高中數(shù)學(xué)必修4教案：2_示范教案（3_1_2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式）

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1、 3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導(dǎo)中，教科書(shū)都把對(duì)照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即α+β=α-(-β)的關(guān)系，從而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱(chēng)不同，這就要求進(jìn)行函

2、數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通過(guò)對(duì)“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解.因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都有著十分重要的意義. 3.本節(jié)的幾個(gè)公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過(guò)程也充分說(shuō)明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)它們的這種聯(lián)系，從而加深對(duì)公式的理解和記憶.本節(jié)幾個(gè)例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意

3、識(shí)地對(duì)學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要具備什么條件等.另外，還要重視思維過(guò)程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過(guò)程表述的正確性、簡(jiǎn)捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的. 三維目標(biāo) 1.在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過(guò)讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過(guò)強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對(duì)公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問(wèn)題的能力. 2.通過(guò)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明，使學(xué)生深刻體會(huì)聯(lián)系變化

4、的觀點(diǎn)，自覺(jué)地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力. 3.通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo). 教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明. 課時(shí)安排 2課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.(舊知導(dǎo)入)教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫(xiě)在黑板上或打出幻燈片,注意有意識(shí)地讓學(xué)生寫(xiě)整齊.然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察cos(α-β)與cos(α+β)、sin(α-β)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行由

5、舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過(guò)程，從而推導(dǎo)出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用. 思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)教師出示問(wèn)題，先讓學(xué)生計(jì)算以下幾個(gè)題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學(xué)生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C（α-β）的形式來(lái)求，此時(shí)思路受阻,從而引出新課題，并由此展開(kāi)聯(lián)想探究其他公式. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①還記得兩角差的余弦公式嗎？請(qǐng)一位同學(xué)到黑板上默

6、寫(xiě)出來(lái). ②在公式C(α-β)中，角β是任意角，請(qǐng)學(xué)生思考角α-β中β?lián)Q成角-β是否可以？此時(shí)觀察角α+β與α-(-β)之間的聯(lián)系，如何利用公式C(α-β)來(lái)推導(dǎo)cos(α+β)=? ③分析觀察C(α+β)的結(jié)構(gòu)有何特征？ ④在公式C(α-β)、C(α+β)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(α+β)=?sin(α-β)=? ⑤公式S(α-β)、S(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何？ ⑥對(duì)比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推導(dǎo)出tan(α-β)=? tan（α+β）=？ ⑦分析觀察公式T(α-β)、T(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何？ ⑧思考如何靈活運(yùn)用公式解題？

7、 活動(dòng)：對(duì)問(wèn)題①，學(xué)生默寫(xiě)完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式，點(diǎn)撥學(xué)生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會(huì)有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(α-β)與cos(α+β)中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會(huì)發(fā)現(xiàn)α-β中的角β可以變?yōu)榻?β，所以α-(-β)=α+β〔也有的會(huì)根據(jù)加減運(yùn)算關(guān)系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.這時(shí)教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式C(α-β)上來(lái),這樣就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］ =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 所以

8、有如下公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我們稱(chēng)以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(α+β). 對(duì)問(wèn)題②，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(α+β)的結(jié)構(gòu)特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)比公式C(α-β)進(jìn)行記憶，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________. 對(duì)問(wèn)題③，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來(lái)實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式⑸⑹來(lái)化余弦為正弦(也有的想到利用同角

9、的平方和關(guān)系式sin2α+cos2α=1來(lái)互化，此法讓學(xué)生課下進(jìn)行),因此有 sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］ =cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β用-β代之，則 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡(jiǎn)記為S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

10、 對(duì)問(wèn)題④⑤，教師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行記憶，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)本節(jié)公式的探究過(guò)程及公式變化特點(diǎn)，體驗(yàn)三角公式的這種簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美.為強(qiáng)化記憶，教師可讓學(xué)生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin=__________. 對(duì)問(wèn)題⑥，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來(lái)推導(dǎo)出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到.在學(xué)生探究推導(dǎo)時(shí)很可能想不到討論，這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來(lái)

