《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第34講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

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1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座34）—直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一．課標(biāo)要求： 1．通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想； 2．掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。 二．命題走向 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點(diǎn)、弦長等。分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對稱的方法及韋達(dá)定理等。 預(yù)測07年高考： 1．會出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題； 2．與直線、圓錐曲線相

2、結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標(biāo)軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)。 三．要點(diǎn)精講 1．點(diǎn)M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系 2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只

3、有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為： 注意：直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 3．直線與圓錐曲線相交的弦長公式 設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 則弦長公式為： d====。 焦點(diǎn)弦長：（點(diǎn)是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，是到相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線的距離，是離心率）。 四．典例解析 題型1：直線與橢圓的位置關(guān)系 例1．已知橢圓：，過左焦點(diǎn)F作傾

4、斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長。 解析：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。 由題意知：與聯(lián)立消去y得：。 設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，，，又因?yàn)锳、B、F都是直線上的點(diǎn)， 所以|AB|= 點(diǎn)評：也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計(jì)算。 例2．中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。 解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由F1（0，）得 把直線方程代入橢圓方程整理得：。 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： ，又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為：。 點(diǎn)評：根據(jù)題意，可設(shè)橢

5、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由F1（0，）知，c=，，最后解關(guān)于a、b的方程組即可。 例3．（06遼寧卷）直線與曲線 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：將代入得：。 ，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè)，故選擇答案D。 點(diǎn)評：本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時(shí)對二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡單的考查。 例4．（2000上海，17）已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1（，0）和F2（2，0

6、），長軸長為6，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。 解析：設(shè)橢圓C的方程為， 由題意a=3，c=2，于是b=1. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1． 由得10x2＋36x＋27＝0， 因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式Δ＞0，所以直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 則x1＋x2＝， 故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）． 點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。 題型2：直線與雙曲線的位置關(guān)系 例5．（1）過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。 （2）直線與雙曲線相交于A、B

7、兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？ 解析：（1）解：若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件； 若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為則， ， ∴， ， 當(dāng)時(shí)，方程無解，不滿足條件； 當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿足條件； 當(dāng)時(shí)，令， 化簡得：無解，所以不滿足條件； 所以滿足條件的直線有兩條和。 （2）把代入整理得：……（1） 當(dāng)時(shí)，。 由>0得且時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。 若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。 故當(dāng)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。 點(diǎn)評：與雙曲

8、線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。 例5．（1）求直線被雙曲線截得的弦長； （2）求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。 解析：由得得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則有 得， （2）方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應(yīng)的中點(diǎn)為， 由得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則， ∴， 且， ∴， 得或。 方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則 得：， ∴， 即， 即（圖象的一部分） 點(diǎn)評：（1）弦長公式；（2）

9、有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法。 例7．過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。 解析：設(shè)雙曲線的方程為，，漸近線，則過的直線方程為，則， 代入得， ∴即得， ∴，即得到。 點(diǎn)評：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。 題型3：直線與拋物線的位置關(guān)系 例8．已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。 解析：設(shè)與拋物線交于 由距離公式|AB|== 由 從而由于p>0，解得 點(diǎn)評：方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交；有兩組

10、相同實(shí)數(shù)解則相切；無實(shí)數(shù)解則相離。 例9．2003上海春，4）直線y=x－1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____. 答案：（3，2） 解法一：設(shè)直線y=x－1與拋物線y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中點(diǎn)為P（x0，y0）。 由題意得，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0。 ∴x0==3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）。 解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1， =4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。 故中點(diǎn)為P（3，2）。 點(diǎn)評：本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐

11、標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。 例10．（1997上海）拋物線方程為y2=p（x+1）（p＞0），直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊. （1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q、R，OQ⊥OR，求p關(guān)于m的函數(shù)f（m）的表達(dá)式； （3）（文）在（2）的條件下，若拋物線焦點(diǎn)F到直線x+y=m的距離為，求此直線的方程； （理）在（2）的條件下，若m變化，使得原點(diǎn)O到直線QR的距離不大于，求p的值的范圍. 解：（1）拋物線y2=p（x+1）的準(zhǔn)線方程是x=－1－，直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)為（m，0），由題設(shè)交點(diǎn)在準(zhǔn)線右邊，得m＞－1－，即4m+p

12、+4＞0. 由 得x2－（2m+p）x+（m2－p）=0. 而判別式Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）. 又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0. 因此，直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m+p）x+m2－p=0的兩根， ∴x1+x2=2m+p，x1·x2=m2－p. 由OQ⊥OR，得kOQ·kOR=－1， 即有x1x2+y1y2=0. 又Q、R為直線x+y=m上的點(diǎn)， 因而y1=－x1+m，y2=－x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+

