2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第25練

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1、 第25練 基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用[小題提速練] [明晰考情] 1.命題角度:考查二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);以基本初等函數(shù)為依托,考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理;能利用函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題.2.題目難度:中檔偏難. 考點(diǎn)一 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 方法技巧 (1)指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1),對數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,0). (2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要注意底數(shù)的范圍,底數(shù)不同的盡量化成相同的底數(shù). (3)解題時(shí)要注意把握函數(shù)的圖象,利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì). 1.已知函數(shù)f(x)=則f(2 019)等于(  )

2、 A.2 018 B.2 C.2 020 D. 答案 D 解析 f(2 019)=f(2 018)+1=…=f(0)+2 019=f(-1)+2 020=2-1+2 020=. 2.函數(shù)y=ln|x|-x2的圖象大致為(  ) 答案 A 解析 f(x)=y(tǒng)=ln|x|-x2,定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=ln|-x|-(-x)2=ln|x|-x2=f(x),故函數(shù)y=ln|x|-x2為偶函數(shù),排除B,D;當(dāng)x>0時(shí),y=ln x-x2,則y′=-2x,當(dāng)x∈時(shí),y′=-2x>0,y=ln x-x2單調(diào)遞增,排除C.故選A. 3.(2017·全國Ⅰ)設(shè)

3、x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則(  ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 答案 D 解析 令t=2x=3y=5z, ∵x,y,z為正數(shù),∴t>1. 則x=log2t=,同理,y=,z=. ∴2x-3y=-= =>0, ∴2x>3y. 又∵2x-5z=-= =<0, ∴2x<5z, ∴3y<2x<5z.故選D. 4.設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(f(t))=2f(t)的t的取值范圍是____________________. 答案  解析 若f(t)≥1,顯然成立,則有 或解得t≥-. 若f(

4、t)<1,由f(f(t))=2f(t),可知f(t)=-1, 所以t+=-1,得t=-3. 綜上,實(shí)數(shù)t的取值范圍是. 考點(diǎn)二 函數(shù)與方程 方法技巧 (1)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法 ①解方程f(x)=0,直接求零點(diǎn);②利用零點(diǎn)存在性定理;③數(shù)形結(jié)合法:通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問題. (2)解由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題,關(guān)鍵是利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解. 5.函數(shù)f(x)=log2x-的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(  ) A. B. C.(1,2) D.(2,3) 答案 C 解析 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/p>

5、(0,+∞),且函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù). f(1)=log21-=0-1<0, f(2)=log22-=1-=>0, ∴ f(1)·f(2)<0, ∴函數(shù)f(x)=log2x-的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi). 6.已知函數(shù)f(x)=ln+x3,若函數(shù)y=f(x)+f(k-x2)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 因?yàn)閒(x)=ln+x3在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,且是奇函數(shù),令y=f(x)+f(k-x2)=0,則f(x)=-f(k-x2)=f(x2-k). 由函數(shù)y=f(x)+f(k-x2)有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程

6、x2-x-k=0在區(qū)間(-1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,令g(x)=x2-x-k,則滿足解得-

7、方程f(x)=x+a有2個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________________. 答案 {a|a=-1或0≤a<1或a>1} 解析 當(dāng)直線y=x+a與曲線y=ln x相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為(t,ln t),則切線斜率k=(ln x)′|x=t==1, 所以t=1,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),代入y=x+a,得a=-1. 又當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x+a?(x+1)(x+a)=0, 所以①當(dāng)a=-1時(shí),ln x=x+a(x>0)有1個(gè)實(shí)根, 此時(shí)(x+1)(x+a)=0(x≤0)有1個(gè)實(shí)根,滿足題意; ②當(dāng)a<-1時(shí),ln x=x+a(x>0)有2個(gè)實(shí)根, 此時(shí)(x

8、+1)(x+a)=0(x≤0)有1個(gè)實(shí)根,不滿足題意; ③當(dāng)a>-1時(shí),ln x=x+a(x>0)無實(shí)根,此時(shí)要使(x+1)(x+a)=0(x≤0)有2個(gè)實(shí)根,應(yīng)有-a≤0且-a≠-1,即a≥0且a≠1, 綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a=-1或0≤a<1或a>1}. 考點(diǎn)三 函數(shù)的綜合應(yīng)用 方法技巧 (1)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題解決的關(guān)鍵是通過讀題建立函數(shù)模型,要合理選取變量,尋找兩個(gè)變量之間的關(guān)系. (2)基本初等函數(shù)與不等式的交匯問題是高考的熱點(diǎn),突破此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合函數(shù)的圖象尋求突破點(diǎn). 9.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入,若該公司20