11、. 當(dāng)cos(α+β)≠0時(shí)，tan(α+β)= 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時(shí),分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=，據(jù)角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，則有 tan(α-β)= 由此推得兩角和、差的正切公式，簡(jiǎn)記為T(mén)(α-β)、T(α+β). tan(α+β)= tan(α-β)= 對(duì)問(wèn)題⑥,讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過(guò)程可知，α、β、α±β都不能等于+kπ(k∈Z)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶. 對(duì)問(wèn)題⑦⑧，教師

12、與學(xué)生一起歸類(lèi)總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類(lèi)比較可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學(xué)生自己畫(huà)出這六個(gè)框圖.通過(guò)邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式.同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化簡(jiǎn)求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過(guò)程大

13、大簡(jiǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.對(duì)于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在時(shí)，不能使用T（α±β）處理某些有關(guān)問(wèn)題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡(jiǎn)tan(-β)，因?yàn)閠an的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(-β)=來(lái)處理等. 應(yīng)用示例 思路1 例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值. 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對(duì)問(wèn)題時(shí)要注意認(rèn)真分析條件，明確要求.再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等.例如本題中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公

14、式得解，本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨(dú)立完成. 解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=. ∴tanα==. 于是有sin(-α)=sincosα-cossinα= cos(+α)=coscosα-sinsinα= tan(α-)===. 點(diǎn)評(píng)：本例是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個(gè)例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣. 變式訓(xùn)練 1.不查表求cos75°,tan105°的值. 解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =,

15、 tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+). 2.設(shè)α∈(0,),若sinα=,則2sin(α+)等于( ) A. B. C. D.4 答案：A 例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 活動(dòng)：教師可先讓學(xué)生自己探究解決，對(duì)探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系.根據(jù)公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)應(yīng)先求出cosα、sinβ、tanα、t

16、anβ的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號(hào). 解：由sinα=,α∈(,π),得 cosα==-=，∴tanα=. 又由cosβ=,β∈(π,). sinβ==, ∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =×()-(. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×() = ∴tan(α+β)==. 點(diǎn)評(píng)：本題仍是直接利用公式計(jì)算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力. 變式訓(xùn)練 引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

17、解：設(shè)電視發(fā)射塔高CD=x米，∠CAB=α，則sinα=， 在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα. 于是x=, 又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈. tan(45°+α)==3, ∴x=-30=150(米). 答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米. 例3 在△ABC中，sinA=(0°

18、析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、討論解決，對(duì)有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出解決問(wèn)題的路子.教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一暗含條件. 解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=且0°

19、=. 點(diǎn)評(píng)：本題是利用兩角和差公式，來(lái)解決三角形問(wèn)題的典型例子，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，也使學(xué)生更加認(rèn)識(shí)了公式的作用,解決三角形問(wèn)題時(shí),要注意三角形內(nèi)角和等于180°這一暗含條件. 變式訓(xùn)練 在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,則△ABC是( ) A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰非直角三角形 答案：C 思路2 例1 若sin(+α)=,cos(-

20、β)=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值. 活動(dòng)：本題是一個(gè)典型的變角問(wèn)題，也是一道經(jīng)典例題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力以及邏輯思維能力很有價(jià)值.盡管學(xué)生思考時(shí)有點(diǎn)難度，但教師仍可放手讓學(xué)生探究討論，教師不可直接給出解答.對(duì)于探究不出的學(xué)生，教師可恰當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，觀察選擇應(yīng)該選用哪個(gè)公式進(jìn)行求解，同時(shí)也要特別提醒學(xué)生注意：在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意確定準(zhǔn)角的范圍，準(zhǔn)確判斷好三角函數(shù)符號(hào)，這是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.學(xué)生完全理清思路后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書(shū)寫(xiě)，并熟練掌握它.對(duì)于程度比較好的

