高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第26課 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用

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1、 第26課 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì) √ 1．y＝Asin (ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí) 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示 x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由y＝

2、sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖象 先平移后伸縮　　　　　　　　先伸縮后平移 ?　　　　　　　　　　　　? 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長(zhǎng)度一致．(　　) (2)將y＝3sin 2x的圖象左移個(gè)單位后所得圖象的解析式是y＝3sin.(　　) (3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱軸間的距離為一個(gè)周期．(　　) (4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T(mén)，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之

3、間的距離為.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)電流I(單位：A)隨時(shí)間t(單位：s)變化的函數(shù)關(guān)系式是I＝5sin，t∈[0，＋∞)，則電流I變化的初相、周期分別是________． ，　[由初相和周期的定義，得電流I變化的初相是，周期T＝＝.] 3．(2017·如皋市高三調(diào)研一)將函數(shù)f(x)＝sin的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為_(kāi)_______． f(x)＝－cos 2x　[f(x)＝siny＝sin＝sin＝－cos 2x.] 4．將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則|φ|的最小

4、值為_(kāi)_______． 　[把函數(shù)y＝sin(2x＋φ)沿x軸向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)y＝sin 2＝sin為偶函數(shù)，則|φ|的最小值是.] 5．若函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖26-1，則ω＝________. 圖26-1 4　[由圖象可知，＝x0＋－x0＝， 所以T＝＝，所以ω＝4.] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換 　已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. (1)畫(huà)出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖； (2)將函數(shù)y＝sin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172143】 [解]　(1)列表取

5、值： x π π π π x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連結(jié)，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖． (2)先把y＝sin x的圖象向右平移個(gè)單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到f(x)的圖象． [規(guī)律方法]　1.變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用ωx＋φ＝ω確定平移單位． 2．用“五點(diǎn)法”作圖，關(guān)鍵是通過(guò)變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，描點(diǎn)得出圖象．如果在限定的區(qū)間內(nèi)作圖象，還

6、應(yīng)注意端點(diǎn)的確定． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y＝sin x－cos x的圖象可由函數(shù)y＝2sin x的圖象至少向右平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到． (2)(2017·蘇北四市聯(lián)考)將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位，若所得的圖象過(guò)點(diǎn)，則φ的最小值為_(kāi)_______． (1)　(2)　[(1)∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函數(shù)y＝sin x－cos x的圖象可由函數(shù)y＝2sin x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到． (2)函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ(φ＞0)個(gè)單位，則y＝sin(2x＋2φ)，由＝sin得， ＋2φ＝＋2

7、kπ或＋2φ＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝kπ或φ＝＋kπ，k∈Z， ∴φ的最小正值為.] 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅱ改編)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖26-2所示，則相應(yīng)函數(shù)的解析式為_(kāi)_______． 圖26-2 (2)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下列各式中符合條件的解析式為_(kāi)_______．(填序號(hào)) ①y＝4sin； ②y＝2sin＋2； ③y＝2sin＋2； ④y＝2sin＋2. (1)y＝2sin　

8、(2)④　[(1)由圖象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，結(jié)合選項(xiàng)可知y＝2sin. (2)由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值為4，最小值為0，可知b＝2，A＝2.由函數(shù)的最小正周期為，可知＝，得ω＝4.由直線x＝是其圖象的一條對(duì)稱軸，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，從而φ＝kπ－，k∈Z，故滿足題意的是y＝2sin＋2.] [規(guī)律方法]　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法 (1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝； (2)求ω：確定函數(shù)的

9、周期T，則可得ω＝； (3)求φ：常用的方法有： ①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)． ②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口．“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”時(shí)ωx＋φ＝2π. [變式訓(xùn)練2]　(2017·泰州模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖26-3所

10、示，則f的值為_(kāi)_______． 圖26-3 －1　[由圖象可得A＝，最小正周期T＝4＝π，則ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，則f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1.] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用 　(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tan xsin·cos－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [解]　(1)f(x)的定義域?yàn)? f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin

11、2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設(shè)A＝，B＝xk∈Z，易知A∩B＝. 所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． [規(guī)律方法]　討論函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)． [變式訓(xùn)練3]　(2017·無(wú)錫期中)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且

12、相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)若將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172144】 [解]　(1)∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴sin φ＝. 又0<φ<，∴φ＝， 又∵相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為， ∴周期為π， 即＝π，ω＝2， ∴f(x)＝2sin. 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，其中k∈Z， 則－＋kπ≤x≤＋kπ，其中k∈Z， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，k∈Z. (2)由已知得：g(x)＝f＝2sin， 即g(x)＝2sin＝2cos. ∵x∈，

13、∴2x＋∈， 故當(dāng)2x＋＝π即x＝時(shí)，g(x)min＝g＝－2； 當(dāng)2x＋＝即x＝0時(shí)，g(x)max＝g＝1. [思想與方法] 1．由圖象確定函數(shù)解析式 由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)時(shí)，φ的確定是關(guān)鍵，盡量選擇圖象的最值點(diǎn)代入；若選零點(diǎn)代入，應(yīng)根據(jù)圖象升降找“五點(diǎn)法”作圖中第一個(gè)零點(diǎn)． 2．對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱中心，經(jīng)過(guò)該圖象上坐標(biāo)為(x，±A)的點(diǎn)與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對(duì)稱軸，這樣的最近兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值是半個(gè)周期(或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離)． [易錯(cuò)與防范] 1．要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象

