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1、
矩陣與變換
主標(biāo)題：矩陣與變換
副標(biāo)題：為學(xué)生詳細(xì)的分析矩陣與變換的高考考點(diǎn)、命題方向以及規(guī)律總結(jié)。
關(guān)鍵詞：矩陣，二階矩陣，變換，特征值，特征向量
難度：3
重要程度：5
考點(diǎn)剖析：
1．了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系．
2．了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示．
3．理解變換的復(fù)合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質(zhì)．
4．理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣．
5．理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.
命題方向：主要考查矩陣與變換，二階逆矩陣與二元一次方程組
2、及求矩陣的特征值與特征向量。
規(guī)律總結(jié)：1．矩陣相等實(shí)質(zhì)上是矩陣對應(yīng)元素相等，體現(xiàn)了方程思想，要注意矩陣對應(yīng)元素相等．
2．矩陣的乘法只滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律．
3．對于平面圖形的變換要分清是伸縮、反射、還是切變變換．
4．伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換，對應(yīng)的變換矩陣為初等變換矩陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復(fù)合．
5．逆矩陣的求法常用待定系數(shù)法．
6．若A，B兩個(gè)矩陣均存在可逆矩陣，則有(AB)－1＝B－1A－1，若A，B，C為二階矩陣且A可逆，則當(dāng)AB＝AC時(shí)，
有
3、B＝C，即此時(shí)矩陣乘法的消去律成立．
7．關(guān)于特征值問題的一般解法如下：
給定矩陣A＝，向量α＝，若有特征值λ，則＝λ，即＝，
所以＝0，即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0.
8．求Mnα，一般都是先求出矩陣M的特征值與特征向量，將α寫成t1α1＋t2α2.利用性質(zhì)Mnα＝t1λα1＋t2λα2求解．
知 識 梳 理
1．矩陣的乘法規(guī)則
(1)行矩陣[a11 a12]與列矩陣的乘法規(guī)則：
[a11 a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．
(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：
＝.
設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，α、β是平面上的任意兩個(gè)向量，λ、λ1、λ2是任意三個(gè)實(shí)
4、數(shù)，則
①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；
③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
(3)兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下：
＝
性質(zhì)：①一般情況下，AB≠BA，即矩陣的乘法不滿足交換律；②矩陣的乘法滿足結(jié)合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩陣的乘法不滿足消去律．
2．矩陣的逆矩陣
(1)逆矩陣的有關(guān)概念：對于二階矩陣A，B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣．若二階矩陣A存在逆矩陣B，則逆矩陣是唯一的，通常記A的逆矩陣為A－1，A－1＝B.
(2)逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣A＝(detA＝ad－bc≠
5、0)，它的逆矩陣為
A－1＝.
(3)逆矩陣與二元一次方程組：如果關(guān)于變量x，y的二元一次方程組的系數(shù)矩陣A＝可逆，那么該方程組有唯一解＝－1，
其中A－1＝.
3．二階矩陣的特征值和特征向量
(1)特征值與特征向量的概念
設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ稱為A的一個(gè)特征值，而α稱為A的一個(gè)屬于特征值λ的一個(gè)特征向量．
(2)特征多項(xiàng)式與特征方程
設(shè)λ是二階矩陣A＝的一個(gè)特征值，它的一個(gè)特征向量為ξ＝，則A＝λ，
即滿足二元一次方程組
故?＝(*)
則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式
＝0.記f(λ)＝為矩陣A＝的特征多項(xiàng)式；方程＝0，即f(λ)＝0稱為矩陣A＝的特征方程．
(3)特征值與特征向量的計(jì)算
如果λ是二階矩陣A的特征值，則λ是特征方程f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一個(gè)根．
解這個(gè)關(guān)于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，將λ＝λ1、λ2分別代入方程組(*)，分別求出它們的一個(gè)非零解
記ξ1＝，ξ2＝.
則Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩陣A＝的特征值，ξ1＝，ξ2＝為矩陣A的分別屬于特征值λ1、λ2的一個(gè)特征向量．
高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 矩陣與變換