21、學(xué)生可讓其擴(kuò)展本題，或變化條件，或變換所求的結(jié)論等.如教師可變換α,β角的范圍，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力，因此教師要充分利用好這個(gè)例題的訓(xùn)練價(jià)值. 解：∵0<α<<β<,∴<+α<π,-<-β<0, 又已知sin(+α)=,cos(-β)=, ∴cos(+α)=,sin(-β)=. ∴cos(α+β)=sin［+(α+β)］=sin［(+α)-(-β)］ =sin(+α)cos(-β)-cos(+α)sin(-β) =×-()×()=. 本題是典型的變角問(wèn)題,即把所求角利用已知角來(lái)表示,實(shí)際上就是化歸思想.這需要巧妙地引導(dǎo),充分讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行角的變

22、換,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力. 變式訓(xùn)練 已知α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=, 求cos(α+)的值. 解：∵α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=, ∴<α+β<2π,<β-<. ∴cos(α+β)=,cos(β-)=. ∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］ =cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-) =×()+()×=. 例2 化簡(jiǎn) 活動(dòng)：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數(shù)的形式，教師可以先讓學(xué)生自己獨(dú)立地探究，然后進(jìn)行講評(píng). 解：原式= == =0.

23、點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)很好的運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)的例子，通過(guò)學(xué)生獨(dú)立解答，培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用公式的運(yùn)算能力. 變式訓(xùn)練 化簡(jiǎn) 解：原式= = 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)1—4. 1.(1),(2),(3),(4)2-. 2.. 3. 4.-2. 作業(yè) 已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值. 解：∵<α<,∴<-α<0.∴sin(-α)==. 又∵0<β<,∴<+β<π,cos(+β)==. ∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］ =-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α) =-(

24、)××()=. 課堂小結(jié) 1.先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，有哪些收獲與提高，在公式推導(dǎo)中你悟出了什么樣的數(shù)學(xué)思想？對(duì)于這六個(gè)公式應(yīng)如何對(duì)比記憶？其中正切公式的應(yīng)用有什么條件限制？怎樣用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明. 2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)，明白從已知推得未知，理解數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想,并要正確熟練地運(yùn)用公式解題.在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱(chēng)、角的關(guān)系，一個(gè)題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問(wèn)題的途徑，以達(dá)到優(yōu)化解題過(guò)程，規(guī)范解題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法之目的.

25、設(shè)計(jì)感想 1.本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，是在兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此本教案的設(shè)計(jì)流程是“提出問(wèn)題→轉(zhuǎn)化推導(dǎo)→分析記憶→應(yīng)用訓(xùn)練”.它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體，進(jìn)行主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程.同時(shí)充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識(shí)推導(dǎo)證明新知識(shí)，并學(xué)會(huì)記憶公式的方法，靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題,從而使學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)他們主動(dòng)利用轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)探索解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 2.縱觀本教案的設(shè)計(jì)，知識(shí)點(diǎn)集中，容量較大，重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)證明、記憶以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用等，通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻理解公式的推導(dǎo)、證明方法，熟練應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單的

26、問(wèn)題.同時(shí)教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo)、獲取新知的方法，讓他們真正體驗(yàn)到自己發(fā)現(xiàn)探索數(shù)學(xué)知識(shí)的喜悅和成功感. 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的六個(gè)公式，并回憶公式的來(lái)龍去脈，然后讓一個(gè)學(xué)生把公式默寫(xiě)在黑板上或打出幻燈.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧比較各公式的結(jié)構(gòu)特征，說(shuō)出它們的區(qū)別和聯(lián)系，以及公式的正用、逆用及變形用，以利于對(duì)公式的深刻理解.這節(jié)課我們將進(jìn)一步探究?jī)山呛团c差的正弦、余弦、正切公式的靈活應(yīng)用. 思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)教師可打出幻燈，出示一組練習(xí)題讓學(xué)生先根據(jù)上節(jié)課所學(xué)的公式進(jìn)行解答. 1.化簡(jiǎn)下列各式 (1)cos（α＋β）cosβ＋si