13、x2）+m2=2（m2－p）－m（2m+p）+m2=0， ∴p=f（m）=， 由得m＞－2，m≠0； （3）（文）由于拋物線y2=p（x+1）的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（－1+，0），于是有 ，即|p－4m－4|=4. 又p= ∴||=4. 解得m1=0，m2=－，m3=－4，m4=－. 但m≠0且m＞－2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直線方程為3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原點(diǎn)O到直線x+y=m的距離不大于，于是 ，∴|m|≤1. 由（2），知m＞－2且m≠0， 故m∈［－1，0）∪（0，1］. 由（2），知f（m）==（m+2）+－4， 當(dāng)m∈［－1，0）時(shí)，任

14、取m1、m2，0＞m1＞m2≥－1，則 f（m1）－f（m2）=（m1－m2）+（） =（m1－m2）［1－］. 由0＞m1＞m2≥－1，知0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1－＜0. 又由m1－m2＞0知f（m1）＜f（m2）因而f（m）為減函數(shù). 可見，當(dāng)m∈［－1，0）時(shí)，p∈（0，1］. 同樣可證，當(dāng)m∈（0，1］時(shí)，f（m）為增函數(shù)，從而p∈（0，］. 解法二：由解法一知，m∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知 p=f（m）=. 設(shè)t=，g（t）=t+2t2，則t∈（－∞，－1］∪［1，+∞），又 g（t）=2t2+t=2（t+）2－. ∴當(dāng)t∈（－∞，－1］

15、時(shí)，g（t）為減函數(shù)，g（t）∈［1，+∞）. 當(dāng)t∈［1，+∞）時(shí)，g（t）為增函數(shù)，g（t）∈［3，+∞）. 因此，當(dāng)m∈［－1，0］時(shí)，t∈（－∞，－1］，p=∈（0，1］； 當(dāng)m∈（0，1］時(shí)，t∈［1，+∞），p∈（0，］. 點(diǎn)評：本題考查拋物線的性質(zhì)與方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。 例11．（06山東卷）已知拋物線y2=4x，過點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 。 解析：顯然30，又＝4（）38，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以所求的值

16、為32。 點(diǎn)評：該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題，結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。 五．思維總結(jié) 1．加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí) 由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長、垂直問題，因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。而不求法與弦長公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣就加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)各種能力的考查； 2．關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識會化難為

17、易，化繁為簡，收到意想不到的解題效果； 3．直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法； 4．當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí) 涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍； 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座29）—等比數(shù)列 一．課標(biāo)要求：

18、 1．通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念； 2．探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識為工具。 預(yù)測07年高考對本講的考察為： （1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1~2道客觀題目； （2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點(diǎn)； （

19、3）解決問題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。 三．要點(diǎn)精講 1．等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：數(shù)列對于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零） 2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。 說明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比

20、數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。 3．等比中項(xiàng) 如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。 4．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。 說明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。 四．典例解析 題型1：等比數(shù)列的概念 例1．“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是

21、2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。 命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 命題2中可知an+1=an×，an+1an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題3中，若a=b=0，c∈R，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。 點(diǎn)評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)

22、等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 例2．命題1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； 命題2：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a≠0)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列； 命題3：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na－n，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當(dāng)b=－1且a≠0時(shí)，此數(shù)列才是等

23、比數(shù)列。 由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差數(shù)列，則a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。 由命題3得，a1=a－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=a－1，顯然{an}是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a－1≠0；即a≠1時(shí)數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。 點(diǎn)評：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個(gè)命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個(gè)命題都不是真命題，選

24、擇A。 題型2：等比數(shù)列的判定 例3．（2000全國理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且數(shù)列｛cn＋1－pcn｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（Ⅱ）設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列。 解析：（Ⅰ）解：因?yàn)椋鹀n＋1－pcn｝是等比數(shù)列， 故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1）， 將cn＝2n＋3n代入上式，得： ［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］， 即［（2－p）2n＋（

25、3－p）3n］2 ＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］， 整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3。 （Ⅱ）證明：設(shè)｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn。 為證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3。 事實(shí)上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq， c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2）， 由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零， 因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比數(shù)

26、列。 點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。 例4．（2003京春，21）如圖3—1，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的圖3—1 內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N*），證明{an}是等比數(shù)列； 證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比數(shù)列。 點(diǎn)評：該題考察實(shí)際問題的判定，需要對實(shí)際問題情景進(jìn)行分析，最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。 題型3：等

27、比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用 例5．一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。 解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2； 則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)； 解得a=2，q=3或a=，q=－5； 故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，－，。 點(diǎn)評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。 例6．（2006年陜西卷）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)

28、列，求數(shù)列的通項(xiàng) 解析：∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2)。 當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴a1≠3； 當(dāng)a1=2時(shí),，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3。 點(diǎn)評：該題涉及等比數(shù)列的

29、求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 題型4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例7．（1）（2006年遼寧卷）在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． （2）（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ） A． B． C． D． （3）（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列， 則 即，所以，故選擇答案C。 （2）D； （3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9