9、15年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(  ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案 B 解析 設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金為y萬元,則y=130(1+12%)n. 依題意130(1+12%)n>200,得1.12n>. 兩邊取對數(shù),得n·lg 1.12>lg 2-lg 1.3, ∴n>≈=,∴n≥4, ∴從2019年開始,該公司投入的研發(fā)資金開始

10、超過200萬元. 10.已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若存在f(a)=g(b),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為(  ) A.[1,3] B.(1,3) C.[2-,2+] D.(2-,2+) 答案 D 解析 函數(shù)f(x)=ex-1的值域?yàn)?-1,+∞),g(x)=-x2+4x-3的值域?yàn)?-∞,1],若存在f(a)=g(b),則需g(b)>-1,即-b2+4b-3>-1,所以b2-4b+2<0,解得2-<b<2+. 11.已知函數(shù)f(x)=且關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案 (1,+∞) 解析

11、 畫出函數(shù)y=f(x)與y=a-x的圖象如圖所示,所以a>1. 12.已知f(x)=則f(x)≥-2的解集是________. 答案 ∪(0,4] 解析 當(dāng)x<0時(shí),f(x)≥-2,即≥-2,可轉(zhuǎn)化為1+x≤-2x,得x≤-; 當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥-2, 即≥-2, 可轉(zhuǎn)化為≥ 解得0<x≤4. 綜上可知不等式的解集為∪(0,4]. 1.函數(shù)f(x)=-2x2的圖象大致為(  ) 答案 A 解析 因?yàn)閒(-x)=-2(-x)2=f(x), 所以函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù). 當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=2x-4x=2x(-2), 若x∈(0,),f′(x)

12、<0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減; 若x∈(,+∞),f′(x)>0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增, 則f(x)min=f()=2-2ln 2>0, 結(jié)合圖象的對稱性可知,故選A. 2.如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則a的值為(  ) A. B.1 C.3 D.或3 答案 D 解析 令ax=t(t>0),則y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2. 當(dāng)a>1時(shí),因?yàn)閤∈[-1,1],所以t∈, 又函數(shù)y=(t+1)2-2在上單調(diào)遞增, 所以ymax=(a+1)2-2=14, 解得a=3(負(fù)值舍去);

13、 當(dāng)0

14、)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),平移y=h(x)的圖象可知,當(dāng)直線y=-x-a過點(diǎn)(0,1)時(shí),有2個(gè)交點(diǎn), 此時(shí)1=-0-a,a=-1. 當(dāng)y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1時(shí),僅有1個(gè)交點(diǎn),不符合題意; 當(dāng)y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),符合題意. 綜上,a的取值范圍為[-1,+∞). 故選C. 4.已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是________. 答案 [-2,0] 解析 由y=|f(x)|的圖象知, ①當(dāng)x>0時(shí),只有當(dāng)a≤0時(shí),才能滿足|f(x)|≥ax. ②當(dāng)x≤0時(shí),y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-

15、2x. 故由|f(x)|≥ax,得x2-2x≥ax. 當(dāng)x=0時(shí),不等式為0≥0成立. 當(dāng)x<0時(shí),不等式等價(jià)于x-2≤a. 因?yàn)閤-2<-2,所以a≥-2. 綜上可知,a∈[-2,0]. 解題秘籍 (1)基本初等函數(shù)的圖象可根據(jù)特殊點(diǎn)及函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判定. (2)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),可使用換元法,解題中要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域. (3)數(shù)形結(jié)合是解決方程、不等式的重要工具,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)要討論. 1.已知實(shí)數(shù)a,b滿足>a>b>,則(  ) A.b<2 B.b>2 C.a< D.a> 答案 B 解析 ∵>a>b=>=2,

16、∴1<a<<2, ∴b2-4(b-a)=b2-4b+4a>b2-4b+4≥0, ∴b2>4(b-a), ∴b>2,故選B. 2.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(  ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案 B 解析 由f(1)=,得a2=, 解得a=或a=-(舍去), 即f(x)=|2x-4|. 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減, 在[2,+∞)上單調(diào)遞增, 所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減. 3.函數(shù)f(x)=|