27、n（α＋β）sinβ; (2); (3) 2.證明下列各式 (1) (2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β; (3) 答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1. 2.證明略. 教師根據(jù)學(xué)生的解答情況進(jìn)行一一點(diǎn)撥，并對(duì)上節(jié)課所學(xué)的六個(gè)公式進(jìn)行回顧復(fù)習(xí)，由此展開(kāi)新課. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①請(qǐng)同學(xué)們回憶這一段時(shí)間我們一起所學(xué)的和、差角公式. ②請(qǐng)同學(xué)們回顧兩角和與差公式的區(qū)別與聯(lián)系，可從推導(dǎo)體系中思考. 活動(dòng)：待學(xué)生稍做回顧后，教師打出幻燈，出示和與差角公式，讓學(xué)生進(jìn)一步在直觀上發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的區(qū)別

28、與聯(lián)系，理解公式的推導(dǎo)充分發(fā)揮了向量的工具作用，更要體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，當(dāng)α、β中有一個(gè)角為90°時(shí)，公式就變成誘導(dǎo)公式，所以前面所學(xué)的誘導(dǎo)公式其實(shí)是兩角和與差公式的特例.在應(yīng)用公式時(shí)，還要注意角的相對(duì)性，如α=(α+β)-β,等.讓學(xué)生在整個(gè)的數(shù)學(xué)體系中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法，更重要的是學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的方法，以及善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕; cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C（α±β）〕; tan（α±β）＝〔T（α±β）〕. 討論結(jié)果：

29、略. 應(yīng)用示例 思路1 例1 利用和差角公式計(jì)算下列各式的值. （1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3） 活動(dòng)：本例實(shí)際上是公式的逆用，主要用來(lái)熟悉公式，可由學(xué)生自己完成.對(duì)部分學(xué)生，教師點(diǎn)撥學(xué)生細(xì)心觀察題中式子的形式有何特點(diǎn)，再對(duì)比公式右邊，馬上發(fā)現(xiàn)（1）同公式S(α-β)的右邊，（2）同公式C(α+β)右邊形式一致，學(xué)生自然想到公式的逆用，從而化成特殊角的三角函數(shù)，并求得結(jié)果.再看（3）式與T(α+β)右邊形式相近，但需要進(jìn)行一定的變形.又因?yàn)閠an45°=1，原式化為，再逆用公式T

30、(α+β)即可解得. 解：（1）由公式S(α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=. （2）由公式C(α+β)得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T(α+β)得 原式==tan(45°+15°)=tan60°=. 點(diǎn)評(píng)：本例體現(xiàn)了對(duì)公式的全面理解，要求學(xué)生能夠從正、反兩個(gè)角度使用公式.與正用相比，反用表現(xiàn)的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識(shí)，對(duì)思維的靈活性要求也高，而且對(duì)公式要有更全面深刻的理解. 變式訓(xùn)練 1.化簡(jiǎn)求值： （1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°c

31、os16°+sin76°cos74°; （3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=. （3）原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1. 2.計(jì)算 解：原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=. 例2 已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定義域?yàn)镽,設(shè)θ∈［0,2π］,若f(x)

32、為偶函數(shù),求θ的值. 活動(dòng):本例是一道各地常用的、基礎(chǔ)性較強(qiáng)的綜合性統(tǒng)考題,其難度較小,只需利用偶函數(shù)的定義,加上本節(jié)學(xué)到的兩角和與差的三角公式展開(kāi)即可,但不容易得到滿分.教師可先讓學(xué)生自己探究,獨(dú)立完成,然后教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 解:∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x), 即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ. ∴sinxcosθ+sinxsinθ=0. ∴sinx(sinθ+co