30、=9a1。 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q≠1。 由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，從而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－。 點(diǎn)評：對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可。 例8．（1）（2002江蘇，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分別求出｛an｝及｛bn｝的前10項(xiàng)的和S10及T10； （2）（2001全國春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1

31、，a2，a3……，an，使這n＋2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，……，bn，使這n＋2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An＝a1a2a3……an，Bn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛An｝和｛Bn｝的通項(xiàng)； （Ⅱ）當(dāng)n≥7時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。 （3）（2002天津理，22）已知｛an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1＝0，a2＝3， an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…． （Ⅰ）求a3； （Ⅱ）證明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…； （Ⅲ）求｛an｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。 解析：（1

32、）∵｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列， ∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32． 已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3， ∴b3＝2a3，a3＝b32． 得 b3＝2b32． ∵b3≠0 ∴b3＝，a3＝． 由a1＝1，a3＝知｛an｝的公差為d＝， ∴S10＝10a1＋． 由b1＝1，b3＝知｛bn｝的公比為q＝或q＝． 當(dāng)q＝時(shí)，， 當(dāng)q＝時(shí)，。 （2）（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，……，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，……，bn，2。 則A1＝a1＝1·q A2＝1·q·1·q2 A3＝1·q·1·q2·1·q3 又∵an＋2

33、＝1·qn＋1＝2得qn＋1＝2， An＝q·q2…qn＝q（n＝1，2，3…） 又∵bn＋2＝1＋（n＋1）d＝2 ∴（n＋1）d＝1 B1＝b1＝1＋d B2＝b2＋b1＝1＋d＋1＋2d Bn＝1＋d＋…＋1＋nd＝n （Ⅱ）An＞Bn，當(dāng)n≥7時(shí) 證明：當(dāng)n＝7時(shí)，23．5＝8·＝An Bn＝×7，∴An＞Bn 設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，An＞Bn，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 又∵Ak+1＝· 且Ak＞Bk ∴Ak＋1＞·k ∴Ak＋1－Bk＋1＞ 又∵k＝8，9，10… ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，綜上所述，An＞Bn成立. （3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得a3a4＝10，且a

34、3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10． 若a3＝1，則a4＝10，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝5，則a4＝2，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝10，則a4＝1，a5＝60，a6＝，與題設(shè)矛盾. 所以a3＝2. （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝3，a3＝a1＋2，等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時(shí)等式成立，即ak＝ak－2＋2,由題設(shè)ak＋1ak＝（ak－1＋2）·（ak－2＋2），因?yàn)閍k＝ak－2＋2≠0，所以ak＋1＝ak－1＋2， 也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式ak＋1＝ak－1＋2成立； 根據(jù)①和②，對于所有n≥3，有an+1=an－1+2

35、。 （Ⅲ）解：由a2k－1＝a2（k－1）－1＋2，a1＝0，及a2k＝a2（k－1）＋2，a2＝3得a2k－1＝2（k－1），a2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…，即an＝n＋（－1）n，n＝1，2，3，…。 所以Sn＝ 點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問題的能力。 題型5：等比數(shù)列的性質(zhì) 例9．（1）（2005江蘇3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前三項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝（ ） （A）33 （B）72 （C）84 （D）189 （2）（2000上海，

36、12）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0，則有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9＝1，則有等式 成立。 解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。 （2）答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）； 解：在等差數(shù)列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a2

37、0－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， 所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1 ∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n， 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n， 相應(yīng)地等比數(shù)列｛bn｝中，則可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。 點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。 例10．（1）設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6

38、560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。 （2）在和之間插入n個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積。 （3）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，依題意設(shè)：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。 ∵S2n≠2Sn ，∴q≠1； 從而 =80，且=6560。 兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。 ∴a1=q－1＞0 即q＞1,

39、從而等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)。 ∴a1qn-1=54,從而(q－1)qn-1=qn-qn-1=54。 ∴qn-1=81－54=27 ∴q==3。 ∴a1=q－1=2 故此數(shù)列的首為2，公比為3。 （2）解法1：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，且公比為q， 則 。 解法2：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為， 。 （3）解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*， 依題意有：， 化簡得， 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1) =nlga1+n(n－1)·lgq

40、=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3 =(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大， 而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大， 解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg， ∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列， 令lgan≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0， ∴n≤=5.5， 由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大。 點(diǎn)評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法

41、利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。 題型6：等差、等比綜合問題 例11．（2006年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。 (Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比； (Ⅱ)對給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項(xiàng)之和。 解析：(Ⅰ)依題意可知：， (Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差，,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。 點(diǎn)評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣

42、是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an·an＋2＝來判斷； （2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1·qn－1； （3）對于G 是a、b 的等差中項(xiàng)，則G2＝ab，G＝±； （4）特別要注意等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為q＝1與q≠1兩類，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，Sn＝。 2．等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列； ②等比中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 3．等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有； ②對于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。 ③若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列。 如下圖所示： 第 22 頁 共 22 頁