14、，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象． 2．要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)． 3．由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(ω＞0)個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的． 4．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范圍，再結(jié)合圖象得出y＝Asin t的值域． 課時(shí)分層訓(xùn)練(二十六) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．若函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期

15、為，則f＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172145】 0　[由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期為，得ω＝4，所以f＝sin＝0.] 2．將函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為_(kāi)_______． y＝sin 2x　[y＝cos 2x＋1 y＝cos 2＋1＝cos＋1＝sin 2x＋1 y＝sin 2x＋1－1＝sin 2x.] 3．(2017·蘇北四市期末)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖26-4所示，若AB＝5，則ω的值為_(kāi)_______． 圖26-4 　[由題圖可知 ＝＝

16、3， ∴T＝6， ∴ω＝＝＝.] 4．(2016·全國(guó)卷Ⅱ改編)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為_(kāi)_______． x＝＋(k∈Z)　[將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝2sin2＝2sin的圖象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后圖象的對(duì)稱軸為x＝＋(k∈Z)．] 5．某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ℃，12月份的月平均氣溫最低，為18 ℃，則10月份的平均氣溫值為_(kāi)_____

17、 ℃. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172146】 20．5　[依題意知，a＝＝23，A＝＝5， ∴y＝23＋5cos， 當(dāng)x＝10時(shí)， y＝23＋5cos＝20.5.] 6．(2016·江蘇高考)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 7　[法一：函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為＝π，y＝cos x的最小正周期為2π，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在[0,3π]上的圖象，如圖所示．通過(guò)觀察圖象可知，在區(qū)間[0,3π]上兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是7. 法二：聯(lián)立兩曲線方程，得兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程組解的個(gè)數(shù)，也就是方程s

18、in 2x＝cos x解的個(gè)數(shù)．方程可化為2sin xcos x＝cos x，即cos x(2sin x－1)＝0， ∴cos x＝0或sin x＝. ①當(dāng)cos x＝0時(shí)，x＝kπ＋，k∈Z，∵x∈[0,3π]，∴x＝，π，π，共3個(gè)； ②當(dāng)sin x＝時(shí)，∵x∈[0,3π]，∴x＝，π，π，π，共4個(gè)． 綜上，方程組在[0,3π]上有7個(gè)解，故兩曲線在[0,3π]上有7個(gè)交點(diǎn)．] 7．(2017·鹽城期中)已知直線x＝過(guò)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，則f的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172147】 －1　[由題意可知f＝±1，即＋φ＝＋kπ，即

19、φ＝－＋kπ. 又－<φ<，所以φ＝－，∴f(x)＝sin. ∴f＝sin＝sin ＝－1.] 8．(2017·蘇州期中)將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移φ個(gè)單位后，得到函數(shù)f(x)的圖象，若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則φ的值等于________． 　[y＝sinf(x)＝sin. 由f(x)＝sin為偶函數(shù)可知 －2φ＝＋kπ，k∈Z， 即φ＝－－，k∈Z， 又0＜φ＜，故φ＝.] 9．函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖26-5所示，且|φ|<，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______________． 圖26-5 ，k∈Z　[由圖象知，周期T＝2×＝2，

20、 ∴＝2，∴ω＝π. ∴π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z， 得2k－

21、＝.] 二、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝sin＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)在上的圖象． [解]　(1)振幅為，最小正周期T＝π，初相為－. (2)圖象如圖所示． 12．(2017·南京一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖26-6所示． 圖26-6 (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)當(dāng)x∈時(shí)，求f(x)的取值范圍． [解]　(1)由圖象知，A＝2， 又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1. 所以f(x)＝2sin(x＋φ)，將點(diǎn)代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 即φ＝＋2kπ

22、(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝. 所以f(x)＝2sin. (2)當(dāng)x∈時(shí)，x＋∈，所以sin∈，即f(x)∈. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2016·北京高考改編)將函數(shù)y＝sin圖象上的點(diǎn)P向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P′.若P′位于函數(shù)y＝sin 2x的圖象上，則t＝________，s的最小值為_(kāi)_______． 　　[因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y＝sin的圖象上，所以t＝sin＝sin＝.所以P.將點(diǎn)P向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得P′. 因?yàn)镻′在函數(shù)y＝sin 2x的圖象上，所以sin 2＝，即cos 2s＝，所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，

23、即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，所以s的最小值為.] 2．若函數(shù)y＝cos 2x＋sin 2x＋a在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． (－2，－1]　[由題意可知y＝2sin＋a，該函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即y＝－a，y＝2sin在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． 結(jié)合函數(shù)的圖象可知1≤－a＜2，所以－2＜a≤－1.] 3．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象過(guò)點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q. (1)求函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間． [解]　(1)依題意得A＝5，周期T＝4＝π， ∴ω＝＝2.故y＝5sin(

24、2x＋φ)，又圖象過(guò)點(diǎn)P， ∴5sin＝0，由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－， ∴y＝5sin. (2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z)． 4．已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx(0<ω<1)，直線x＝是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸． (1)試求ω的值； (2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值． [解]　f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx ＝2sin. (1)由于直線x＝是函數(shù)f(x)＝2sin圖象的一條對(duì)稱軸， ∴sin＝±1， ∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)， ∴ω＝k＋(k∈Z)． 又0<ω<1，∴－