33、sθ)=0對(duì)任意x都成立. ∴sin(θ+)=0,即sin(θ+)=0. ∴θ+=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-(k∈Z). 又θ∈［0,2π),∴θ=或θ=. 點(diǎn)評(píng):本例學(xué)生可能會(huì)根據(jù)偶函數(shù)的定義利用特殊值來(lái)求解.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意,如果將本例變?yōu)檫x擇或填空,可利用特殊值快速解題,作為解答題利用特殊值是不嚴(yán)密的,以此訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力. 變式訓(xùn)練 已知：<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=,求cos2β的值. 解：∵<β<α<, ∴0<α-β<,π<α+β<. 又∵cos(α-β)=,sin(α+β)= , ∴sin(α-β)=,cos(α+β)

34、=. ∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］ =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =×+()×=. 例3 求證：cosα+sinα=2sin(+α). 活動(dòng)：本題雖小但其意義很大,從形式上就可看出來(lái),左邊是兩個(gè)函數(shù),而右邊是一個(gè)函數(shù),教師引導(dǎo)學(xué)生給予足夠的重視.對(duì)于此題的證明，學(xué)生首先想到的證法就是把等式右邊利用公式S(α+β)展開(kāi)，化簡(jiǎn)整理即可得到左邊此為證法，這是很自然的，教師要給予鼓勵(lì).同時(shí)教師可以有目的的引導(dǎo)學(xué)生把等式左邊轉(zhuǎn)化為公式S(α+β)的右邊的形式，然后逆用公式化簡(jiǎn)即可求得等式右邊的式子，這種證明方法不僅僅是方法的變化

35、，更重要的是把兩個(gè)三角函數(shù)化為一個(gè)三角函數(shù). 證明：方法一：右邊=2(sincosα+cossinα)=2(cosα+sinα) =cosα+sinα=左邊. 方法二：左邊=2(cosα+sinα)=2(sincosα+cossinα) =2sin(+α)=右邊. 點(diǎn)評(píng)：本題給出了兩種證法，方法一是正用公式的典例，而方法二則是逆用公式證明的，此法也給了我們一種重要的轉(zhuǎn)化方法，要求學(xué)生熟練掌握其精神實(shí)質(zhì).本例的方法二將左邊的系數(shù)1與分別變?yōu)榱伺c，即輔助角的正、余弦.關(guān)于形如asinx+bcosx（a，b不同時(shí)為零）的式子,引入輔助角變形為Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“

36、從右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情況下，如果a=osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin2φ+cos2φ=1,可得 A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cosφ=,sinφ=,從而得到tanφ=,因此asinx+bcosx=sin(x+φ)，通過(guò)引入輔助角φ，可以將asinx+bcosx這種形式的三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式.化為這種形式可解決asinx+bcosx的許多問(wèn)題，比如值域、最值、周期、單調(diào)區(qū)間等.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意，這種引入輔助角的變換思想很

37、重要，即把兩個(gè)三角函數(shù)化為一個(gè)三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)上是消元思想，這樣就可以根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)研究它的性質(zhì).因此在歷年高考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，是三角部分中高考的熱點(diǎn),再結(jié)合續(xù)內(nèi)容的倍角公式,在解答高考物理試題時(shí)也常常被使用，應(yīng)讓學(xué)生領(lǐng)悟其實(shí)質(zhì)并熟練的掌握它. 變式訓(xùn)練 化簡(jiǎn)下列各式： （1）sinx+cosx; （2）cosx-6sinx. 解：（1）原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx) =2sin(x+). （2）原式=2 (cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx) =2sin(-x). 例4 （1）已知α+β=45

38、°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; （2）已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求 活動(dòng)：對(duì)于（1）,教師可與學(xué)生一起觀察條件，分析題意可知，α+β是特殊角，可以利用兩角和的正切公式得tanα,tanβ的關(guān)系式，從而發(fā)現(xiàn)所求式子的解題思路.在（2）中，我們欲求若利用已知條件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困難，但細(xì)心觀察公式S(α+β)、S(α-β)發(fā)現(xiàn)，它們都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而化切為弦正是，由此找到解題思路.教學(xué)中盡可能的讓學(xué)生自己探究解決，教師不要及早地給以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°

39、=1. 又∵tan(α+β)= ∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), 即tanα+tanβ=1-tanαtanβ. ∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. （2）∵sin(α+β)=,sin(α-β)= , ∴sinαcosβ+cosαsinβ=, ① sinαcosβ-cosαcosβ=.

