解]　(1)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線方程為x＝1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)和(1，－)，距離為2，滿足題意． 若直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)， 即kx－y－k＋2＝0.設(shè)圓心到此直線的距離為d， 則2＝2，得d＝1，所以＝1，解得k＝， 故所求直線方程

8、為3x－4y＋5＝0. 綜上所述，所求直線l的方程為3x－4y＋5＝0或x＝1. (2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)(y0≠0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 則N點(diǎn)坐標(biāo)是(0，y0)．因?yàn)椋剑? 所以(x，y)＝(x0,2y0)，即x0＝x，y0＝. 又因?yàn)镸是圓C上一點(diǎn)， 所以x＋y＝4， 所以x2＋＝4(y≠0)， 所以Q點(diǎn)的軌跡方程是＋＝1(y≠0)， 這說(shuō)明軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8、短軸長(zhǎng)為4的橢圓，且除去短軸端點(diǎn)． 4．已知點(diǎn)A(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足·＝2||. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)在直線l：y＝2x＋2上取一點(diǎn)

9、Q，過(guò)點(diǎn)Q作軌跡C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.問(wèn)：是否存在點(diǎn)Q，使得直線MN∥l？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． [解]　(1)設(shè)P(x，y)，則＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)，＝(2,0)． 由·＝2||，得2(x＋1)＝2，化簡(jiǎn)得y2＝4x. 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x. (2)直線l的方程為y＝2(x＋1)，設(shè)Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 過(guò)點(diǎn)M的切線方程設(shè)為x－x1＝m(y－y1)，代入y2＝4x，得y2－4my＋4my1－y＝0. 由Δ＝16m2－16my1＋4y＝0，得m＝，所以過(guò)點(diǎn)M的切線方程為y1y＝2(x＋x1)．同理過(guò)點(diǎn)N的切線方程為y2y＝2(x＋x2)． 因?yàn)镼(x0，y0)在切線上，所以所以點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)在直線yy0＝2(x0＋x)上，所以直線MN的方程為y0y＝2(x0＋x)． 又MN∥l，所以＝2，即y0＝1，而y0＝2(x0＋1)，所以x0＝－，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.