17、x-2|-ln x在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 由題意,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),由函數(shù)零點(diǎn)的定義,f(x)在(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)即是方程|x-2|-ln x=0的根. 令y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象. 由圖得兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn), 故方程有兩個(gè)根,即對應(yīng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 4.函數(shù)y=(0≤x<3)的值域是(  ) A.(0,1] B.(e-3,e] C.[e-3,1] D.[1,e] 答案 B 解析 ∵y==(0≤x<3), 當(dāng)0≤x<3

18、時(shí),-3<-(x-1)2+1≤1, ∴e-3<≤e1, 即e-3<y≤e, ∴函數(shù)的值域是(e-3,e]. 5.函數(shù)f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a,則a的值為(  ) A. B. C.2 D.4 答案 B 解析 當(dāng)a>1時(shí),由a+loga2+1=a, 得loga2=-1, 所以a=,與a>1矛盾; 當(dāng)0<a<1時(shí),由1+a+loga2=a, 得loga2=-1,所以a=. 6.已知函數(shù)f(x)=設(shè)m>n≥-1,且f(m)=f(n),則m·f(m)的最小值為(  ) A.4 B.2 C. D.2 答案 D 解

19、析 當(dāng)-1≤x<1時(shí),f(x)=5·2x∈,f(0)=5;當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=1+≤5,f(4)=,1≤m<4.m·f(m)=m+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)取等號,故選D. 7.若函數(shù)f(x)=aex-x-2a有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A. B. C.(-∞,0) D.(0,+∞) 答案 D 解析 函數(shù)f(x)=aex-x-2a的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=aex-1, 當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0恒成立,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,不可能有兩個(gè)零點(diǎn); 當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=ln ,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, ∴f(x)的最小值為f=1-ln -2a

20、=1+ln a-2a. 令g(a)=1+ln a-2a(a>0), 則g′(a)=-2. 當(dāng)a∈時(shí),g(a)單調(diào)遞增, 當(dāng)a∈時(shí),g(a)單調(diào)遞減, ∴g(a)max=g=-ln 2<0, ∴f(x)的最小值f<0,函數(shù)f(x)=aex-x-2a有兩個(gè)零點(diǎn). 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+∞). 8.函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是(  ) A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 答案 C 解析 由f(x)=及圖象可知,x≠-c,-c>0, 則c<0;當(dāng)x=0時(shí),f(0)

21、=>0, 所以b>0;當(dāng)f(x)=0時(shí),ax+b=0, 所以x=->0,所以a<0,故選C. 9.已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),那么n的值為________. 答案 1 解析 由于f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1, 解得n=1或n=-3,經(jīng)檢驗(yàn),只有n=1符合題意. 10.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(f(x))-a有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案 [-1,+∞) 解析 設(shè)t=f(x),令f(f(x))-a=0,則a=f(t).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y=a,y=f(t)的

22、圖象(如圖). 當(dāng)a≥-1時(shí),y=a與y=f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1,t2(不妨設(shè)t2>t1)且t1<-1,t2≥-1,當(dāng)t1<-1時(shí),t1=f(x)有一解;當(dāng)t2≥-1時(shí),t2=f(x)有兩解.當(dāng)a<-1時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知,當(dāng)a≥-1時(shí),函數(shù)g(x)=f(f(x))-a有三個(gè)不同的零點(diǎn). 11.設(shè)函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(f(x))-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. 答案 2 解析?、佼?dāng)x≤0時(shí),y=f(f(x))-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,令x-1=0, 則x=1,顯然與x≤0矛盾, 所以當(dāng)x≤0時(shí),y=f(f(x))-1無

23、零點(diǎn). ②當(dāng)x>0時(shí),分兩種情況:當(dāng)x>1時(shí),log2x>0,y=f(f(x))-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1, 令log2(log2x)-1=0, 得log2x=2,解得x=4; 當(dāng)0<x≤1時(shí),log2x≤0,y=f(f(x))-1=f(log2x)-1=-1=x-1, 令x-1=0,解得x=1. 綜上,函數(shù)y=f(f(x))-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 12.函數(shù)f(x)=的圖象與函數(shù)g(x)=2sin x在區(qū)間[0,4]上的所有交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),則f(y1+y2+…+yn)+g(x1+x2+…+xn)=________. 答案  解析 如圖,畫出函數(shù)f(x)和g(x)在[0,4]上的圖象, 可知有4個(gè)交點(diǎn),并且關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱,所以y1+y2+y3+y4=0,x1+x2+x3+x4=8,所以f(y1+y2+y3+y4)+g(x1+x2+x3+x4)=f(0)+g(8)=+0=.

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