數學分析1期末考試講解.doc

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《數學分析Ⅰ》題目講解 一、 單項選擇題（每小題2分，共14分） 1、設數列滿足且，則為【 】 A、0 B、1 C、 D、2 2、已知 則是的【 】 A、第一類不連續(xù)點 B、第二類不連續(xù)點 C、連續(xù)點 D、可去不連續(xù)點 3、已知，則在處【 】 A、左可導 B、右可導 C、可微 D、不連續(xù) 4、若存在，下列說法一定正確的是【 】 A、在的任一鄰域內有界 B、在的某一鄰域內無界 C、在的某一鄰域內有界 D、在的任一鄰域內無界 5、若在處連續(xù)，并且，則【 】 A、且存在 B、且存在 C、且存在 D、且存在 6、若在點處存在左、右導數，則在點處必然【 】 A、可導 B、不可導 C、連續(xù) D、不連續(xù) 7、下列敘述錯誤的是【 】 A、若在點可導，則在點可微； B、若在點可導，則在點連續(xù)； C、若在點可導，則； D、設在點可導，則是極值點當僅當. 參考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 二、填空題（每小題3分，共21分） 1、 2、曲線上平行于直線的切線的方程為 3、設，則 4、曲線的斜漸近線為 5、函數的極小值點 ______ _ 6、已知當時與等價，則 7、 參考答案： 1. ； 2. ； 3. 5； 4. ； 5. 4； 6. 1； 7. 三、計算題（每小題6分，共36分） 1、計算. 1、計算 解：設，由于 ， ， ，（4分） 由夾逼性，，即原極限為1。（6分） 2. 求極限 3. 已知任意次可微，求的二階微分. 3. 已知任意次可微，求的. 解：令，則， （2分） 所以， （6分） 4. 求方程所確定的函數的導數. 4.求方程所確定的函數的導數. 5. 設，求. 解：對等式兩端取對數，，（1分）再對上式兩端分別求導， （4分） （5分） 所以， 6. 求由方程所確定的函數的微分. 解：在方程兩端對求導，得 . （3分） 解此方程，得。 （4分） 所以，。 （6分） 四、綜合題（3小題，共29分） 1. 敘述證明題（4小題，共14分） （1）敘述（有限）的定義；（3分） （2）敘述數列的柯西（Cauchy）收斂原理；（3分） （3）敘述在區(qū)間內一致連續(xù)的定義；（3分） （4）證明在上一致連續(xù)。（5分） 解：（1）（有限）的定義：對任意給定的，存在正整數，當時，有。 （3分） （2）數列的柯西（Cauchy）收斂原理：數列收斂的充要條件是是一個基本數列。（3分） （3）在區(qū)間內一致連續(xù)的定義：若在區(qū)間內滿足對任意的，存在，使得對內任意兩點與，當時，總有，則稱在區(qū)間內一致連續(xù)。 （3分） （4）證明：對任意，由于 故對任意的，取，則對內任意兩點與，當時，總有，即在上一致連續(xù)。 （5分） 2. 證明：當時，.（7分） 證明：（1）證明. 根據Lagrange中值定理， （2分）由于，所以。 （3分） （2）證明. 令，則 ，（2分）當時，，嚴格單調遞減，由，知，從而。 （4分） 3. 設在區(qū)間可導，且，，證明： （1）存在使得；（5分） （2）在內至少有兩個零點。（3分） 證明：（1）由，存在，使當時，有，此時，。在中去一點，有；由，存在，使當時，有，此時，。在中去一點，有。（3分）于是，。由在可導，在連續(xù)，由中間值定理，存在，使得。（5分） （2）由羅爾（Rolle）定理，在內至少存在一點使得，在內至少存在一點使得。故在內至少有兩個零點。（8分）