40、 ② ①+②得sinαcosβ=, ①-②得cosαsinβ=, ∴ 點(diǎn)評(píng)：本題都是公式的變形應(yīng)用，像(1)中當(dāng)出現(xiàn)α+β為特殊角時(shí)，就可以逆用兩角和的正切公式變形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),對(duì)于我們解題很有用處，而(2)中化切為弦的求法更是巧妙，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握其解法. 變式訓(xùn)練 1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值. 解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+t

41、an23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.計(jì)算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°. 解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)5—7. 解答： 5.解:（1）原式=sin90°=1. （2）原式=cos60°=. （3）原式=tan45°=1. （4）原式=-sin60°=. （5）原式=-cos60°=. （6）原式=sin20°（-cos70°）+（-cos20°）sin70° =-（sin20°cos70°+cos20°sin70°）=-sin90

42、°=-1. 6.（1）原式=sincosx-cossinx=sin(-x). （2）原式=2(sinx+cosx)=2sin(x+). （3）原式=2(sinx-cosx)=2sin(x-). （4）原式=2(cosx-sinx)=2sin(-x). 點(diǎn)評(píng)：將asinx+bcosx轉(zhuǎn)化為Asin(x+φ)或Acos(x+φ)的形式，關(guān)鍵在于“湊”和（或差）角公式. 7.解：由sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=,可得 sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin(α-β-α)=-sinβ=, ∴sinβ=.又β是第三象限角， ∴cosβ=

43、.∴sin(β+)=sinβcos+cosβsin=. 作業(yè) 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的兩個(gè)根為tanα、tanβ,求tan(α+β)的值. 解：由韋達(dá)定理得：tanα+tanβ=,tanαtanβ=, ∴tan(α+β)=. 課堂小結(jié) 1.先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？我們學(xué)習(xí)了哪些重要的解題方法？通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們?cè)谶\(yùn)用和角與差角公式時(shí)，應(yīng)注意什么？如何靈活運(yùn)用公式解答有關(guān)的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、恒等證明等問(wèn)題. 2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要熟練掌握運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式解決三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、恒等證明等問(wèn)題,靈活

44、進(jìn)行角的變換和公式的正用、逆用、變形用等.推導(dǎo)并理解公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，運(yùn)用它來(lái)解決三角函數(shù)求值域、最值、周期、單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題. 設(shè)計(jì)感想 1.本節(jié)是典型的習(xí)題課，目的就是加深鞏固兩角和與差公式的應(yīng)用，深刻理解公式的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)綜合利用公式解題的方法和技巧.因此,本節(jié)課安排的四個(gè)例子都是圍繞這個(gè)目標(biāo)設(shè)計(jì)的，它們的解題方法也充分體現(xiàn)了公式的靈活運(yùn)用.另外，通過(guò)補(bǔ)充的例題，教給學(xué)生正用、逆用、變形用公式的方法，培養(yǎng)了他們的逆向思維和靈活運(yùn)用公式的能力.特別是給出了形如“asinx+bcosx=sin(x+φ)”公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，對(duì)于三角函數(shù)的研究，給我們提供了一種重要的方法. 2.對(duì)于習(xí)題課來(lái)說(shuō)，我們應(yīng)該本著以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則，讓學(xué)生先認(rèn)真審題、獨(dú)立思考、板演解法，然后教師再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，理清思路，糾正錯(cuò)誤，指導(dǎo)解法，爭(zhēng)取一題多解，拓展思路,通過(guò)變式訓(xùn)練再進(jìn)行方法鞏固.